《高等数学》(北大版)28定积分

1、 2-8 定积分定积分 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 S .?A)(xfy 1. 定积分的概念定积分的概念矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah?S1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;(2)近似代替近似代替在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iS得1()(iiiiiixxxxfS

2、),2, 1,nii(1) 分割分割(3) 求和求和niiSS1niiixf1)(4) 取极限取极限.1 (max1中最大者是其中nixxiini则曲边梯形面积niiSS1niiixxf10max)(limxabyo1xix1ixi前页前页结束结束后页后页解解 (1) 分割分割变力做功变力做功 在在 插入插入n个分点个分点0121 innassssssb , a b 设质量为设质量为m的物体沿直线运动。假定它所受的力可的物体沿直线运动。假定它所受的力可 以表示为它到初始点的距离以表示为它到初始点的距离s的函数的函数f(s).求物体自求物体自s=a 到到s=b外力所做的功外力所做的功W.将闭区间

3、将闭区间a,b分成分成n个小区间个小区间:011211 , ,iinns ss sssss 1 (1,2, )iiisssin 小区间的长度小区间的长度(2)近似代替近似代替 在每一个小区间在每一个小区间 上任取一点上任取一点 ,把把 做为做为质点在小区间上受力的近似值质点在小区间上受力的近似值,于是于是,力力F在小区间在小区间 上对质点所做的功的近似值为上对质点所做的功的近似值为1,iiss i 1,iiss )(ifiisf)()(1iiissf), 2 , 1(ni (3) 求和求和 把各小区间上力把各小区间上力f 所做的功的近似值加起来所做的功的近似值加起来,即得到即得到在区间在区间

4、上所做功的近似值上所做功的近似值,即即 ,a b (4)取极限取极限iniisfW)(1 令所有小区间的最大长度令所有小区间的最大长度 时时,和式和式 的极限即为变力在区间的极限即为变力在区间 上对物体所做的功上对物体所做的功,即即 ,a b0maxisiniissfWi)(lim10max0121011211 ( ) , , 1: : , : , ,nniinnf xa ba bnTaxxxxxba bnx xx xxxxx设函数定义在上，在中任意插入个分点 分割把区间分成 个小区间定义定义各小区间的度为：各小区间的度为：., 2 , 11nixxxiii, 2 , 1|max)T(nixi

5、令;, 2 , 1,)(nixfii作乘积：上任在,1iixx，意取一点i并作并作和式；和式；niiixf1)(（称作积分和或黎曼和）（称作积分和或黎曼和）.abxoi1xix1ix前页前页结束结束后页后页baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述：以用定积分概念来描述： 曲线曲线 、x轴及两条直线轴及两条直线x=a,x=b所围所围成的曲边梯形面积成的曲边梯形面积S等于函数等于函数f(x)在区间在区间a,b上的定积上的定积

6、分，即分，即)0)()(xfxfbadxxfS)( 如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分存在，则称函上的定积分存在，则称函数数f(x)在区间在区间a,b上可积上可积. 质点在变力质点在变力f(s)作用下作直线运动，由起始位置作用下作直线运动，由起始位置a移动到移动到b，变力对质点所做之功等于函数，变力对质点所做之功等于函数f(s)在在a,b上的定积分，即上的定积分，即 可以证明可以证明:闭闭区间区间上的上的连续连续函数或单调函数或单调函数函数或只有有或只有有限个第一类间断点限个第一类间断点的函数的函数, ,在该在该闭闭区间上可积区间上可积.(.(证明略证明略) )可积函数一定有

7、界可积函数一定有界badttfW)( 关于定积分的概念，应注意两点关于定积分的概念，应注意两点: (1)定积分定积分 是积分和式的极限，是一个数是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关有关，而与积分变量的记法无关.即有即有.d)(d)(d)( bababauufttfxxfxxfbad )(2)在定积分在定积分 的定义中，总假设的定义中，总假设 ，为了，为了 今后的使用方便，对于今后的使用方便，对于 时作如下规定：时作如下规定：xxfbad )(ba baba ，.d )(d )( ,0d )( x

8、xfxxfbaxxfbabaabba时当；时，当 如果在如果在a,b上上 ，此时，此时由曲线由曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴所围成的曲边梯形位于轴所围成的曲边梯形位于x轴的轴的下方，则定积分下方，则定积分 在几何在几何上表示上述曲边梯形的面积上表示上述曲边梯形的面积A的相反数的相反数.定积分的几何意义：定积分的几何意义： 如果在如果在a,b上上 ，则，则 在几何上表在几何上表示由曲线示由曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积.0)(xfbaxxfd)( )0f x( )dbaf xxax( )yf x oybax(

9、)yf x oyb 如果在如果在a,b上上f(x)既可取正值又可取负值，则定既可取正值又可取负值，则定积分积分 在几何上表示介于曲线在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴之间的各部分面积的代数和轴之间的各部分面积的代数和.baxxfd)(1324( )d()()baf xxAAAA 1234AAAAx y= f (x)aboyA4A3A2A1() dbaAfxx前页前页结束结束后页后页o1 xyni例例 利用定义计算定积分.d102xx解解将 0,1 n 等分, 分点坐标为,11nx ,nii取),2, 1(ni2xy , 00 x,22nx ,11niix,nii

10、x ,. 1nnnx将闭区间将闭区间0,1分成分成n个小区间个小区间:,2,1nn,1, 0n,1nini,.1 ,1nn各小区间的长度为：各小区间的长度为：., 2 , 1,1ninxi),1(iixninii作为的右端点个区间取第前页前页结束结束后页后页iinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniiiixxf2)(则32ninni1)(2iniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nno1 xyni2xy ), 2 , 1(ni前页前页结束结束后页后页注注 利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nn

11、nn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n性质性质 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，和，即即 ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx 定积分的性质定积分的性质 设下面函数设下面函数 f (x) 及及 g(x) 在在 a,b 上可积上可积.推论推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的积有限个函数的代数和的定积分等于各函数

12、的积分的代数和，即分的代数和，即1212( )( )( )d ( )d( )d( )d .bnabbbnaaafxfxfxxfxxfxxfxx , ( )0a bf x 如果在区间上恒有，则性质性质1(0.)dbaf xx 如果积分区间如果积分区间a,b被分点被分点c分成区间分成区间a,c和和c,b, 则则( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx性质性质5 性质性质5 表明定积分对表明定积分对积分区间具有可加性积分区间具有可加性，这个，这个性质可以用于求分段函数的定积分性质可以用于求分段函数的定积分.性质性质4 4 被积函数的常数因子可以提到积分号外被积函数的常数因子可以提

13、到积分号外. . ( )d( )d ().bbaakf xxkf xxk是任意常数性质性质3 , ( )( )a bf xg x如果在区间上恒有，则 ( )d( )d .bbaaf xxg xx前页前页结束结束后页后页 当当c在区间在区间a,b 之外时，上面表达式也成立之外时，上面表达式也成立.证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(前页前页结束结束后页后页abc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)