导数的基本概念

1、第一节第一节 导数的基本概念导数的基本概念一一 问题的提出问题的提出二二 导数的定义导数的定义三三 求导数举例求导数举例四四 导数的几何意义导数的几何意义五五 可导与连续的关系可导与连续的关系六六 小结小结1.变速直线运动的速度问题,0t,t一、问题的提出时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度求求函数为函数为设动点于时刻的位置设动点于时刻的位置如图如图, ,t)(tss 0t,的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度0ttt 0000)()(tttststtss 0tt 取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度当当.)()(lim000tttstsvtt 时，时，2.切线问题割线

2、的极限位置切线位置播放播放MNT T0 xxoxy)(xfy CNM T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图,极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 如果割线如果割线 绕绕点点 旋转而趋向极限位旋转而趋向极限位置置 , ,直线直线 就称为曲就称为曲线线 在点在点 处的处的切线切线. .MNMMTCMTM( 1.函数在一点处的导数 二、导数的定义y记为处的导数,在点数并称这

3、个极限为函处可导,在点则称函数时的极限存在,之比当与如果得增量取相应地函数时,仍在该邻域内)点处取得增量在当自变量有定义,的某个邻域内在点定义1.设函数)(xfy 0 xx0 xx 0 xx x x 0)(xfy 0 x0 x)(xfy );()(0 xfxxfy y .0 xxy 导数的定义也可为下列形式导数的定义也可为下列形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000)(,00 xfdxdyxx 即即2. 函数在区间内的导数 dxxdfdxdyxfy)(,)(,或记作 y 即xxfxxfx )()(lim0很明显.)()

4、(00 xxxfxf .,定义2内的每点在区间如果函数的导函数原来函数导数值.这个函数叫做的一个确定的都对应着对于任一内可导.在开区间处都可导，就称函数)(xfy )(xf)(xf)(xfIIIx 3 单侧导数左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 右导数右导数: :;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ).()()()()(00000 xfxfxfxfxxf 且且在,在,存存点可导点可导在在函数函数、定义3及内可导，且在开区间如果)(),()(afbaxf上可导.在闭区间都存在，就说b

5、axfbf,)()( 可导性.可导性.的的讨论在点讨论在点设函数设函数000,),(),()(xxxxxxxxf 4.分段函数的导数xxfxxf )()(lim000 x-若若存在,存在,)()()(lim0000 x-xfxxxx xxfxxf)()(lim000 x若存在,)()()(lim0000 xxfxxxx.)()(,)()(0000axfxxfaxfxf 且且可导可导在在则则且且，. 0);()(xfxxfy (1) (1)求增量求增量 (2)(2)算比值算比值;)()(xxfxxfxy .lim0 xxyy (3) (3)求极限求极限 (解hxfhxfxfh) ()(lim)

6、(0hCCh 0lim即即. 0)( c常常数数的的导导数数是是零零. .三、 由定义求导数举例例1 为常数为常数) )的导数的导数. .求函数求函数Cxf )(C)()(21 xx例如例如,12121 x.21x )()1(1 xx11) 1( x.12x 解xxxxxnnxn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnxxxxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx更一般地更一般地)(.)(1为常数为常数 xx即即例2nxy 求函数求函数(n(n为正整数为正整数) )的导数的导数. . cos x例3求函数求函数 )(xf.) sin( sin xx求求, ,解22sin)2cos(

7、lim0 xxxxx xxxxxxfx )(sin)sin(lim) sin()(0故故xx cos) (sin 同样地同样地，xx sin) cos( 例4求函数求函数)1, 0(log aaxya的导数的导数. .xxxxyaah log)(loglim0axxxaxln)1(loglim0 axaxxxhln1lnlim0 ( (换地公式换地公式) )解特别地，特别地，.1) ln(xx 求函数求函数例5)1, 0()( aaaxfx的导数的导数. .解xeaxaaaaxxxxxxxx 1limlim)(ln00.lnlnlim0aaxaxaxxx ( (无穷小等价代换无穷小等价代换)

8、)即即.)( ln)(xxxxeeaaa 例6 求函数求函数|)(xxf 的导数的导数. .解 当当,)( , 0 xxfx ; 1)()(lim)(0 xxxxxfxxy xyo,)( , 0 xxfx 当当; 1)()(lim)(0 xxxxxfx, 0)0( , 0 fx 当当 0limx, 1lim0|0|lim)0(00 xxxxfxx, 1lim0|0|lim)0(00 xxxxfxx)0(f 不存在不存在. .即即.0 1 0 1) |(| xxxoxy)(xfy T0 xM切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).0)( )()(10000 xfxxxfyy,tan)(0 x

9、f ( 为斜率为斜率) 在在 表示曲线表示曲线 处切线处切线).)(000 xxxfyy 如果函数如果函数)(xf0 x处可导处可导，)(0 xf )(xfy 在点在点)(,(00 xfxM的斜率，即的斜率，即 则则四、导数的几何意义轴的直线轴的直线，0)(0 xf特别，特别， 当当时时，切线是平行于切线是平行于y);(0 xfy 法线是平行于法线是平行于轴的直线轴的直线，;0 xx x 当当 )(0 xf时时，切线是平行于切线是平行于y轴的直线轴的直线，;0 xx 法线是平行于法线是平行于x轴的直线，轴的直线，).(0 xfy 解 根据导数的几何意义根据导数的几何意义, , 得切线斜率为得切

10、线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为2| xyk4,|yk 2x)(xy2x2 ),2(44 xy即即; 044 yx),2(414 xy即即例7求曲线求曲线2xy 在在(2,4)(2,4)处的切线的斜率，并处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程写出在该点处的切线方程和法线方程. . 0184 yx定理： 可导函数是连续函数.)(0连续连续在点在点函数函数xxf证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 )0(0 x 五、函数可导与连续的关系注意: 反之不成

11、立反之不成立. .即连续不一定可导。即连续不一定可导。 比如比如|)(xxf 函数函数0 x处连续但不可导处连续但不可导. .在在同理可证同理可证: :3xy 及及 0 0 0 1sin xxxxy在在处连续但不可导处连续但不可导. .0 x解 由可导与连续的关系由可导与连续的关系, ,可知可知: :)0()(lim1)(lim00fbaxfxfxx )0(01lim012sin1lim)0(00 fxbeaxxfxxx. 2, 1 ba所以所以,1lim2 , 1|0 xebbaxx 即即例8 设设,0 0 2sin1)( xbeaxxxfx试确定试确定,ba使得使得在在0 x在处可导在处可

12、导. .)(xf1. 1. 导数的实质导数的实质: : 增量比的极限增量比的极限; ;3. 3. 导数的几何意义导数的几何意义: :切线的斜率切线的斜率; ;4. 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导; ;5. 5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: :由定义求导数由定义求导数. .;)()()( 000axfxfaxf 2.2.6. 6. 判断可导性判断可导性不连续不连续, ,一定不可导一定不可导. .连续连续直接用定义直接用定义; ;左右导数是否存在且相等左右导数是否存在且相等. .六 小结与思考判断题2.切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限MTN2.切线问题切线：割线的极限切线：割线的极