高考数学难题-正余弦定理的综合应用（解析版）

1、第11讲 正余弦定理的综合应用1（2020秋湖北月考）在中，内角，的对边分别为，已知， （1）求大小；（2）求的值【解析】解：（1），可得：，可得：（2）由，所以：，解得：由于，所以：，两边同除以，得到：解得：（舍去），则：2（2020秋蒙城县校级月考）的内角，的对边分别为，已知的面积为（）求；（）若，求外接圆的半径【解析】解：（）由面积公式可知，即，由正弦定理可知，所以（）由，可得，又知，则由正弦定理可知，故外接圆的半径为3（2020化州市二模）设三个内角，的对边分别为，的面积满足（1）求角的值；（2）求的取值范围【解析】解：（1）的面积满足，可得，即有，则，由，可得；（2）由，即，由，可得

2、，则，即有的取值范围是，4（2020金安区校级模拟）的内角，的对边分别为，且满足，（1）求角的大小；（2）求周长的最大值【解析】解：（1）由已知，得由正弦定理，得，即，（2分）因为，所以因为，所以（4分）因为，所以（6分）（2）由余弦定理，得，即（8分）因为，（10分）所以即（当且仅当时等号成立）所以（12分）5（2020秋安徽期末）的内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若的面积为2，求周长的最小值【解析】解：（1）中，由，及二倍角余弦公式可得，即；所以，所以；（2）由，得，所以，所以，所以；又，所以；由余弦定理得：，所以，（当且仅当时取等号）；所以，即周长的最小值为6（2020春三明期末

3、）在中，内角，所对的边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为2，求【解析】解：（1），两边平方，可得：，可得，（2）由（1）可知，可得，由余弦定理可得，可得7（2020秋华安县校级月考）如图，在中，是内的一点（）若是等腰直角三角形的直角顶点，求的长；（）若，设，求的面积的解析式，并求的最大值【解析】（）解：因为是等腰直角三角形的直角顶点，且，所以，又，则在中，由余弦定理得，所以（）在中，所以由正弦定理可得：，故，所以的面积为：，故：，当时，的最大值为8（2020成都模拟）已知的三个内角，的对边分别为，且满足，（1）求的值；（2）若平分交于点，求线段的长【解析】解：（1）由余弦定理得，即，联立

4、，解得，（2），由，得，9（2020福建模拟）四边形中，（1）求；（2）若，求四边形的面积【解析】解：（1）在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，即，解得（2）设，在中，由正弦定理得，即，解得，四边形的面积：10（2020安庆二模）在中，角，的对边分别是，其外接圆的半径是1，且满足（）求角的大小；（）求面积的最大值【解析】解：（）中，其外接圆的半径是1，；又，即，；又，；（），即，即，当，即时，的面积取得最大值为11（2020九江三模）在中，内角，所对的边分别为，且满足（）求角的大小；（）若，求面积的最大值【解析】解：（），由正弦定理可得，由余弦定理可得，（）由（）可得，当且仅当时取等号，即

5、，面积的最大值12（2020秋资阳月考）在中，内角，所对的边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若，求的最大值【解析】解：（1）由正弦定理得，则，因为，于是，又，故（2）根据余弦定理，则，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值为413（2020襄阳模拟）在中，内角、所对的边长分别是、，已知，（）求的值；（）若，为边上的点，且，求的长【解析】（本题满分为12分）解：（）由，得：，（2分）、是的内角，因此，故（4分）由，得：（6分）（8分）（）由，得：（9分）由正弦定理得：，可得：，（11分）在中，（12分）14（2020广州一模）如图，在中，点在边上，（）求；（）若的面积是，求【解析】（本题满分

6、为12分）解：（）在中，因为，由余弦定理得，（1分）所以，整理得，（2分）解得（3分）所以（4分）所以是等边三角形（5分）所以（6分）（）法1：由于是的外角，所以（7分）因为的面积是，所以（8分）所以（9分）在中，所以（10分）在中，由正弦定理得，（11分）所以（12分）法2：作，垂足为，因为是边长为2的等边三角形，所以（7分）因为的面积是，所以（8分）所以（9分）所以在中，（10分）所以，所以（11分）（12分）15（2020江苏一模）在中，分别为角，的对边若，且（1）求边的长；（2）求角的大小【解析】解：（1），化为：，相加可得：，解得另解：在中，则，由正弦定理得，（2）由（1）可得：由正

7、弦定理可得：，又，可得，即，或，解得：另解：由正弦定理得，又，解得，16（2020江苏一模）在中，分别为角，所对边的长，（1）求角的值；（2）若，求的面积【解析】（本题满分为14分）解：（1）在中，因为，所以分因为，由正弦定理，得所以分若，则，与矛盾，故于是又因为，所以分（2）因为，由（1）及正弦定理，得，所以分又分所以的面积为分17（2020春磐安县期末）在锐角中，为边上一点，且（）已知：，求的面积；（）已知：，求【解析】解：，又，是边长为2的等边三角形，故，的面积为：在中，由正弦定理可得：，在中，由余弦定理可得18（2020秋石景山区期末）如图，在中，为边上一点，（）若，求的大小；（）若，

8、求的面积【解析】解：（）设，则，所以，因为，所以，即（）过点作交的延长线于点，因为，所以，所以；所以19（2020江西模拟）在中，角，的对边分别为，已知（1）证明：为钝角三角形；（2）若的面积为，求的值【解析】（本小题满分12分）解：（1）证明：由正弦定理：，又，即，所以，所以，所以为钝角，故为钝角三角形 （6分）（2）解：因为，又，又，所以， （12分）20（2020秋武陵区校级月考）如图，在中，是边上一点（1）求面积的最大值；（2）若，的面积为4，为锐角，求的长【解析】解：（1）在中，是边上一点，由余弦定理，得，面积的最大值为；（2）设，在中，的面积为4，为锐角，由余弦定理，得，21（2020包头模拟）在中，角，对的边分别为，且，（1）求的值；（2）若，求的面积【解析】解：（1）