高中数学竞赛数列第3三讲递推数列一

1、高中数学竞赛数列第3三讲递推数列一第3讲 递推数列（一） 一、知识点介绍1、 递推数列的定义：一个数列的连续若干项之间的关系叫做递推关系，由递推关系 确定的数列叫做递推数列。2、递推数列的分类：根据递推数列连续项的项数对递推数列分类：一阶递推数列：a 1已知，a n =f (a n -1), (n =2, 3, )二阶递推数列：a 1, a 2已知，a n =f (a n -1, a n -2), (n =3, 4, ) k 阶递推数列：a n =f (a n -1, a n -2, , a n -k ), (n =k 1, k 2, ) a 1, a 2, , a k 已知，3、求递推数列通

2、项公式的一些方法（1）、形如a n 1=pa n f (n ) 的递推式递推式两边同除以p n 1，得a n 1a n f (n ) ，由累加法求出b n ，从而求出= n 1n n 1p p pa n 。（2）、形如a n 1=f (n ) a n g (n ) 的递推式设辅助数列h (n )使f (n ) =h (n ) h (n ) ，则a n 1=a n g (n ) ，即 h (n 1) h (n 1)a n 1h (n 1) =a n h (n ) g (n ) h (n 1) ，令b n =a n h (n ) ，则b n 1=b n g (n ) h (n 1) ，由累加法求出

3、b n ，从而求出a n 。(3)、形如a n 1=pa n qa n -1(n 2) 的递推式、 若p q =1，则a n 1=(1-q ) a n qa n -1) ，即a n 1-a n =-q (a n -a n -1) ，所以a n 1-a n 为等比数列，公比为-q ，首项为a 2-a 1，从而a n 1-a n =(a 2-a 1)(-q ) n -1由累加法求出a n、若p q 1，则存在x 1, x 2满足a n 1-x 1a n =x 2(a n -x 1a n -1) ，整理得a n 1=(x 1 x 2) a n -x 1x 2a n -1，所以x 1 x 2=p ,

4、x 1x 2=-q ，把x 1, x 2看成一元二次方程x 2-px -q =0，的两个根，容易求出x 1, x 2，从而数列a n 1-x 1a n 是等比数列，可得a n 1-x 1a n =x 2（1）型的递推式，可求出a n 。 n -1(a 2-x 1a 1) ，转化为第定义：把方程x 2-px -q =0称为a n 1=pa n qa n -1(n 2) 的特征方程（只要将a n 1, a n , a n -1换成x 2, x , 1，就得到递推式a n 1=pa n qa n -1(n 2) 的特征方程），其中x 1, x 2是特征方程x 2-px -q =0的两个根。 定理：如

5、果x 1, x 2是递推式a n 1=pa n qa n -1(n 2) 的特征方程x 2-px -q =0的两个实根，那么（1）、当x 1x 2时，a n =x 1 x 2；（2）、当x 1=x 2时，n n a n =( n ) x 1。二、例题讲解例1、数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=1, a n 1=2S n n 2-n 1(n 1) ，求数列na n 的通项公式。 例2、已知数列a n 满足na n 1=(n 2) a n n , 且a 1=1，求数列a n 的通项公式。 例3、已知数列a n 中，a 1= 例4、 已知数列a n 满足a 1=a 2=1，a n 2

6、=a n 1 a n , n N ，求通项a n 41341, a 2=，且a n 1=a n -a n -1(n 2) ，求a n 。 3933第二十六讲 递推数列（一）练习1、设a 1=1, a 2= 2、已知数列a n 满足a n 1=2a n 3?2n , a 1=2，求数列a n 的通项公式. 3、设x 1=4, 且x n = 4、已知x 1=1, x 2=6, 且x n 1=6x n -9x n -1 3n , (n 2) ，求数列x n 的通项公式。552, a n 2=a n 1-a n (n N ) , 求数列a n 的通项公式. 3335n 2x n -1 7(5n 2)(n 2) ，求通项x n 。 5n -3 5、已知x 1=1, 且