圆的方程及应用

1、圆的方程及应用圆的方程及应用222)()(rbyax022FEyDxyx圆的标准方程圆的一般方程1、圆的方程圆心圆心,22DE 半径半径2242DEFr 2.对于圆的方程对于圆的方程(x a)2+(y b)2=r2和和x2+y2+Dx+Ey+F=0，针对圆的不，针对圆的不同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表：同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表： 圆的位置圆的位置 圆的标准方程圆的标准方程 圆的一般方程圆的一般方程以原点为圆心的圆以原点为圆心的圆过原点的圆过原点的圆圆心在圆心在x轴上的圆轴上的圆圆心在圆心在y轴上的圆轴上的圆圆心在圆心在x轴上且与轴上且与y轴相切的圆轴相切的圆圆

2、心在圆心在y轴上且与轴上且与x轴相切的圆轴相切的圆x2+y2=r2x2+y2+F=0(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0 x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0(x-a)2+y2=a2x2+y2+Dx=0 x2+(y-b)2=b2x2+y2+Ey=02、直线与圆的位置关系相交相切相离dr方程组两解方程组两解方程组一解方程组一解无解无解drax+by+c=0022FEyDxyx.1A=C0，B=0是方程是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的表示圆的( ) A充分但不必要条件充分但不必要条件 B

3、必要但不充分条件必要但不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分又非必要条件既不充分又非必要条件2直线直线ax+by+c=0与圆与圆x2+y2=1有两个交点，则有两个交点，则a，b，c应满应满足的关系是足的关系是( )Aa2+b2c2Ba2+b2c2Ca2+b2c2 Da2+b2c23圆圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线截直线x-y-5=0所得的弦长等于所得的弦长等于二二.热身练习：热身练习：3x-4y+1=0和和x=1BD4 4、已知、已知OO1 1：(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1,=1,则过则过M(1M(1，1)1)点的切线方程为点的切线方程为 6例1、由动

4、点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B， 则动点P的轨迹方程为 （一）、求圆的方程（一）、求圆的方程60APB 三三.典型例题：典型例题：oyxBPA422 yx且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是例2、求经过点A(1，-1)，B(-1,1)三三.典型例题：典型例题：.Aoyx.B.o4) 1() 1(22yxoyx.C，），半径为，解：令圆心坐标为（rba902ACB）知由（55)2(12322ba）由（br2ABrr联立消去1222abr12 ba（）（）或121212122222abbaabba则2221ar|a1|b例3：已知圆满足: (1)截y轴所得弦长为2

5、；(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；（3）圆心到直线 的距离为 ，求该圆的方程。02: yxl552211brab，解（）2211brab，解（）2112112222）（）或（）（）（程为综上所述：所求圆的方yxyx（）（）或121212122222abbaabba例3：已知圆满足: (1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；（3）圆心到直线 的距离为 ，求该圆的方程。02: yxl55（二）、求最值问题 例例4 4、在圆、在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上，与直线上，与直线4x+3y-12=04x+3y-12=0的距离最小的距离最小的点的坐标是

6、的点的坐标是( )( ) (A)(8/5(A)(8/5，6/5) (B)(8/56/5) (B)(8/5，-6/5)-6/5)(C)(-8/5(C)(-8/5，6/5 ) (D)(-8/56/5 ) (D)(-8/5，-6/5)-6/5)oyx.PA（二）、求最值问题例例5、若实数、若实数x,y满足方程满足方程(x-2)2+y2=3,则则 的最大值的最大值为为 。y yx xoyx3 例6、已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1,点A(-1,0),B（1,0），点P为圆上的动点,求d=|PA|2+|PB|2的最大、最小值oyxA.B.o.prxyop0p点在圆点在圆O上从点上从点P0开始按逆

7、时针方向开始按逆时针方向运动到达点运动到达点P，设，设opp0问：你观察到了什么？问：你观察到了什么？设点设点P的坐标是（的坐标是（x，y）sincosryrx即 我们把方程组我们把方程组 叫做圆心为原点，半径叫做圆心为原点，半径为为r的的圆的参数方程圆的参数方程， 是参数是参数圆的参数方程圆的参数方程怎样得到圆心在怎样得到圆心在O O1 1(a,b)(a,b)，半径为，半径为r r的圆的的圆的参数方程呢？参数方程呢？)(sin,cos为参数rbyraxO1(a,b) P(x,y) P1(x1,y1),(bav yxo ),(),(tgytfx(1)x,y(1)x,y都是同一变量都是同一变量t

8、 t的函数的函数; ;(2)(2)该函数对曲线上任意一点都适合该函数对曲线上任意一点都适合; ;(3)(3)对于对于t t的每一个允许值的每一个允许值, , x x、y y都有唯一的值都有唯一的值 与之对应与之对应; ;(4)(4)参数参数t t的取值范围要受限制的取值范围要受限制, ,它不能使它不能使x,yx,y的取的取 值范围扩大值范围扩大, ,也不能使也不能使x,yx,y的取值范围缩小的取值范围缩小; ;(5)(5)学会将学会将参数方程与普通方程参数方程与普通方程. .例例1、圆的参数方程为、圆的参数方程为 若圆上一点若圆上一点P对应参数对应参数 ，则点，则点P的坐的坐标是标是_,若圆上

9、一点若圆上一点Q的坐标为的坐标为 则参数则参数_，若，若 ，则此参数，则此参数方程表示的曲线是方程表示的曲线是_24cos(02 )34sinxy 43(4, 3 3)0(0, 3 3)53半圆半圆n例例2n（1）圆的参数方程）圆的参数方程 化为普通方程为化为普通方程为_n(2)圆圆x2y22x4y20化为参数化为参数 方程为方程为_12cos32sinxy （x1）2（y3）2413cos23sinxy 例例3 如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点，上的一个动点，点点A是是x轴上的定点，坐标为（轴上的定点，坐标为（12，0）.当点当点P在圆上运在圆上运动时动时,线段

10、线段PA的中点的中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?PxyOAM解解: 设点设点M的坐标是的坐标是(x,y).因为圆因为圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为sin4cos4yx所以所以 可设点可设点P的坐标为的坐标为(4cos , 4sin ).由线段由线段中点坐标公式得点中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为的轨迹的参数方程为sin2cos26yx所以所以,线段线段PA的中点的中点M的轨迹是以点的轨迹是以点(6,0)为为圆心圆心,2为半径的圆为半径的圆.例例4、若实数、若实数x、y满足满足x2+y2-2x+4y+2=0,求求xy的最大值和最小值。的最大值和最小值。3)2() 1(024222

11、22yxyxyx得解：由)(sin32cos31为参数则yx)sin(cos33)sin32()cos31 (yx)4sin(63的最大值和最小值。求函数2cos1sin)( 1f归纳总结：归纳总结：二、求与圆有关的最值问题二、求与圆有关的最值问题一、求圆的方程一、求圆的方程. )22(|012222babOBaOAOBAyxlyxyxC，为坐标原点，两点，、轴于轴、分别交相切的直线：已知与曲线.)3()2(2)2)(2() 1 (面积的最小值求中点的轨迹方程；求线段；求证：AOBABba巩固练习1 .已知圆的半径为已知圆的半径为 ,圆心在直线圆心在直线y=2x上上,圆被直线圆被直线x-y=0

12、截得的弦长截得的弦长为为 ,求圆的方程求圆的方程.2.若实数x，y满足方程x2+y2-2x+4y=0，试求x-2y的最大值和最小值3.10241221-1-1O. )22(|012222babOBaOAOBAyxlyxyxC，为坐标原点，两点，、轴于轴、分别交相切的直线：已知与曲线解：.)3()2(2)2)(2() 1 (面积的最小值求中点的轨迹方程；求线段；求证：AOBABba:) 1 (l由已知可设直线1byax)22(ba，相切与圆直线Cabaybxl0:1|11|22baabba222)(baabba即0)(22abba.2)2)(2(baAB练习，则，（的中点设线段)2(yxMAB由中点坐标公式得：2020byax，ybxa22，即将它代入2)2)(2(ba2)22)(22yx（得21) 1)(1yx（) 11(yx，.中点的轨迹方程即为所求线段AB1221-1-1ABO. )22(|012222babOBaOAOBAyxlyxyxC，为坐标原点，两点，、轴于轴、分别交相切的直线：已知与曲线中点的轨迹方程；求线段；求证：ABba)2(2)2)(2() 1