高考数学难题-实际应用（解析版）

1、第6讲 实际应用 1（2020辽宁一模）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为A米B2米C米D米【解析】解：设的长度为米，的长度为米，则的长度为米，在中，依余弦定理得：，即，化简，得，因此，当且仅当时，取“”号，即时，有最小值故选：2（2021东莞市期末）南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有、两个岛礁相距100海里，从岛礁望岛礁和岛礁成的视角，从岛礁望岛礁和岛礁成的视角，我国兰州号军舰航在岛礁处时候岛礁处指挥部的命令，前往岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离岛礁距离是A海里B海里C海里D海里【解析】解：根据正

2、弦定理得，故选：3（2021西湖区校级模拟）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度【解析】解：由题意可得，在中，由内角和定理可得，由正弦定理可得，故答案为：4（2020佛山二模）某沿海四个城市、的位置如图所示，其中，现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行，后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，则收到指令时该轮船到城市的距离是100【解析】解：由题意，后，轮船到达，故答案为1005（2020秋普宁市期中）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点现位于点北偏东，点北偏西的点有

3、一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里时，该救援船到达点需要多长时间？【解析】解：（1）由在的北偏东，在的北偏西，（1分）；由正弦定理得，（3分）；又，（5分）；（6分）答：轮船与观测点的距离为海里；（7分）（2）中，（10分），解得；（13分）（小时）；（14分）答：救援船到达所需的时间为1小时（15分）6（2021泰安期末）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距20海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里小时，该救援船到达点需要多长时间？【解析】

4、解：由题意，在中，由正弦定理得，又，海里，在中，由余弦定理得，航行速度为海里小时，该救援船到达点需要（小时）答：救援船到达点需要1小时7（2021咸阳期末）如图，、是某海面上位于东西方向相距海里的两个观测点现位于点正北方向、点北偏东方向的点有一艘轮船发出求救信号，位于点北偏西、点北偏西的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里小时问该救援船到达点需要多少时间？【解析】解：在中，（4分）在中，由正弦定理，得（9分）在中，由余弦定理得（12分）则需要的时间（小时）（13分）答：该救援船到达点需要1.5小时分）8（2020秋江苏期中）如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求，的长度大于1米

5、，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，设，（1）求关于的表达式；（2）当为何值时，最短并求最短值【解析】解：（1）由题意得，在中，由余弦定理得，即，化简并整理得（2），当且仅当即时，等号成立，所以当时，取最小值，答：当米时，最短，最短值米9为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求，长度大于1，且比长0.5米，（1）设，求长？（2）为了广告牌稳固，要求的长度越短越好，求最短为多少米？且当最短时，长度为多少米？【解析】解：（1）因为，则，整理得，（2）令，（当且仅当，即时取等号）综上，当米时最短，为米10（2020江苏模拟）如图，某大型厂区有三个值班室、值班室在值班室

6、的正北方向3千米处，值班室在值班室的正东方向4千米处（1）保安甲沿从值班室出发行至点处，此时求的距离；（2）保安甲沿从值班室出发前往值班室，保安乙沿从值班室出发前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为5千米小时，乙的速度为3千米小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解析】解：（1），在中，由余弦定理可得：，千米（2）设两保安出发小时后，甲保安到达处，乙保安到达处则，又，则，令可得，即，又，解得：两保安有小时不能通话11（2020秋黄浦区校级月考）如图，有一码头和三个岛屿，（1）求，两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头

7、前往这三个岛屿游玩，然后返回码头，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程【解析】解：（1）设，则由余弦定理可得，；（2）由题意，12（2021南通模拟）如图，景点在景点的正北方向2千米处，景点在景点的正东方向千米处（）游客甲沿从景点出发行至与景点相距千米的点处，记，求的值；（）甲沿从景点出发前往景点，乙沿从景点出发前往景点，甲乙同时出发，甲的速度为1千米小时，乙的速度为2千米小时若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：【解析】解：（）在中，在中，由余弦定理得，即化简，得，解得或（舍去）（3分）在中，由正弦定理得，即（6分）（）中，设甲出发后的时间为小时，则由题意可知，设甲在线段上的位置为点，在中，由余弦定理得，即，化简得解得或（舍去）当时，乙在景点处，甲在线段上，甲乙间的距离，此时不合题意；（9分）当时，设乙在线段上的位置为点，则在中，由余弦定理得，令即，得，解得或（12分）综上，当时，甲、乙间的距离大于3米又，故两人不能通话的时间大约为0.6小时（13分）13（2020南通模拟）某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如的支架，要求，的长度大于1米