海南大学电磁场与电磁波第四版第四章

1、 本章内容本章内容 4.1 波动方程波动方程 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 时谐电磁场时谐电磁场本章概述：本章是时变场的导论。本章概述：本章是时变场的导论。第二章中麦克斯韦方程组和边界条件已经交第二章中麦克斯韦方程组和边界条件已经交代的时变场的场源形式（包括激励源，媒代的时变场的场源形式（包括激励源，媒质（均匀或不均匀）中的感应源，边界上质（均匀或不均匀）中的感应源，边界上的感应源。的感应源。DBtBEtDJH000EHtHEtEH均匀无耗媒均匀无耗媒质远场区质远场区本章首先引入麦克斯韦方程组的解耦形式：本

2、章首先引入麦克斯韦方程组的解耦形式：波动方程（注意具体条件），探讨验证时波动方程（注意具体条件），探讨验证时变场各种可能的解的结构，提出平面波的变场各种可能的解的结构，提出平面波的波场结构（波场结构（TEM波，波，TE波，波，TM波波,注意习注意习题题4.2的通解表达的通解表达）提出时变场的为函数，整理与场源的关系：提出时变场的为函数，整理与场源的关系：大朗贝尔方程大朗贝尔方程（用于（用于8.2节点电流辐射源节点电流辐射源的辐射场推导）的辐射场推导）引入能流密度矢量，整理有耗媒质远场区引入能流密度矢量，整理有耗媒质远场区的能量守恒关系：坡印廷定理以及时变场的能量守恒关系：坡印廷定理以及时变场的

3、唯一性定理，回答电磁能流的传播途径的唯一性定理，回答电磁能流的传播途径（例（例4.3.1）引入场量的复数形式，在复数形式下改写有引入场量的复数形式，在复数形式下改写有关方程，提出复介电系数和复磁导率的概关方程，提出复介电系数和复磁导率的概念，定义复功率（复数形式下具有压缩表念，定义复功率（复数形式下具有压缩表达，统一方程，简化计算等优点达，统一方程，简化计算等优点)本章中有两个重要的计算类型本章中有两个重要的计算类型量的求解当然首先要突破一个场一个场量一个场量已知，转换另,HE TAVdtHETS0)(1物理意义，具体计算第一次课要点：*了解波动方程下时变场的常见波场结构*整理达朗贝尔方程，推

4、导电偶极子的矢磁位和辐射场4.1 波动方程波动方程 在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有质，则有 无源区的波动方程无源区的波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量微分方程，阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性揭示电磁场的波动性 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系间的相互作用关系 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 波动方程波动方程 问题的提出问题的提出0222tHH0222tEE电磁波动方程电磁波动方程0222tHH0222tEE22)(tHHH2)(

5、tEH00HtHtH同理可得同理可得 推证推证 问题问题 若为有源空间，结果如何？若为有源空间，结果如何？ 若为导电媒质，结果如何？若为导电媒质，结果如何？什么条件下的产物？还有没有其他形式？有何应用？对于波动方程，首先要了解其某种具体形式存对于波动方程，首先要了解其某种具体形式存在的条件，式在的条件，式4.1.5，4.1.6继承的麦氏方程组继承的麦氏方程组本身的条件的同时，本身的条件的同时，牺牲了场量相互制约牺牲了场量相互制约的的关系，符合波动方程的时变场的解只是麦氏关系，符合波动方程的时变场的解只是麦氏方程组的解的方程组的解的必有条件必有条件，而不是，而不是充分条件充分条件其次对于表达方程

6、要明确如何展开和取舍其次对于表达方程要明确如何展开和取舍（只限于直角坐标系）（只限于直角坐标系）900022222222222222222222222tEzEyExEtEzEyExEtEzEyExEzzzzyyyyxxxx00022222222222222222222222tHzHyHxHtHzHyHxHtHzHyHxHzzzzyyyyxxxx再其次，要掌握如何用波动方程结合对应的再其次，要掌握如何用波动方程结合对应的麦氏方程组，验证可能的波场结构，准确麦氏方程组，验证可能的波场结构，准确判别平面波的波型（判别平面波的波型（TEM,TE,TM,驻波等驻波等)消化对应的习题消化对应的习题波动方程

7、的两个基本用途:*波动方程配合对应的麦氏方程组可能的波场结构*用波动方程确定波参数及其传播条件11场量作为时间和空间的函数有许多可能的形式,如:)cos()sin()cos()sin()sin()cos()(cos)cos()cos(00tzEeExtdzEeEztEeztEeEzxtEeEztEeExtEeExyymyxmxmymxmx等,首先表达式要符合波动方程,其次另一个场量要客观存在,才能彼此相互激励（注意导体边界的影响）00),cos(222222tEzEztEeExxmx此TEM横电磁波的波参数对任何频率都成立频率足够高才能传播频率尺寸一定时存在截止,)(0)(0)cos()sin

8、(222222222220ddtEzExExtdzEeEyyyy对TE、TM横电磁波的波参数需要一定的条件才能成为传播项，与TEM波截然不同讨论习题4.14.4，注意习题4.2均匀平面波的通解表达（用波动方程的复数形式亥姆霍斯方程来论证）4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数问题的提出：对于有源区域的辐射场，波动方程问题的提出：对于有源区域的辐射场，波动方程将是非齐次的，无法直接应用。有源区域的辐射将是非齐次的，无法直接应用。有源区域的辐射场求解需要借助于位函数，特别是矢磁位函数。场求解需要借助于位函数，特别是矢磁位函数。 讨论内容讨论内容 位函数的性质位函数的性质 位函数的定义、作用位函数的定

9、义、作用 位函数的规范条件位函数的规范条件 位函数的微分方程位函数的微分方程引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 引入位函数的意义引入位函数的意义 位函数的定义位函数的定义ABtAE0)(tA0 BtAtB只规定旋度，散度只规定旋度，散度没有规定没有规定 位函数的不确定性位函数的不确定性()()()AAAAAAtttt ）、（A 满足下列变换关系的两组位函数满足下列变换关系的两组位函数 和和 能描述同能描述同一个电磁场问题。一个电磁场问题。）、（AAAt 即即也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位也就是说

10、，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换函数之间的上述变换称为规范变换A 原因：未规定原因：未规定 A 的散度的散度为任意可微函数为任意可微函数),(A除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即 位函数的规范条件位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定位函数的不确定性，可通过规定A 的散度使位函数满足的方程得的散度使位函数满

11、足的方程得以简化。以简化。AA0A0tA目的是实现方程的解耦tDJH)(tAtJA)(222tAJtAAtEJBJtAA222 位函数的微分方程位函数的微分方程BHEDtAEABAAA2)(0tA D)(tA222t同样同样tAEED、0tA两个位函数都是两个位函数都是空间和时间空间和时间的函数，称为时的函数，称为时滞位。采用洛伦丝条件后式子对称滞位。采用洛伦丝条件后式子对称JA2 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程/2222t 说明说明JtAA222 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点具有什么特点? 问题问题 应用洛仑兹条件的特

12、点：应用洛仑兹条件的特点： 位函数满足的方程在形式上是对称位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；的，且比较简单，易求解； 解的物理意义非常清楚，明确解的物理意义非常清楚，明确地地 反映出电磁场具有有限的传递速度；反映出电磁场具有有限的传递速度； 矢量位只决定于矢量位只决定于J，标，标 量位只决定于量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需解出A，无需，无需 解出解出 就可得到待求的电场和磁场。就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢

13、量位用不同的规范条件，矢量位A和标量位和标量位 的解也不相同，但最的解也不相同，但最终终 得到的电磁场矢量是相同的。得到的电磁场矢量是相同的。达朗贝尔方程表明，对于由电流激发的时变达朗贝尔方程表明，对于由电流激发的时变场，当场源场，当场源J一维分布时，矢磁位一维分布时，矢磁位A 也是一也是一维分布的。维分布的。求解的维数较少。矢量矢量EBAJtAA222达朗贝尔方程用于天线激励场结构的求解达朗贝尔方程用于天线激励场结构的求解R4IdlJA线分布时解为2R41/dll线分布时解为2为原点坐标态位空间和时间的函数，动解应该是什么形式？/)(222|4/rrrdlIeAJtAAcrrjk此结果用于第

14、八章，8.2节点电流的辐射场yz zxlP PrrIledlrIeAlrrrdlIeeArjkcrjkcrrjkz44|4/)(/时充分体现了线电流一维分布时，矢磁位求解维数少的优点思考：任何推导H和E的表达式为8.2.4,8.2.5点电流辐射场的远场区为8.2.9和8.2.10或者为习题4.12的结果)sin(sin),()sin(sin),(000rktrEetrHrktrEetrE非均匀球面波，横电磁波，具有代表意义的点源辐射场远场区( )coscose4jkrrrzIlArA eAr( )sinsine4jkrzArA eIlAr 0),(eAtrAzxyrAAA 附：电偶极子辐射场推

15、导附：电偶极子辐射场推导在球坐标系中在球坐标系中ArrAArerererAHrrsinsinsin112HrrHHrerererjHjErrsinsinsin112jkrkrkrjIlkee )(14sin223323232cos1sin1ee4()()4()()jkrjkrrk Iljk Iljjeekrkrkrkrkr由此得到电偶极子的电磁场：由此得到电偶极子的电磁场： 电偶极子周围的空间划分为三电偶极子周围的空间划分为三个区域：个区域： 近场区近场区 远场区远场区 过渡区过渡区1kr1kr远区场远区场近区场近区场中间场中间场2200sin1e4()rjkrHHk IljHkrkr3233

16、232cos1e4()()sin1e4()()0jkrrjkrk IljEkrkrk IljjEkrkrkrE23111, e1()()jkrkrkrkr1kr1 1、近区场：、近区场：qjIjkrjkrjkrrkrkrjIlkHkrjkrkrjIlkEkrjkrIlkEe )(14sine )()(14sine )()(14cos2223233232334sin4sin2cosrIlHrIljErIljEr233334sin2sin4sin2cos2cosrIlHrprqlErprqlEeer准静态场准静态场0Re21*HESav（1）电场表达式与静电偶极子的电场表达式相同；磁场表达式电场表

17、达式与静电偶极子的电场表达式相同；磁场表达式 与用毕奥一萨伐定律计算的恒定电流元产生的磁场表达式与用毕奥一萨伐定律计算的恒定电流元产生的磁场表达式 相同。因此称其为相同。因此称其为似稳场似稳场或或准静态场准静态场。（2）电场和磁场存在）电场和磁场存在 2的相位差，能量在电场和磁场以及场的相位差，能量在电场和磁场以及场 与源之间交换，没有辐射，所以近区场也称与源之间交换，没有辐射，所以近区场也称感应场感应场。 近区场的特点近区场的特点： 2 2、远区场（辐射场）、远区场（辐射场）：1kr32)(1)(11krkrkr2kk323323222cos1e4()()sin1e4()()sin1e4()

18、jkrrjkrjkrk IljEkrkrk IljjEkrkrkrk IljHkrkrsine2sine2jkrjkrIlEjrIlHjr2sine4sine4jkrjkrIlkEjrIlkHjrz zyEyxE电偶极子的方向图电偶极子的方向图z 远区场的特点远区场的特点：远区场是横电磁波，电场、磁场和传播方向相互垂直远区场是横电磁波，电场、磁场和传播方向相互垂直远区场电磁场振幅比等于媒质的本征阻抗远区场电磁场振幅比等于媒质的本征阻抗远区场是非均匀球面波，电磁场振幅与远区场是非均匀球面波，电磁场振幅与1/1/r r 成正比成正比远区场具有方向性，远区场具有方向性，按按 sin变化变化222*2

19、sin222Re21Re21Re21rIleHeEeHEeHeEeHESrrrrav辐射功率辐射功率20222020022)(40)(3ddsin)2sin(2dlIIlrerIleSSPrrSavr 辐射电阻辐射电阻202)(802lIPRrr 辐射电阻低辐射电阻低平均功率流密度为平均功率流密度为 远区场的辐射功率远区场的辐射功率第二次课要点*推导坡印廷定理，了解其物理意义，说明坡印廷矢量以及平均坡印廷矢量的物理意义和计算*明确时谐场的复数形式表达与瞬时表达式间的相互转换关系，整理麦氏方程组、波动方程的复数形式表达，整理复媒质参数，说明复数形式的意义所在。*了解媒质传导电流/位移电流随频率变

20、化的关系，初步了解媒质分类*掌握复数形式下场量相互转换、平均坡印廷矢量的计算。4.3 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容讨论内容 坡印廷定理坡印廷定理 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量坡印廷矢量 进入体积进入体积V的能量体积的能量体积V内增加的能量体积内增加的能量体积V内损耗的能量内损耗的能量电场能量密度电场能量密度：DEwe21磁场能量密度磁场能量密度：BHwm21电磁能量密度电磁能量密度：BHDEwwwme2121空间区域空间区域V中的电磁能量中的电磁能量：VVVBHDEVwWd)2121(d 特点特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随：当场

21、随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动时间改变，从而引起电磁能量流动 电磁能量守恒关系：电磁能量守恒关系： 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系ddWtVS 其中其中： 单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增加 的电磁能量的电磁能量 单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；中的电流所作的功； 在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率内总的损耗功率 通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：积分形式：VVSVJEVBHDEtSHE

22、dd)2121(ddd)(VVJEdVVBHDEtd)2121(ddSSHEd)(JEBHDEtHE)2121()( 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：推导思路：如何从麦氏方程组中构造能量关推导思路：如何从麦氏方程组中构造能量关系系 在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有将以上两式相减，得到将以上两式相减，得到由由tBtDJHtBHHtDJHtBHtDJHH)21()(21DttttD)21()(21BHttHHtHHtBH 推证推证即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：

23、)(HHHJBHDtH)2121()(在任意闭曲面在任意闭曲面S 所包围的体积所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式VVSVVtdd)2121(ddd)(JEBHDESHE 物理意义：物理意义：单位时间内，通过曲面单位时间内，通过曲面S 进入体积进入体积V的电磁能量等于的电磁能量等于 体积体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。 定义：定义： ( W/m2 )HS 物理意义物理意义： 的方向的方向 电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向S 的大小的大

24、小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率S 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E 坡印廷矢量的计算需要解决一个场量已知，如何转换另一个场量坡印廷矢量的计算需要解决一个场量已知，如何转换另一个场量HE 坡印廷定理的推导过程，只考虑了焦耳热，如坡印廷定理的推导过程，只考虑了焦耳热，如果考虑果考虑极化损耗极化损耗和和磁化损耗磁化损耗，还需进一步的，还需进一步的修正。修正。坡印廷矢量坡印廷矢量 表达的是

25、瞬时功率，随时表达的是瞬时功率，随时间而变化，不便作为指标测量，需要提出平间而变化，不便作为指标测量，需要提出平均坡印廷矢量均坡印廷矢量TAVdtHETS0)(1HES物理意义：传播方向上的有功功率 经典题经典题 例例4.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过，导体中流过的电流为的电流为I 。（。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（输的功率；（2）当导体的电导率）当导体的电导

26、率为有限值时，计算通过内导体为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线同轴线 解：解：（1）在内外导体为理想导体（忽略纵向电场）在内外导体为理想导体（忽略纵向电场Ez)的情况的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为,ln()UEeb a()ab 2IH

27、e2 ()ln()22ln()zUIUISE Heeeb ab a内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负载，如图所示。载，如图所示。2d2d2ln()bzSaUIPS eSUIb a穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（理想导体情况）从路的观点，能量似乎是在轴线上传输的，而从场的观从路的观点，能量似乎是在轴线上传输的，而从场的观点，电磁能流实际是在理想介质中传播的

28、点，电磁能流实际是在理想介质中传播的 （2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场向的电场内内2zJIEea根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为zzEE外 内2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁场则仍为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量

29、（非理想导体情况）（非理想导体情况）22122320()d2d2SaIIPSSa zRIaa外e21Ra式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。进入每单位长度内导体的功率为进入每单位长度内导体的功率为由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。向分量，如图所示。 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。

30、当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。21aR 4. 4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界区域内为边界的有界区域内V，如果给定如果给定t0时刻的电场强度和磁场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟

31、一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性问题惟一性问题VS时变场唯一性定理表明：穿入场域引起时变时变场唯一性定理表明：穿入场域引起时变场变化的电磁能流完全取决于边界上电场

32、场变化的电磁能流完全取决于边界上电场和磁场的切线分量。和磁场的切线分量。电场或磁场法线分量电场或磁场法线分量形成的电磁能流只略过场域的表面，并没形成的电磁能流只略过场域的表面，并没有进入场域。有进入场域。时变场唯一性定理是对坡印廷定理的补充说时变场唯一性定理是对坡印廷定理的补充说明明*如何验证探讨时变场可能的解的结构如何验证探讨时变场可能的解的结构*一个场量已知，如何求解另一个场量一个场量已知，如何求解另一个场量*计算坡印廷矢量和平均坡印廷矢量计算坡印廷矢量和平均坡印廷矢量这是本章的几个基本考点这是本章的几个基本考点4. 5 时谐电磁场时谐电磁场 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 时谐

33、电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 时谐场的位函数时谐场的位函数 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量空气作为一种窄带的媒质，大多数通信方式信空气作为一种窄带的媒质，大多数通信方式信号都经过调制和解调，电磁波以正弦、余弦号都经过调制和解调，电磁波以正弦、余弦的形式出现，称为时谐场。的形式出现，称为时谐场。在线性媒质条件下，传播过程中频率不变，可在线性媒质条件下，传播过程中频率不变，可以采用复数形式来表达场量和方程。以采用复数形式来表达场量和方程。*明确瞬时值表达与复数形式准确的相互转换明确瞬时值表达与复数形式准确的相互转换*熟悉复数

34、形式下麦氏方程组，波动方程的写法熟悉复数形式下麦氏方程组，波动方程的写法*媒质参数将提出复介电系数，复磁导率的概念媒质参数将提出复介电系数，复磁导率的概念*论证时谐场采用复数形式有哪些优点？论证时谐场采用复数形式有哪些优点？ 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。 研究时

35、谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。同频率的时谐场的叠加。4.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。题得分析得以简化。 设设 是一个以角频率是一个以角频率 随时间随时

36、间t t 作正弦变化的场量，它作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成它与时间的关系可以表示成( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtr( )0( , )ReRe( )ejtrjtA r tA eA r其中其中( )0( )ejrA rA时间因子时间因子空间相位因子空间相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0为振幅、为振幅、 为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。( )r 实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法复数表示法复数表示法

37、复振幅复振幅 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量的部份就可表示复矢量照此法，矢量场的各分量照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 ( )( , )Re( )eReijtrjtiiimE r tE rE e( , )Re( )ejtmE r tEr( )( )( )( )( )( )( )yxzjrjrjrmxxmyy

38、mzzmEre Er ee Er ee Er e各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明复矢量复矢量)(ReRe),()(ReRe),()(ReRe),(*2)(222*)(*)(jwtjwtrjmEjwtjwtrjmjwtjwtrjmerEweeEwttrEerEjweejwEttrEerEeeEtrE对于复数形式： 例例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式( , )cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz（2）00(, )() sin() sin()c

39、os() cos()xzaxHx z te Hkkztaxe Hkzta解：解：（1）由于）由于( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz(/2)()Reeeyxjt kzjt kzxxmyyme Ee E(/ 2)()( )eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E()eyxjjjkzxxmyyme EeejEe（1）所以所以（2）因为）因为 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkz200( , )()sin()ecos()ejkzjjkzmxzaxxHx ze H ke Haa故故 00( , ,

40、)()sin()sin()cos() cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta所以所以 00()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza 例例4.5.2 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量()c o s ()mxx mzEzej Ekz解解()2(, )R e c o s()eR e c o s()ejtxx mzjtxx mzEz tejEk ze Ek zc o s () c o s ()2xx mze Ekzt其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量c o s () s

41、in ()xx mzeEkzt 注意：复数形式下注意：复数形式下)sin()2cos(),(2kzwtEkzwtEtrEeEejEmmjkzmjkzm)sin()2cos(),(2kzwtEkzwtEtrEeEejEmmjkzmjkzm写出如下复数形式的瞬时值表达写出如下复数形式的瞬时值表达)sin()1(2)1(2)()(*kzEjeEejejeEEeEjeeEeEjeeEmxjkzyxmjkzmyxjkzmyx采用复数形式表达虽然增加了与瞬时值的转换过采用复数形式表达虽然增加了与瞬时值的转换过程程优点之一：压缩了场量的表达优点之一：压缩了场量的表达以电场旋度方程以电场旋度方程 为例，代入相

42、应场量的矢量，可得为例，代入相应场量的矢量，可得tBERe(e)Re(e)j tj tmmEBt Re(e)Re(e)Reej tj tj tmmmEBjBt mmEj B t Re 将将 、 与与 交换次序，得交换次序，得上式对任意上式对任意 t 均成立。令均成立。令 t0 ，得，得4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程ReRemmEjB 令令t/2 ，得，得ReRe ()mmjEjjB Im Im()mmEj B即即t Re0mmmmmmmmHJj DEj BBD0tt DHJBEBD0BDBjEDjJH从形式上讲，只要把微分算子从形式上讲，只要把微分算子 用用 代替，就可以

43、把时谐电磁代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程的麦克斯韦方程jtjt 略去略去“.”和下标和下标m 例题例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为：已知正弦电磁场的电场瞬时值为),(),(),(21tzEtzEtzE8182( , )0.03sin(10)( , )0.04 cos(10/ 3)xxEz tetkzEz tetkz式中式中888888(10/2)(10/3)(/2)(/3)( , )0.03sin(10)0.04cos(10/3)0.03cos(10)0.04cos(10/3

44、)2Re0.03eRe0.04eRe0.03e0.04eexxxxjtkzjtkzxxj kzj kzjxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810t 解：解：（1）因为）因为/2/3( )0.030.04ejjjkzxE zeee故电场的复矢量为故电场的复矢量为试求：（试求：（1）电场的复矢量）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。）磁场的复矢量和瞬时值。（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量jkzjjyjkzjjyxykekezEjezEjzHe e1001.1e106 .7e e04.0e03.0)(1)(3425

45、3200058( , ) Re ( )e 7.6 10 sin(10)j tyH ztH zekt kz481 .0 11 0c o s (1 0)3tk z磁场强度瞬时值磁场强度瞬时值)cos()sin()cos()sin()sin()cos()(cos)cos()cos(00tzEeExtdzEeEztEeztEeEzxtEeEztEeExtEeExyymyxmxmymxmx思考：如何利用复数形式的场量表达求另一个场思考：如何利用复数形式的场量表达求另一个场量量采用复数形式的采用复数形式的优点之二：简化了计算，一个场优点之二：简化了计算，一个场量已知，转换另一个场量时无需积分过程量已知，转

46、换另一个场量时无需积分过程实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗： 导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质电介质交变场受到极化时，存在电极化损耗交变场受到极化时，存在电极化损耗 磁介质磁介质交变场受到磁化时，存在磁化损耗交变场受到磁化时，存在磁化损耗 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。4.5.3 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 ()cjjjj HEEEE 导电媒质的等效介电常数导电

47、媒质的等效介电常数 对于介电常数为对于介电常数为 、电导率为、电导率为 的导电媒质，有的导电媒质，有其中其中 c= -j/、称为导电媒质的等效介电常数。、称为导电媒质的等效介电常数。 电介质的复介电常数电介质的复介电常数 对于存在电极化损耗的电介质，有对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。 cj 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 对于同时存在电极化

48、损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为为 (+)cj 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对于磁性介质，复磁导率数为对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。的数，表示磁介质的磁化损耗。 cj 损耗角正切损耗角正切 工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有复介电系数和复磁导率的实部代表着储能，虚部复介电系数和复磁导率的实部代表着储能，虚部代表着损耗代表着损耗t

49、antan，电介质电介质tan，导电媒质导电媒质磁介质磁介质 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性 导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。媒质具有不同的导电性能。称为弱电导媒质流时传导电流远小于位移电, 101. 0称为半电导媒质,10001.0称为良导体,100称为理想介质,0称为理想导体,媒质的性质随频率而变，是一种重要的电磁媒质的性质随频率而变，是一种重要的电磁现象现象4.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 （复数形式的波动方程）（复数形式的波动方程）导电媒质导电媒质理想介质理想介质 在时

50、谐时情况下，将在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。222t jt 瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量222200kkEEHH()k 22222200ttEEHH()cck 22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH时谐场采用复数形式的优点之三：统一不同媒时谐场采用复数形式的优点之三：统一不同媒质条件的波动方程，便于解的结构的推广质条件的波动方程，便于解的结构的推广jkzmxeEeE解如理想介质无源区域的zjkmxceEeE在导电的损耗媒质下4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能

51、流密度矢量 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。关系，这种关系式称为二次式。为初相位特定方向上的常矢量memeHEkzwtHHkzwtEE,)cos()cos(0000则能流密度为则能流密度为 )cos()22cos(21)cos()cos(0000mememekzwtHEkzwtkzwtHES)cos(21)(1000meTavHEdtHETS此为习题此为习题4.14的结论的结论如把电场强度和磁场强度用复数表示，即

52、有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有Re21Re21Re21)cos(21)(1*00000HEHEeHeEHEdtHETSmejjmeTav平均坡印廷作为一个周期的平均值。均含平均坡印廷作为一个周期的平均值。均含有有1/2 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要在时谐电磁场中，常常要关心关心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量0011d()dTTavtEHtTTSS平均电场能量密度平均电场能量密度00111dd2TTeavewwtE D tTT 平均磁场能量密度平均磁场能量密度00111dd2T

53、TmavmwwtH B tTT 在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有算，有1Re() ,2avEHS1Re()4mavwH B 1Re() ,4eavwE D 例例4.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为为 ，其中，其中k 和和 E0 为常数。求：为常数。求：（1）磁场强度复矢）磁场强度复矢量量H ；（；（2）瞬时坡印廷矢量）瞬时坡印廷矢量S ；（；（3）平均）平均坡印廷矢量坡印廷矢量Sav 。0( )ejkzyzEEe 解解：（1）由得）由得0j EH000

54、000011( )( )()(e)1(e)ejkzzyjkzjkzxxzzEjjzkEEjz HEeeee（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为00( , )Re( )ecos()j txkEz tztkz HHe0( , )Re( )ecos()jtyz tzEtkzEEe （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为0002200001Ree(e) 221Re()2zjkzjkzavyxzkEEkEkE Seeee2002222000001dd2cos ()d22TavzzttTkEktkztE SSSee或直接积分，得或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为2200cos (

55、)zkEtkze000cos() cos()yxkEEtkztkz SEHee 例例4.5.5 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为00( , )cos(),( , )cos()xyz tEtkzz tHtkzEeHe解解:(1)22002222000011()()221cos ()cos ()2emwwwEHEtkzHtkzE DB H*22000011Re()()44aveavmavwwwEH E DB H*000000e,e,e,ejkzjkzjkzjkzxxyyEEHHEeDeHeBe由于由于(2)200( , )( , )cos

56、 ()zz tz tE HtkzSEHe*0011R e ()22a vzEHSEHe所以所以其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1) w 和和 wav ；(2) S 和和 Sav。例例4.5.6 已知截面为已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为的矩形金属波导中电磁场的复矢量为 bazjzxzjyaxHeaxHajeHaxHajeEe)cossin(esin000式中式中H0 、都是常数。试求：（都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。）平均坡印廷矢量。 解：解：（1） 和和 的瞬时值为的瞬时值为EH)sin(sineRe),(0ztaxHaeEtzxEytj0coscos()zxe Htza0( , , )Reesinsin()jtxaxH x z tHeHtza )(sin)sin()()22sin()2sin(4),(),(),(220220ztaxHaeztaxHaetzxHtzxEtzxzxS)(sin)(21Re212202*axHaeHEzavS（2）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量平均坡印廷矢量只代表传播方向上的电磁能流平均坡印廷矢量只代表传播方向上的电磁能流的平均功率的平均功率 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适