第2章逻辑门与逻辑代数基础

1、第第2章章 逻辑门与逻辑代数基础逻辑门与逻辑代数基础本章介绍：逻辑描述、逻辑门、逻辑代数本章介绍：逻辑描述、逻辑门、逻辑代数基本公式与逻辑代数化简。基本公式与逻辑代数化简。2.1 逻辑描述逻辑描述1. 逻辑函数逻辑函数 逻辑函数与一般的数学函数一样，逻辑函数与一般的数学函数一样，描述输入与输出变量描述输入与输出变量之间的逻辑关系之间的逻辑关系，函数中的逻辑变量常用大写或小写字母表，函数中的逻辑变量常用大写或小写字母表示，但取值只能为示，但取值只能为0或或1。通常取值为。通常取值为1的变量称为原变量，的变量称为原变量，取值为取值为0的变量称为反变量。的变量称为反变量。2. 真值表真值表 真值表是

2、将所有可能情况下的输入取值与对应的输出值真值表是将所有可能情况下的输入取值与对应的输出值列成的表格，是逻辑关系的表格表示列成的表格，是逻辑关系的表格表示。通常表格左侧为输入。通常表格左侧为输入变量按照二进制数增序排列的所有取值，右侧为输出变量。变量按照二进制数增序排列的所有取值，右侧为输出变量。 如果用数字如果用数字0、1表示输入与输出变量的取值，则真值表表示输入与输出变量的取值，则真值表描述输入逻辑变量与输出变量之间的关系。如果用高电平描述输入逻辑变量与输出变量之间的关系。如果用高电平H、低电平低电平L表示输入信号与输出信号的取值，则真值表描述门表示输入信号与输出信号的取值，则真值表描述门电

3、路输入与输出之间的电平关系，称为电平真值表。电路输入与输出之间的电平关系，称为电平真值表。 3. 3. 逻辑电路图逻辑电路图 逻辑图逻辑图是是用图形的方式描述逻辑输入变量与输用图形的方式描述逻辑输入变量与输出变量之间的关系出变量之间的关系，逻辑门符号是逻辑图的基本元，逻辑门符号是逻辑图的基本元素。素。 在逻辑电路图中，低电平或是逻辑在逻辑电路图中，低电平或是逻辑0 0有效的信号，有效的信号，常与逻辑非（小圆圈）引脚连接，以表示该信号是常与逻辑非（小圆圈）引脚连接，以表示该信号是低电平或是逻辑低电平或是逻辑0 0有效的信号。若是信号不与逻辑非有效的信号。若是信号不与逻辑非符号（小圆圈）引脚连接，

4、则表示该信号是高电平符号（小圆圈）引脚连接，则表示该信号是高电平或是逻辑或是逻辑1 1有效的信号。用圆圈表示逻辑非的符号称有效的信号。用圆圈表示逻辑非的符号称为逻辑非符号。为逻辑非符号。4. 4. 逻辑信号逻辑信号 逻辑信号既可以用高电平逻辑信号既可以用高电平H H或是逻辑或是逻辑1 1表示有效，表示有效，也可以用低电平也可以用低电平L L或是逻辑或是逻辑0 0表示有效。在信号为高表示有效。在信号为高电平电平H H或是或是1 1有效的逻辑中，低电平有效的逻辑中，低电平L L或是或是0 0表示信号表示信号无效，而在信号为低电平无效，而在信号为低电平L L或是或是0 0有效的逻辑中，高有效的逻辑中

5、，高电平电平H H或是或是1 1表示信号无效。有些逻辑图中的信号既表示信号无效。有些逻辑图中的信号既有高电平有效的信号也有低电平有效的信号，这种有高电平有效的信号也有低电平有效的信号，这种逻辑称为混合逻辑。逻辑称为混合逻辑。 若是用逻辑若是用逻辑1 1代表高电平代表高电平H H，用逻辑，用逻辑0 0代表低电代表低电平平L L，则称为，则称为正逻辑正逻辑；若是用逻辑；若是用逻辑1 1代表低电平代表低电平L L，用逻辑用逻辑0 0代表高电平代表高电平H H，则称为负逻辑。，则称为负逻辑。 2.2 2.2 基本逻辑门功能概述基本逻辑门功能概述 1. 1. 非门非门 非门又称为非门又称为反相器反相器，

6、是实现逻辑非运算的逻辑电路。，是实现逻辑非运算的逻辑电路。YA电路图EAYR 当决定事件（当决定事件（Y Y）发生的条件（）发生的条件（A A）满足时，事）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：表达式为：输入输入输出输出输入输入输出输出AYAYLH01HL10逻辑符号：逻辑符号：真值表真值表【例例2-1】 如图一串方波波形加在非门输入端，如图一串方波波形加在非门输入端，试画出非门输出端波形。试画出非门输出端波形。【例例2-2】 用非门实现反码用非门实现反码 2或门或门 或门或门是是实现或运算的门电路实现或运算的门电路。 或运算或运算又称为又

7、称为或逻辑或逻辑、逻辑加逻辑加：当决定事件（：当决定事件（Y）发生的各种条件（发生的各种条件（A，B，C，)中，中，只要有一个只要有一个或多个条件具备，事件（或多个条件具备，事件（Y）就发生。）就发生。表达式为表达式为：逻辑符号逻辑符号：电路图L=ABEABYYAB输入变量输入变量A与与B中只要有一中只要有一个为个为1，则输出，则输出Y为为1。输输 入入输输 出出ABY000011101111电路图L=ABEABY或门或门真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式：【例例2-3】 图图2-6所示波形加在一个或门输入端，所示波形加在一个或门输入端，试画出或门输出端的波形试画出或门输出端的波形 图图2-6【

8、例例2-4】某房间的某房间的3个窗户上安装有磁控开关，当窗个窗户上安装有磁控开关，当窗户打开时磁控开关输出高电平，现在要求设计一个电户打开时磁控开关输出高电平，现在要求设计一个电路，当任何一个窗户打开时，该电路输出报警信号。路，当任何一个窗户打开时，该电路输出报警信号。图图2-7 3与门与门 与门与门是是实现与运算的门电路实现与运算的门电路。与运算又称为与逻辑、。与运算又称为与逻辑、逻辑乘。逻辑乘。与逻辑与逻辑：仅当决定事件（：仅当决定事件（Y）发生的所有条件）发生的所有条件（A，B，C，）均满足时，事件（）均满足时，事件（Y）才能发生。）才能发生。 输输 入入输输 出出ABY00001010

9、0111YA B电路图L=ABEABY逻辑符号逻辑符号表达式表达式：真值表真值表【例例2-5】 对于图所示的对于图所示的A、B波形，试确定与门波形，试确定与门输出波形。输出波形。【例例2-6】 利用与门控制计数器输入脉冲的脉冲频率利用与门控制计数器输入脉冲的脉冲频率测量电路如图测量电路如图2-10所示，试分析工作原理所示，试分析工作原理 图图2-10图图2-9【例例2-7】 汽车安全带绑紧检测装置如图汽车安全带绑紧检测装置如图2-112-11所示，所示，试分析工作原理试分析工作原理 解：当汽车点火开关接通（输出信号为高电平解：当汽车点火开关接通（输出信号为高电平H），），30 s定时器开始计时

10、，当定时器开始计时，当30 s定时器时间到（输出定时器时间到（输出信号为高电平信号为高电平H），若安全带未绑紧（输出信号为高），若安全带未绑紧（输出信号为高电平电平H）时，与门输出高电平，三极管）时，与门输出高电平，三极管9013饱和导饱和导通，蜂鸣器报警。通，蜂鸣器报警。图图2-114与非门与非门与非门可实现与门和非门的复合运算与非门可实现与门和非门的复合运算 输输 入入输输 出出 ABY001011101110YA B逻辑符号：逻辑符号：表达式：表达式：真值表真值表见见0得得1，全，全1得得0图图2-12【例例2-8】 对于图对于图2-13所示的所示的A、B波形，试确定与波形，试确定与非门

11、输出波形。非门输出波形。【例例2-9】某工业生产中，某工业生产中，需要监视两种液体的液位，需要监视两种液体的液位，当液位高于液罐高度的当液位高于液罐高度的10%10%时，液位传感器输出时，液位传感器输出高电平，否则输出低电平。高电平，否则输出低电平。要求当两罐液位同时高于要求当两罐液位同时高于液罐高度的液罐高度的10%10%时，绿色时，绿色发光二极管亮。发光二极管亮。图图2-13图图2-145或非门或非门或非门可实现或门和非门的复合门运算或非门可实现或门和非门的复合门运算 输输 入入输输 出出ABY001010100110YAB表达式表达式：逻辑符号逻辑符号真值表真值表见见1得得0，全，全0得

12、得1【例例2-10】 对于图对于图2-16所示的所示的A、B波形，试确定波形，试确定或非门输出波形。或非门输出波形。【例例2-11】 汽车门关闭检测系统，汽车门若是汽车门关闭检测系统，汽车门若是未完全关闭未完全关闭，门检测开关输出高电平门检测开关输出高电平；若是门完全关闭，门开关输出低电；若是门完全关闭，门开关输出低电平。要求若是有一个或多个门未完全关闭，发光二极管亮，平。要求若是有一个或多个门未完全关闭，发光二极管亮，提示驾驶员关门。提示驾驶员关门。图图2-16图图2-176异或门异或门（同或非）（同或非）异或门异或门：实现异或逻辑：实现异或逻辑 。异或是一种二变量逻辑运异或是一种二变量逻辑

13、运算，当两个输入变量取值算，当两个输入变量取值相同相同时，逻辑函数值为时，逻辑函数值为0；当两个输入变量取值当两个输入变量取值不同时不同时，逻辑函数值为，逻辑函数值为1。输输 入入输出输出 ABY000011101110YABAB表达式：表达式：逻辑符号逻辑符号:真值表真值表Y= A B【例例2-12】 对于图对于图2-19所示的所示的A、B波形，试确定波形，试确定异或门输出波形。异或门输出波形。 图图2-19Y= A BY= 0 B= BY= 1 B=Y A B A B 017同或门同或门（异或非）（异或非）同或门同或门：实现同或逻辑。：实现同或逻辑。同或同或是一种二变量逻辑运是一种二变量逻

14、辑运算，算，当两个变量取值当两个变量取值相同相同时，逻辑函数值为时，逻辑函数值为1；当两；当两个变量取值个变量取值不同不同时时，逻辑函数值为，逻辑函数值为0。 输输 入入输输 出出 ABY001010100111 YABAB表达式：表达式：逻辑符号逻辑符号:真值表真值表Y= A B【例例2-132-13】 某装置为可靠运行，采用两套控制装置，某装置为可靠运行，采用两套控制装置，当两套控制装置输出结果同是当两套控制装置输出结果同是1 1或或0 0时，时，一致性检测一致性检测装置装置的发光二极管灭，否则发光二极管亮。的发光二极管灭，否则发光二极管亮。解：一致性检测装置如图解：一致性检测装置如图2-

15、212-21所示，当控制装置所示，当控制装置1 1和和2 2输出同为高电平或是低电平时，同或门输出高输出同为高电平或是低电平时，同或门输出高电平，发光二极管灭；当控制装置电平，发光二极管灭；当控制装置1 1或或2 2输出不一致输出不一致时，同或门输出低电平，发光二极管亮。时，同或门输出低电平，发光二极管亮。图图2-212.3 2.3 逻辑代数基本定律与公式逻辑代数基本定律与公式2.3.1 2.3.1 基本定律基本定律1 1交换律交换律或或运算交换律运算交换律 A + B = B + A与与运算交换律运算交换律 A B = B A或运算交或运算交换律证明换律证明等式等式左侧左侧等式等式右侧右侧A

16、BA+BB+A00000111101111112. . 结合律结合律或或结合律结合律 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C与与结合律结合律 A( B C ) = ( AB )C结合律结合律表明门电路的输出与输入变量组表明门电路的输出与输入变量组的接入的接入位置无关位置无关 3 3分配律分配律与对或与对或的分配律的分配律： A(B+C)=AB +AC或对与或对与的分配律：的分配律： A+BC =(A+B)(A +C)A B CBC A+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0 0 0000000 0 1000100 1 0001000 1 1111111 0 0011111

17、0 1011111 1 0011111 1 111111u证明证明：（1 1）真值表法）真值表法或对与或对与的分配律：的分配律： A+BC =(A+B)(A +C)（2 2）公式推演法）公式推演法u证明证明左右 BCABCCBABCACABACABA)1()(左右 BCABCCBABCACABACABA)1()(左右 BCABCCBABCACABACABA)1()(左右 BCABCCBABCACABACABA)1()(或对与或对与的分配律：的分配律： A+BC =(A+B)(A +C)2.3.2 2.3.2 基本公式基本公式1 1使能公式使能公式（1）A+0=A （2）A 1=A2 2禁止公式

18、禁止公式（1）A+1=1 （2）A 0=0输入为输入为0 0的信号可以使能或门的信号可以使能或门 输入为输入为1 1的信号可以使能与门的信号可以使能与门输入为输入为1 1的信号可以禁止或门的信号可以禁止或门 输入为输入为0 0的信号可以禁止与门的信号可以禁止与门 3 3冗余公式冗余公式（1）A+A=A （2）A A=A4 4互补公式互补公式1AA0A A5 5双重否定公式双重否定公式AA6吸收公式吸收公式 （1） A+AB =A BABABAAABAA 1 两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。的因子，则此因子是多余

19、的，可以消去。证：证： A+AB=A（1+B）=A1=A 在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。因子，则该项是多余的，可以删去。证：证：（2）BABAA 与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，若两项的剩余因子包含在第三个乘变量和反变量，若两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的积项中，则第三项是多余的CAABBCDECAAB 公式推广：公式推广： BCCAAB)1()1(BCACAB CAAB等式右边等式右边BCAACAAB)( BCAABCCA

20、AB 证明证明7包含公式包含公式CAABBCCAAB 2.3.3 2.3.3 基本定理基本定理1 1代入定理代入定理 任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一逻辑变量都用一个逻辑函数式来有出现的某一逻辑变量都用一个逻辑函数式来代替，则逻辑等式仍然成立。代替，则逻辑等式仍然成立。这个定理称为这个定理称为代代入定理。入定理。()BCDBCD BBCD()(1)BCDBBCD等式左侧等式左侧： 在在A + AB = A中，将所有出现中，将所有出现A的地方都用函数的地方都用函数B+CD代替，代替，则等式仍成立则等式仍成立 2对偶式和对偶定理对偶式和对偶定理

21、对偶式对偶式就是将一个逻辑函数式就是将一个逻辑函数式Y中所有中所有的的“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，“1”换成换成“0”，“0”换成换成“1”，则得到一个新的逻则得到一个新的逻辑函数式辑函数式Y。对偶定理：对偶定理：若是两逻辑函数式相等，则它若是两逻辑函数式相等，则它们的对偶式也相等。们的对偶式也相等。()YA BCYABC 3反演定理反演定理 将一个逻辑函数式将一个逻辑函数式Y中所有的中所有的“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，“1”换成换成“0”，“0”换成换成“1”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得则得到的逻辑函数式为到的逻辑函数

22、式为Y 。将。将Y变为变为Y的规律称为反的规律称为反演定理。演定理。 使用反演定理时，注意遵循如下约定：使用反演定理时，注意遵循如下约定： 需要遵守需要遵守“先括号，然后乘，最后加先括号，然后乘，最后加”的的运算顺序。运算顺序。 不属于单个变量上的非号应该保留不变。不属于单个变量上的非号应该保留不变。 例例 ,求求DACBCADCBDACBCADCCBAY)(CDCBAY)(YCDCBAY例例 :若若，求求YCDCBAY)(4 4摩根定理摩根定理（1 1）摩根定理）摩根定理a）定理）定理1： 或函数的非或函数的非等于等于非的与函数非的与函数，即，即 ABABA B001101001000110

23、0AB ABb）定理）定理2：与函数的非与函数的非等于等于非的或函数非的或函数ABABA B0011011110111100（1 1）摩根定理）摩根定理ABAB【例例2-14】使用摩根定理化简图所示的逻辑图。使用摩根定理化简图所示的逻辑图。 AB C AB C ABC ABC可以得到输出表达式为可以得到输出表达式为 由摩根定理有：由摩根定理有： （2 2）摩根定理用于门电路转换）摩根定理用于门电路转换a a）将或门转换成输入低电平有效的与非门。）将或门转换成输入低电平有效的与非门。YAB YA Bb b）将与门转换成输入低电平有效的或非门。）将与门转换成输入低电平有效的或非门。YABYABc

24、c）将与非门转换成输入低电平有效的或门。）将与非门转换成输入低电平有效的或门。YABYABd d）将或非门转换成输入为低电平有效的与门。）将或非门转换成输入为低电平有效的与门。 YAB YAB2.4 2.4 标准逻辑函数式标准逻辑函数式1 1标准标准与与-或或函数式函数式 最小项最小项: :若与若与- -或逻辑函数式中的与（乘积）项或逻辑函数式中的与（乘积）项中包含所有输入变量，且每个变量以原变量或是反中包含所有输入变量，且每个变量以原变量或是反变量出现变量出现1 1次，则该次，则该与项与项称为称为最小项最小项。 标准与标准与- -或函数式或函数式: : 与项采用最小项形式的与与项采用最小项形

25、式的与- -或函数式或函数式最小项最小项 m： m是是n个变量的乘积项个变量的乘积项 m包含包含n个因子个因子 n个变量可以原变量或反变量的形式在个变量可以原变量或反变量的形式在m中出中出现一次现一次.对于对于n n变量函数变量函数有有2 2n n个最小项个最小项最小项举例：最小项举例： 两变量两变量A、B的最小项的最小项）（4个2,2 ABBABABA）（8个2,3 ABCCABCBACBABCACBACBACBA 三变量三变量A、B、C的最小项的最小项最小项的编号：最小项的编号：最小项最小项 使使m为为1的取值的取值 对应对应10进制数进制数编编 号号ABC0 0 0 0m00 0 1 1

26、m10 1 0 2m20 1 1 3m31 0 04m41 0 15m51 1 06m61 1 17m7在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1ABCCABCBACBABCACBACBACBAABCCABCBACBABCACBACBACBA最小项的性质最小项的性质 在输入变量任一取值下，必有一个最小项而且仅在输入变量任一取值下，必有一个最小项而且仅有一个最小项的值为有一个最小项的值为1 全体最小项之和为全体最小项之和为1 任何两个最小项之积为任何两个最小项之积为0 两个两个相邻相邻的最小项之和可以的最小项之和可以合并合并，消去一对因子，消去

27、一对因子，只留下公共因子。只留下公共因子。 相邻相邻：仅一个变量不同的最小项：仅一个变量不同的最小项 BACCBABCACBABCACBA )(与()()Y A B A C A BC C AB BC YABAC1,3,6,7m（） 7631Y A B CA B CA B CA B C m m m m m表示最小项表示最小项，下标下标是是最小项的编号最小项的编号。 在与在与-或函数式中，只要有一个最小项为或函数式中，只要有一个最小项为1，则与，则与-或函数式等于或函数式等于1。标准与标准与- -或函数式或函数式: : 7 6 3 1YA B CA B CA B CA B Cmmmm 2 2标准标

28、准或或-与与函数式函数式最大项最大项：若或若或-与函数式中的与函数式中的或或（和）（和）项项包含所有包含所有变量，且每个变量以原变量或是反变量形式出现变量，且每个变量以原变量或是反变量形式出现1次，则该次，则该或项或项称为称为最大项最大项。标准或标准或-与函数式与函数式：或项采用最大项书写的或或项采用最大项书写的或-与函与函数式数式。 最大项最大项M M是是n个变量的和项个变量的和项 M包含包含n个变量个变量 n个变量均以原变量或反变量的形式在个变量均以原变量或反变量的形式在M中出中出现一次现一次最大项最大项）（4个2,2 BABABABA最大项举例：最大项举例： 两变量两变量A、 B的最大项

29、的最大项最大项最大项使使M为为0的取值的取值 对应对应10进制数进制数编编 号号ABC0 0 0 0M00 0 1 1M10 1 0 2M20 1 1 3M31 0 04M41 0 15M51 1 06M61 1 17M7CBACBACBACBACBACBACBACBA 最大项的编号最大项的编号在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0 0 在非标准或在非标准或-与式中的或项中，增加缺失变量与式中的或项中，增加缺失变量的原变量和反变量相与的项。的原变量和反变量相与的项。 例如：或项中缺失变量例如：或项中缺失变量D，则增加，则增加 ，然后，然后

30、用或对与的分配律，就可以将或项转换成最大项。用或对与的分配律，就可以将或项转换成最大项。 或对与的分配律：或对与的分配律：A+BC=(A+B)(A+C)DD求标准或求标准或-与函数式的方法：与函数式的方法：最大项的性质最大项的性质 在输入变量任一取值下，必有一个最大项，而且在输入变量任一取值下，必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为仅有一个最大项的值为0 0 全体最大项之积为全体最大项之积为0 0 任何两个最大项之和为任何两个最大项之和为1 1【例例2-15】 ()()()YABC BCD ABCD()()()A B C DD AA B C D A B C D ()()()()()A B C

31、 D A B C D A B C D A B C D A B C D ()()()()A B C D A B C D A B C D A B C D 451 36( ) ( ) ( ) ( )Y A B C D A B C D A B C D A B C D M M M M (4,5,6,13)M对于任意一个最大项，只有一组变量，使最大项为对于任意一个最大项，只有一组变量，使最大项为0 0 最大项与最小项之间的关系：最大项与最小项之间的关系：iimM 00MBAB Am 相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系 mi =Mi Mi =mi若干个最小项之和表示的表

32、达式若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数，其反函数 可可用与这些最小项相对应的等同个最大项之积表示。用与这些最小项相对应的等同个最大项之积表示。7531mmmmF75317531mmmmmmmmF 7531MMMM F2.5 2.5 代数法化简函数式代数法化简函数式 化简函数式的目的就是使逻辑函数式简单，化简函数式的目的就是使逻辑函数式简单，实现函数式时不仅所用的门电路最少，而且实现函数式时不仅所用的门电路最少，而且门电路的输入端个数最少。或者说在门电路的输入端个数最少。或者说在最简与最简与或函数或函数式中，式中，与项最少与项最少，与项中的，与项中的变量数最变量数最少少，因此为最简与或函数

33、式。，因此为最简与或函数式。 逻辑代数法化简就是用逻辑代数的定律逻辑代数法化简就是用逻辑代数的定律与公式进行化简与公式进行化简BACACBACCABACY吸收公式摩根定理 )(【例例2-21】 将图所示的逻辑图化简到最简形式。将图所示的逻辑图化简到最简形式。 ABCCBAC YABCCABCD函数式化简：函数式化简： Y ABCCABCD()ABC CABCDACBCCABDABCD【例例2-22】 试画出表试画出表2-10所示真值表的逻辑图。所示真值表的逻辑图。A B C Y00000011010001101001101111011110 YABCABCABCABCCACBY2.6 2.6

34、卡诺图卡诺图2.6.1 2.6.1 画卡诺图画卡诺图 卡诺图是二维表格，像真值表一样，卡诺图中的卡诺图是二维表格，像真值表一样，卡诺图中的每一个格代表一个输入组合每一个格代表一个输入组合，因此三变量输入的卡诺，因此三变量输入的卡诺图具有图具有2 23 3=8=8个格。个格。 卡诺图每个格中填入的数字是对应输入变量组合卡诺图每个格中填入的数字是对应输入变量组合的输出逻辑值。的输出逻辑值。1.卡诺图卡诺图A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABBAAB ABAB1010 m0 m1 m2 m3 miABC01000111100001111000011110 m0 m1 m

35、2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD二二变变量量K图图三三变变量量K图图四四变变量量K图图2 2从真值表到卡诺图从真值表到卡诺图 真值表与卡诺图一样是输入变量的最小项与输出真值表与卡诺图一样是输入变量的最小项与输出值之间关系的表格，因此只要将值之间关系的表格，因此只要将真值表中输出为真值表中输出为1 1的的最小项所对应的卡诺图格中填入最小项所对应的卡诺图格中填入1 1，就可以完成真值，就可以完成真值表到卡诺图之间的转换。表到卡诺图之间的转换。 例如，图（例如，图（a a）所示的真值表

36、，其输出）所示的真值表，其输出Y（A、B、C）为为1 1的最小项值是的最小项值是001001、010010、110110和和111111，将这些最小，将这些最小项对应卡诺图格中填入项对应卡诺图格中填入1 1，如图（，如图（b b）所示卡诺图。）所示卡诺图。3 3将与将与- -或函数式填入卡诺图或函数式填入卡诺图（1 1）将标准与）将标准与- -或函数式填入卡诺图或函数式填入卡诺图 YABCABCABCABC【例例2-232-23】将四变量标准与将四变量标准与- -或或函数式填入四变量卡诺图。函数式填入四变量卡诺图。 YABCDABCDABCDABCD1512146mmmmY（2 2）非标准与）

37、非标准与- -或函数式填入卡诺图或函数式填入卡诺图 非标准与非标准与-或函数式中的与项常缺少一个或几个变量，或函数式中的与项常缺少一个或几个变量，缺哪个变量，就相当于哪个变量互补，缺哪个变量，就相当于哪个变量互补，最小项占据卡最小项占据卡诺图中的一个格诺图中的一个格，缺一个变量，则占据缺一个变量，则占据2个格，个格，缺两缺两个变量占据个变量占据4个格，个格，缺缺3个变量，则占据个变量，则占据8个格个格。YAABABCABACAB用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 )15,11,10, 9 , 8 , 6 , 4 , 1 ()()( )(),(mDDCCBACDBBADBACCDCBABA

38、ACDDBADCBADCBAY【例例】【例例】已知逻辑函数的卡诺图，试写出函数的逻辑式。已知逻辑函数的卡诺图，试写出函数的逻辑式。函数式等于卡诺图中填入函数式等于卡诺图中填入1 1的那些最小项之和的那些最小项之和CBAABCCBACBAY CBACBACBAABC2.6.2 2.6.2 用卡诺图化简与用卡诺图化简与- -或函数式或函数式1 1画圈画圈 用卡诺图化简就是使与用卡诺图化简就是使与- -或函数式中的或函数式中的与项最少与项最少，每个与项中的每个与项中的变量最少变量最少。与项少则与门的个数最少，。与项少则与门的个数最少，与项中的变量少，则与门中的输入端个数少。与项中的变量少，则与门中的

39、输入端个数少。 卡诺图中卡诺图中: : 两个相邻格具有一个变量互补，可以消除一个变量；两个相邻格具有一个变量互补，可以消除一个变量；四个相邻格具有两个变量互补，可以消除两个变量，四个相邻格具有两个变量互补，可以消除两个变量，八个相邻格具有三个变量互补，可以消除三个变量。八个相邻格具有三个变量互补，可以消除三个变量。 用用画圈画圈的方法的方法将相邻的最小项圈在一起将相邻的最小项圈在一起：圈越大说明变量消除得越多；圈越大说明变量消除得越多；不允许有重复圈；不允许有重复圈；每个圈中至少有一个没有被圈过的最小项。每个圈中至少有一个没有被圈过的最小项。【例例2-24】 试在图试在图2-542-54所示的

40、卡诺图上画圈，使所示的卡诺图上画圈，使圈圈最大，使圈的个数最少。最大，使圈的个数最少。2 2书写已画圈卡诺图的与书写已画圈卡诺图的与- -或函数式或函数式 卡诺图中的每个圈都是一个与项，卡诺图中的每个圈都是一个与项，在写与项函数式时应该采用在写与项函数式时应该采用横看圈所占用的行、横看圈所占用的行、消互补，纵看圈所占用的列、消互补的方法消互补，纵看圈所占用的列、消互补的方法，写出横看变量后再顺序写纵看变量。写出横看变量后再顺序写纵看变量。与项写出后，将各个与项相或，就得到与与项写出后，将各个与项相或，就得到与- -或或函数式。函数式。【例例2-252-25】 试写出图示三变量卡诺图中各圈的函试

41、写出图示三变量卡诺图中各圈的函数式。数式。 ABBCABC(b) (b) B ACAC(c) ABDABAC(d) BCDABC【例例2-252-25】 试写出图试写出图2-552-55所示的三变量卡诺图中所示的三变量卡诺图中各圈的函数式。各圈的函数式。（1 1）任何两个（任何两个（2 21 1个）标个）标1 1的相邻最小项，可以合并为一项的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。（消去互为反变量的因子，保留公因子）。CBACBAABCBCADBCADCBACDBADCBACBBCDBADBA合并最小项的原则：合并最小项的原则：（2 2）任

42、何任何4 4个（个（2 22 2个）标个）标1 1的相邻最小项的相邻最小项，可以，可以合并合并为一项为一项，并，并消去消去2 2个变量个变量。 B C A 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 CCBAABBABACBACABCBACBA)(BBACCACACAABCCABBCACBA)(DCBA C D AB 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 1 C D AB 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0 BD C D

43、AB 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 0 0 0 0 （3 3）任何）任何8 8个（个（2 23 3个）标个）标1 1的相邻最小的相邻最小项，可以合并为一项，并消去项，可以合并为一项，并消去3 3个变量。个变量。BD小结小结：相邻最小项相邻最小项的数目必须为的数目必须为 2 2n n个个才能合并为一项，才能合并为一项，并消去并消去n n 个变量。个变量。包含的最小项数目包含的最小项数目越多，即由这些最越多，即由这些最小项所形成的圈越小项所形成的圈越大，消去的变量也大，消去的变量也就越多，从而所得就越多，从而所得到的逻辑表达式就到的

44、逻辑表达式就越简单。这就是利越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。函数的基本原理。（1）圈尽量大圈尽量大，但每个圈内只能含有，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边相邻）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。性和四角相邻性。（2）圈的个数尽量少圈的个数尽量少。（3）卡诺图中）卡诺图中所有取值为所有取值为1的方格均要被圈过的方格均要被圈过，即，即不能漏下取值为不能漏下取值为1的最小项。的最小项。（4）在）在新画的包围圈中至少要含有新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的个末被圈过的1方格方格，否则该包围圈是多余的。，否则该包围圈是多余的

45、。 用卡诺图合并最小项的注意事项：用卡诺图合并最小项的注意事项： C D AB 00 01 11 10 C D AB 0 0 01 1 1 10 00 1 1 0 1 00 1 1 0 1 01 0 1 1 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 两点说明：两点说明： 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。最简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简不是最简最简

46、最简BCDCABDACBABCDCADBABCDACDDCBCABDAACDDCBCA CD AB 00 01 11 10 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 0 0 00 1 1 0 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 0 11 0 0 1 0 11 0 0 1 0 10 1 0 1 0 10 1 0 1 0 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。【例例2-262-26】 化简函数式化简函数式 YABCABCABCABCABCYB

47、AC【例例2-272-27】 试化简最小项函数试化简最小项函数Y(A,B,C,D) (0,1,2,3,4,6,9,11,12,13,15)。m11111111111ADCABDABAY 11111111111ADDCBDABAY 化简结果不唯一。化简结果不唯一。【例例2-28】 真值表如表真值表如表2-112-11所示，试用卡所示，试用卡诺图化简并写出最简与诺图化简并写出最简与- -或式。或式。ABCY00000010010101111000101111011111YBAC2.6.3 2.6.3 具有无关项的逻辑函数化简具有无关项的逻辑函数化简 如果在实现某些逻辑功能时，如果在实现某些逻辑功能

48、时，不允许输入变量的某些组合不允许输入变量的某些组合出现出现，因此这些输入变量组合对逻辑函数没有作用，则这些输，因此这些输入变量组合对逻辑函数没有作用，则这些输入变量的组合称为入变量的组合称为约束项约束项。 如果在实现某些逻辑功能时，如果在实现某些逻辑功能时，某些输入变量组合的取值不某些输入变量组合的取值不影响逻辑功能的实现，影响逻辑功能的实现，则这样的输入变量组合称为则这样的输入变量组合称为任意项任意项。 无论是约束项还是任意项，都不能使逻辑函数有确定的输无论是约束项还是任意项，都不能使逻辑函数有确定的输出值，也不影响逻辑函数的功能，因此称为逻辑函数的无关项。出值，也不影响逻辑函数的功能，因

49、此称为逻辑函数的无关项。若是所有输入变量的组合都产生确定的逻辑函数值，则该函数若是所有输入变量的组合都产生确定的逻辑函数值，则该函数没有无关项。没有无关项。 在卡诺图中，无关项常用在卡诺图中，无关项常用x x表示。表示。在卡诺图中的在卡诺图中的无关项无关项x x，可以，可以根据需根据需要取要取1 1或是取或是取0 0，因此也，因此也可以根据需可以根据需要与输出为要与输出为1 1的最小项圈在一起的最小项圈在一起。图图2-592-59是具有无关项的卡诺图。是具有无关项的卡诺图。【例2-29】 试用卡诺图化简逻辑函数 ( , , ,)(5,6,7,8,9)(10,11,12,13,14,15)Y A B C Dmd 为无关项，表示这些输入变量组合的为无关项，表示这些输入变量组合的函数值是任意的。函数值是任意的。 (10,11,12,13,14,15)d11111BCBDAY2.7 2.7 逻辑电路图、函数式与真值表之间的转换逻辑电路图、函数式与真值表之间的转换1 1逻辑电路图转换到逻辑函数式逻辑电路图转换到逻辑函数式 用用逻辑运算符号逻辑运算符号替代替代逻辑图中相应的逻辑图中相应的门电路门电路，就可，就可以将逻辑图转换为逻辑函数式。通常从输入向输出逐以将逻辑图转换为逻辑函数式。通常从输入向输出逐级推导各个门的输出函数式。级推导各个门的输出函数