电磁场理论：习题6

1、 习 题1已知一条电流线如图所示。求0点的磁场强度H。解： 这是一个已知空间电流分布，求磁场分布的问题。磁场强度可直接通过毕奥-沙瓦定律求得。为方便起见，建立如图所示的坐标系。按照毕奥-沙瓦定律，有：由图可知，可分为三部分：。其中为一段，为一段，为一段。于是可写为：将本题条件代入，有所以，点的磁场强度为2用毕奥-沙瓦定律计算圆环形恒定电滚线轴线上的磁场分布。采用柱坐标系，和，即：由对称性知，第一个积分等于故，3有一条电流强度为人（A）的等边三角形恒定龟流线，求三角形重心处的磁场强度。解：设：等边三角形的每条边长为，经几何分析，等边三角形的重心处，即为齐中心处（，），段：，段：，段：，根据毕奥-

2、沙瓦定律：，分析：由积分公式：，使用书中例结果，式（）由积分公式：有：4一条无限长的直线电流线，电流强度为，人是常数，周围是真空。（1）用毕奥-沙瓦定律求出空间磁场强度的分布。（2）若在它旁边有一矩形线框，线框有两边与电流线乎行，求与线框相交链的磁通量。解：依题意，可建立如图所示的坐标系。（） 为求得无限长线电流产生的磁场，我们先讨论长为的线电流产生的磁场。如图所示，在长为的线电流上，取电流元，该电流元在P点产生的磁场，可由毕奥-沙瓦定律求得：zlyxl于是，2l长的线电流在P点产生的总磁场为： 其中，将及代入中，可得：将代入，并由积分公式：最后求得：下面我们求当电流线为无穷长时，其在P点产生

3、的磁场强度此时，令,可得(2) 设线框与电流线的相对位置如图6-4（b）所示。并取矩形线框的两个边长分别为a和b，到电流线间的距离为l。则可建立图中所示的坐标系，并可求得与线框交链的磁道量为 zlb l aOy x-l所以，与线框交链的磁通量为5对于第2，能否用轴线上的磁矢位求出轴线上的磁场强度？为什么？如果你认为可以用轴线上的磁矢位来求轴线上的磁场强度，请求出结果来。解：由磁矢位的计算公式可求得轴线上的磁矢位为：故无法用轴线上的磁矢位求轴线上的磁场强度。6：对于第2题，能否用轴线上的磁标位术出轴线上的磁场强度？为什么？如果你认为可似用轴线上的磁标位求出轴线上的磁场强度，请求出结果来。 解：根

4、据磁标位的计算公式 、对于题2的圆环故 因为轴线上磁场只有z分量，而中包含了随z的变化信息，故可以用求7如图所示，为理想导体，理想导体内部。无限长的恒定电流线是沿方向流动的 （1）从边界条件导出在使用镜象法求x0区域中的磁场时的镜象电流。（2）求出ro区域中的磁场强度，画出示意场图。（3）求出面上的面电流密度。解：yOxdIIIairdOyx把系统分成两部分： I空气域 II理想导体域边界条件为：根据场的叠加原理，x=0处的场即为原电流源产生的场和它的镜像产生的场的叠加。由于无限长线电流产生的场为所以，其中：在x=0处，由边界条件可知：当 时，即可保证边界条件在x0 空间中的磁场分布以及y=0

5、面上的面电流为布。画出磁场强度H的示意场图。解：首先我们将求解区域划分为如图所示的两部分区域1：y0且区域 ：y0且在这两个区域中，由于没有电流分布，磁标位满足拉普拉斯方程，所以，我们可以用磁标位求磁场。系统的边界条件可写为：由第三个边界条件可知，因为，可得：由系统的对称性知，此时，系统与z无关。所以，可将试探解选为即： 由得 带入边界条件可解得：在y=0面上的面电流分布为：当磁场强度得示意场图为：13在第五章图5一29中，如果点电荷q偏离开球心一个位移，而，求球内电位分布的一级近似表达式。估算一下该式的近似程度。OqairzairbaqO解：可按照如下方法选取坐标系，即：试点电荷的位移是沿着

6、z轴进行的。 如图所示，此时，为了求得系统的一级近似的表达式，我们先用配电荷对的方法对原系统进行一下分析。由于此时，系统的净电荷量为q,故我们可先在球壳中心处配两个点电荷，其电荷量分别为,于是，系统可以看成由位于球心的点电荷和中心位于处的电偶极子组成的系统。系统经过这样的处理之后，其零阶电位可由讲义例题方法求得。（朱分内容同学们可参考讲义P284例2。）其空间的电位分布为所以，球内的零极电位为：前面我们已经通过配电荷对的方法，将偏离球心的电电荷系统等效为在球壳中心处有一个点电荷，在处有一点偶极炬，为了得一级电位，我们仍可采用配电荷对的方法。即此时，我们在球壳中心处，配置两个电偶极炬：，则偏离球心的偶极炬可用于球心的p及位于的四极子来组成。由位于球壳中心处的P长生得为也可根据讲义上例题方法得到（这部分内容请同学们参考讲义P281。例1，），其在空间产生的位为：俄于是球内的一级电位为： （V）这样，球内的电位分布的一级近似表达式可求得为：近似程度应为：（即对应四极子的位）。得求解方法很多，可通过写出边界条件，在拉氏方程中选解的方法求解，也可用多级子展开的方法求解。有多极子展开的方法，我们知道：14己知磁偶极子 为常数）位于（0，0，1），求它对应的磁矢位及在远区的多极子展开式的第一项是什么？如果只使用这一项，它的近似程度如何？解：如