专题1.5 集合的基本运算-重难点题型精讲（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

1、专题1.5 集合的基本运算-重难点题型精讲1并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合(2)对于AB，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素(3)AB是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成3并集、交集的运算性质4全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)符号表示：全集通常记作U.5补集温馨提示：UA的三层含义：(1)UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即AU；(3)UA是U中不属于A的所有元素组成的集合【题型1 并集的运算】【方

2、法点拨】定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示【例1】（2020秋郴州期末）若集合A0，1，3，B1，0，2，3，则AB等于（）A1，0，1，2，3 B1，0，2，3 C0，1，3 D0，3【分析】直接利用集合并集的定义进行求解即可【解答】解：因为集合A0，1，3，B1，0，2，3，所以AB1，0，1，2，3故选：A【点评】本题考查了集合的运算，涉及了集合并集的求解，解题的关键是掌握集合并集的定义，即由所有属于集合A或属于集合B的元素

3、的组成的集合叫做A与B的并集，记作AB属于基础题【变式1-1】（2020秋阎良区期末）已知集合Px|1x3，Qx|0x1，则PQ（）Ax|0x1Bx|1x3Cx|1x0或1x3D【分析】直接利用两个集合并集的定义分析求解即可【解答】解：因为集合Px|1x3，Qx|0x1，所以PQx|1x3故选：B【点评】本题考查了集合的基本运算，涉及了集合并集定义理解和应用，解题的关键是掌握集合并集的含义【变式1-2】多选题（2021春辛集市校级期中）已知集合A4，a，B1，a2，aR，则AB可能是（）A1，1，4B1，0，4C1，2，4D2，1，4【分析】AB含3个元素时可得出a1或aa2或a24，然后根据

4、集合元素的互异性求出a0，或a2或a2，然后即可求出AB，从而得出正确的选项【解答】解：若AB含3个元素，则a1或aa2或a24，a1时，不满足集合元素的互异性，a0，a2或a2时满足题意，a0时，AB1，0，4；a2时，AB1，2，4；a2时，AB4，2，1故选：BCD【点评】本题考查了集合的列举法的定义，并集及其运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题【变式1-3】（2020秋天津月考）已知集合Ax|x23x+20，集合Bx|x2ax+a10（1）若AB，求a的值；（2）若ABA，求a的值【分析】（1）可求出A1，2，根据AB可得出1，2B，从而可得出a3；（2）根据ABA可得出

5、BA，对于方程x2ax+a10，可求出（a2）2，然后讨论0和0，分别求出a的值即可【解答】解：（1）A1，2，AB，1，2B，a1+23；（2）ABA，BA，a24a+4（a2）20，即a2时，B1，满足题意；0时，1，2B，a3，综上得，a2或3【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，集合相等的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题【题型2 交集的运算】【方法点拨】求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰【例2】（2021春姜堰区校级月考）设集合MxR|

6、0x2，NxN|1x3，则MN（）A1，2B0，1，2Cx|0x2Dx|1x3【分析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可【解答】解：Mx|0x2，N0，1，2，MN0，1，2故选：B【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题【变式2-1】多选题（2020秋辛集市校级月考）已知全集UR，集合Mx|2x12和Nx|x2k1，kN*关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（）A1B0C1D3【分析】求出集合M，进而求出阴影部分表示的集合MN1，3，由此能求出阴影部分表示的集合中的元素【解答】解：全集UR，集合Mx|2x12x|1x3，Nx|x2k1

7、，kN+，阴影部分表示的集合为MN1，3，阴影部分表示的集合中的元素有1，3，故A和B均错误，C和D均正确故选：CD【点评】本题考查交集中包含的元素的求法，考查交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题【变式2-2】（2021秋台州月考）已知方程x2+px+q0的两个不相等实根分别为，集合A，B2，4，5，6，C1，2，3，4，ACA，AB，则p ，q 【分析】先根据ACA知AC，然后根据A，可知C，C，而AB，则B，B，显然A即属于C又不属于B的元素只有1和3，不仿设1，3，最后利用应用韦达定理可得p与q【解答】解：由ACA知AC；又A，则C，C而AB，故B，B显然A即属于C又不属于B的元素

8、只有1和3不仿设1，3对于方程x2+px+q0的两根，应用韦达定理可得p4，q3故答案为：4，3【点评】本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，属于基础题之列【变式2-3】（2020秋西宁期末）设集合Ax|x24x+30，Bx|x22（a+2）x+a2+30（1）若AB1，求实数a的值；（2）若ABB，求实数a的取值范围【分析】（1）可求出A1，3，根据AB1可得出1B，从而可得出a0或2，经验证即可求出a的值；（2）根据ABB可得出BA，然后可讨论B：B时，16a+40，解出a-14；B时，可得出B1或3或1，3，经检验，B1或3不合题意，B1，3时

9、，可求出a0，最后即可得出a的取值范围【解答】解：（1）A1，3，AB1，1B，12（a+2）+a2+30，解得a0或a2，当a0时，B1，3，不符题意舍；当a2时，集合B1，7，符合题意，综上可得，实数a的值为2；（2）ABB，BA，当B时，则2（a+2）24（a2+3）16a+40，解得a-14；当B时，集合B1或B3或B1，3，若B1或B3，则2（a+2）24（a2+3）16a+40，解得a=-14，此时B=74，不符合题意；若B1，3，由根与系数的关系定理，可得2(a+2)=1+3a2+3=1×3，解得a0，综上所述，实数a的取值范围是a|a-14或a=0【点评】本题考查了交

10、集及其运算，元素与集合的关系，一元二次方程无解和二重根时，判别式的取值情况，韦达定理，考查了计算能力，属于基础题【题型3 由集合的并集、交集求参数】【方法点拨】策略：当题目中含有条件ABA或ABB，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将ABA转化为AB，ABB转化为AB.方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍注意点：当题目条件中出现BA时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B的情况【例3】（2020秋南京期中）多选题设集合Mx|ax3+a，Nx|x2或x4，则下列结论中正确的是（）A若a1，则MN

11、B若a4，则MNC若MNR，则1a2D若MN，则1a2【分析】直接根据集合之间的基本关系对四个选项逐一进行判断即可【解答】解：集合Mx|ax3+a，Nx|x2或x4，对于A，a1时，a+32，故MN成立，对于B，a4时，则MN成立，对于C，若MNR，则a2a+34，解得1a2，对于D，若MN，则a2a+34，解得a不存在，故MN，aR，故D错，故选：ABC【点评】本题主要此题考查了并集，并集及其运算，熟练掌握并集，交集的定义是解本题的关键【变式3-1】（2020秋郑州期末）设集合A3，5，Bx|x25x+m0，满足AB2，3，5（）求集合B；（）若集合Cx|ax10，且满足BCC，求所有满足条

12、件的a的集合【分析】（）根据A3，5，AB2，3，5可得出2B，从而可求出m6，进而得出B2，3；（）根据BCC可得出CB，然后可讨论a：a0时，显然满足题意；a0时，可得出1a=2或3，可解出a的值，这样即可得出满足条件的a的集合【解答】解：（）A3，5，AB2，3，5，2B，且Bx|x25x+m0，410+m0，解得m6，Bx|x25x+602，3；（）BCC，CB，且Cx|ax1，a0时，C，满足CB；a0时，C=1a，则1a=2或3，解得a=12或13，满足条件的a的集合为：0，13，12【点评】本题考查了交集、并集的定义及其运算，子集的定义，元素与集合的关系，分类讨论的思想，考查了计

13、算能力，属于基础题【变式3-2】（2020秋眉山期末）已知集合Ax|2a+1x3a+5，Bx|x2或x5（1）若a2，求AB，AB；（2）ABA，求实数a的取值范围【分析】（1）a2时，求出集合A，由此能求出AB和AB（2）由ABA，得AB，当A时，2a+13a+5，当A时，2a+13a+5，3a+5-2，或2a+13a+5，2a+15，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）a2时，集合Ax|3x1，Bx|x2或x5AB（，15，+），AB3，2（2）若ABA，得AB，当A时，2a+13a+5，解得a4，当A时，2a+13a+5，3a+5-2，或2a+13a+5，2a+15，解得-4a-

14、73或a2，综上所述，a-73或a2，实数a的取值范围是（，-732，+）【点评】本题考查交集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题【变式3-3】（2020秋解放区校级月考）已知集合Ay|y4x2，1x3，Bx|3m1x2m+1（）若ABA，求实数m的取值范围；（）若ABx|axb且ba2，求实数m的取值范围【分析】（1）根据ABA可得出BA，然后讨论B是否为空集：B时，B时，解出m的范围即可；（2）根据条件可讨论：AB3m1x2m+1，ABx|3m1x10，ABx|5x2m+1，在每种情况下可得出关于m的不等式组，解出m的范围即可【解答】

15、解：（）集合Ay|y4x2，1x3（6，10），Bx|3m1x2m+1，ABA，BA，当B时，即3m12m+1时，解得m2，此时满足题意，当B时，即3m12m+1时，解得m2，则3m-1-62m+110，解得-53m92，综上所述m的取值范围为-53，+）；（）集合A（6，10），10（6）16，若ABx|axb且ba2，AB3m1x2m+1时，2m+1-(3m-1)=23m-1-62m+110，解得m0；ABx|3m1x10时，10-(3m-1)=22m+110103m-1-6，此时满足条件的m不存在；ABx|5x2m+1时，2m+1-(-6)=23m-1-6-62m+110，解得m=-52

16、，综上得，m的取值范围为-52，0【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集的定义及运算，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于中档题【题型4 补集的运算】【方法点拨】当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解【例4】（2020秋湖北期末）设集合Ux|x5，xN*，Mx|x25x+40，则UM（）A2，3B1，5C1，4D2，3，5【分析】可求出集合U，M，然后进行补集的运算即可【解答】解：U1，2，3，4，M1，4，UM2，3故选：A【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，补集及其运算，考查了计算能力，属于基础题【变式4-1】（2

17、020春烟台期末）已知全集U0，1，2，3，4，A1，3，4，B0，1，2，则图中阴影部分表示的集合为（）A0B2C0，2D0，2，4【分析】可知阴影部分表示的集合为B（AB），从而进行交集和补集的运算即可【解答】解：AB1，B（AB）0，2，阴影部分表示的集合为0，2故选：C【点评】本题考查了Venn图表示集合的方法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题【变式4-2】（2020秋海淀区校级月考）设集合U1，2，3，4，MxU|x25x+p0，若UM1，4，则p的值为（）A4B4C6D6【分析】由题意推出M中方程的解，然后求出p的值【解答】解：因为集合U1，2，3，4，MxU|x

18、25x+p0，若UM1，4，所以M2，3即2，3是方程的两个根，225×2+p0，所以p6故选：D【点评】本题考查集合的补集的运算，考查计算能力【变式4-3】（2020秋张家口月考）设全集U2，4，6，8，a，10，集合A2，|a6|，10，6，8UA，则实数a的值是（）A3B10C2D2或10或3【分析】由集合补集的定义得到6A，8A，则有|a6|4或|a6|a，求解即可得到答案【解答】解：因为全集U2，4，6，8，a，10，集合A2，|a6|，10，6，8UA，所以6A，8A，则|a6|4或|a6|a，解得a2（舍）或a10（舍）或a3，所以实数a的值是3故选：A【点评】本题考查

19、了集合补集的理解和应用，解题时要注意集合元素互异性，考查了逻辑推理能力，属于基础题【题型5 交集、并集、补集的综合运算】【方法点拨】如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解在解答过程中常常借助于Venn图来求解如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算解答过程中要注意边界问题【例5】（2021春椒江区校级月考）已知全集U1，0，1，2，3，4，集合A0，1，2，B1，0，3，则（UA）B（）A1B0，1C1，3D1，0，1，3【分析】直接利用集合的交集，补集运算法则求解即可【解答】解：全集U

20、1，0，1，2，3，4，集合A0，1，2，B1，0，3，则（UA）1，3，4，所以（UA）B1，3故选：C【点评】本题考查集合的交、并、补的运算法则的应用，是基础题【变式5-1】（2020秋苏州期中）多选题已知全集U1，2，3，4，5，6，集合M3，4，5，N1，2，5，则集合1，2可以表示为（）AMNB（UM）NC（UN）MD（U（MN）N【分析】根据元素之间的关系进行求解即可【解答】解：M3，4，5，N1，2，5，MN5，（UM）N1，2，M（UN）3，4，（U（MN）N1，2，3，4，6（1，2，51，5故选：BD【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础【变式5-2】（2020秋顺德

21、区期中）多选题已知全集U1，2，3，4，5，6，7，A、B是U的两个子集，且满足ABU，A（UB）1，4，（UA）B5，6，7，则（）A2AB2BCAB2，3DA（UB）1，2，3，4【分析】推导出AB2，3，从而求出A1，2，3，4，B2，3，5，6，7，由此能求出结果【解答】解：全集U1，2，3，4，5，6，7，A、B是U的两个子集，满足ABU，A（UB）1，4，（UA）B5，6，7，AB2，3，故C正确；A1，2，3，4，B2，3，5，6，7，2A，故A正确；2B，故B错误；A（UB）1，2，3，4，故D正确故选：ACD【点评】本题考查命题真假的判断，考查并集、补集、交集的定义等基础知识

22、，考查运算求解能力，是基础题【变式5-3】（2020春南关区校级期末）已知全集Ux|x8，xN*，若A（UB）2，8，（UA）B3，7，（UA）（UB）1，5，6，则集合A ，B 【分析】先求出AB4，由此能求出集合A，B【解答】解：全集Ux|x8，xN*1，2，3，4，5，6，7，8，A（UB）2，8，（UA）B3，7，（UA）（UB）1，5，6，AB4，集合A2，4，8，B3，4，7故答案为：2，4，8，3，4，7【点评】本题考查集合的求法，考查并集、交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题【题型6 利用集合间的关系求参数】【方法点拨】与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般

23、利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集【例6】（2020秋河西区校级月考）已知Ax|x0或x3，Bx|xa1或xa+1，若A（RB），则实数a的取值范围是（）A1a2B1a2Ca1或a2Da1或a2【分析】根据补集的定义写出RB，再根据交集和空集的定义列出不等式求得a的取值范围【解答】解：Ax|x0或x3，Bx|xa1或xa+1，所以RBx|a1xa+1；又A（RB），所以a10或a+13，解得a1或a2；所以实数a的取值范围是a1或a2故选：D【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了分析与转化能力，是基础题【变式6-1】（2020秋临朐县校级月考）已知集合Ax|3x6，Bx|b3xb+7，Mx|4x5，全集UR（1）AM ；（2）若B（UM）R，则实数b的取值范围为 【分析】（1）求出集合A，M，由此能求出AM（2）求出UM，由B（UM）R，列出不等式组，能求出实数b的取值范围【解答】解：（1）集合Ax|3x6，Mx|4x5，AMx|3x5故答案为：x|3x5（2）B