向量加法讲义

1、知识回顾知识回顾 1. 向量与数量有何区别? 2. 怎样来表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.如aAB,长度相等,方向相同的向量相等.(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.)上海上海香港香港台北台北OAB向量的加法求两个向量和的运算求两个向量和的运算,叫做向量的加法叫做向量的加法向量加法的三角

2、形法则向量加法的三角形法则1.某人从某人从A走到走到B,在从在从B按原方向按原方向C,则两次的位移和则两次的位移和:2.上题改为上题改为A到到B,再从再从B按反方向按反方向C,则两次的位移和则两次的位移和:ACABc（两向量共线同向时）（两向量共线同向时）ABC（两向量共线反向时）（两向量共线反向时）3.某人从某人从A到到B，再从，再从B改变方向到改变方向到C，则两次的位移和：，则两次的位移和：ACABc(两向量不共线时两向量不共线时)以上向量求和的方法称为三角形法则以上向量求和的方法称为三角形法则,即两个向量相加时即两个向量相加时,把一个把一个向量的终点作为另一个向量的起点向量的终点作为另一

3、个向量的起点,这时前一个向量的起点到后这时前一个向量的起点到后一个向量终点的向量就是两个向量的和向量一个向量终点的向量就是两个向量的和向量.(注意注意:”首尾相接首尾相接”)例例1：如图，已知非零向量：如图，已知非零向量ba,求两向量的和向量求两向量的和向量ab作法作法: 在平面内任取一点在平面内任取一点A,作作aABaABbC则则baAC两个向量的和仍然是一个向量两个向量的和仍然是一个向量.探究探究:DECDBCABAE推广: (可以推广到n个向量连加) 我们可将向量加法的三角形法则推广为多个向量相加的多边形法则:由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和.(注意注

4、意:首尾相接首尾相接) 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边| |ababab 当向量、不共线时有综合以上探究我们可得结论：| |abab例例1:已知向量已知向量 和和 ,求作向量求作向量 + .ababab问题问题在你所画图中在你所画图中,找出找出|.ab|,b|,a它们之间有怎样的关系它们之间有怎样的关系?向量加法中模的性质向量加法中模的性质: :|ab|b|a当当 和和 同向时同向时,ba|b|ab|a当当

5、 和和 反向时反向时,ba|b|ab|a尝试练习一：尝试练习一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根据图示填空：）根据图示填空：_ABBCCDDE AE 图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸长了伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一个力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸长了相同长度方向伸长了相同长度EOEO。从力学的观点分析，力。从力学的观点分析，力F F与与F F1 1、F F2 2之间的关系如何？之间的关系如何？MCEOF1F2图图1ME OF

6、图图2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则abaAB1. 平移平移 :把两个向量的起点平移到同一个点把两个向量的起点平移到同一个点.bC2. 作平行四边形作平行四边形: 以这两个向量为邻边作平行四边形以这两个向量为邻边作平行四边形.D3. 连线连线 :这两邻边所夹的对角线即为两向量的和这两邻边所夹的对角线即为两向量的和.特殊特殊:aaa00起点相同起点相同向量加法的交换律向量加法的交换律:abbaababbaab向量加法的结合律向量加法的结合律:）（）（cbacbaaABbCbacbaCDACcba）（ADBDABcba）（cD

7、AD注意注意:以上为两向量不共线时以上为两向量不共线时,共线时学生课下自己思考共线时学生课下自己思考. 从而从而,由向量的交换律与结合律，多个向量加法的由向量的交换律与结合律，多个向量加法的 运算可以按照任意的次序，任意的组合来进行。运算可以按照任意的次序，任意的组合来进行。如如dcba）（）（dcba）（dcba求求BCCDDEABDECDBCABAE例例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过进行轮渡运输。如图所示，一艘船从长江南岸进行轮渡运输。如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以5千米每小时的速度向垂直于对岸的千米每小时的速度向垂直于对岸的

8、方向行驶，同时江水的速度为向东方向行驶，同时江水的速度为向东2千米每小时。千米每小时。（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度行的速度 （保留两个有效数字）（保留两个有效数字）（2）求船实际航行的速度的大小与方向求船实际航行的速度的大小与方向 （用与江（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）。水速度间的夹角表示，精确到度）。ABD解：如图解：如图AD表示船速，表示船速， AB表示水速表示水速C以以AD，AB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形 ABCD，则，则AC表示船实际航行的速度表示船实际航行的速度（2）在直角三角形）在直角三角形ABC中，

9、中，52BCAB所以所以BCABAC224.5295222因为因为25tan CAB由计算器得由计算器得68CAB答：船实际航行速度得大小约为答：船实际航行速度得大小约为5.4千米每小时千米每小时,方向方向与水的流速间的夹角约为与水的流速间的夹角约为68. BDCAAB（1）在平行四边形）在平行四边形ABCD,（2）根据图示填空）根据图示填空课堂练习课堂练习:ACBCCDBA(A)(B)(C)(D)abcda+b=C+d=a+b+d=ccff练习v在静水中船速为在静水中船速为20m/min，水流速度为，水流速度为10m/min,若船从岸边出发，垂直于水流航线若船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问船行进的方向是到达对岸的，问船行进的方向是_.ABCDAB向量向量 表示静水流速，表示静水流速， 表示船行进方向，表示船行进方向， 表示表示船实际行走路线