平面向量基本定理

1、2022年4月10日星期日如果没有运算如果没有运算, ,向量只是一个向量只是一个“路标路标”. .因为有了运算因为有了运算, ,向量的力量无限向量的力量无限! !2022年4月10日星期日向向量量的的数数乘乘运运算算回回顾顾一一:、:,下下它它的的长长度度与与方方向向规规定定如如记记作作叫叫做做向向量量的的数数乘乘这这种种运运算算的的积积是是一一个个向向量量与与向向量量规规定定实实数数一一般般地地aa |;| )1(aa ;,0;,0)2(相相反反的的方方向向与与时时当当相相同同的的方方向向与与时时当当aaaa . 0,0)3( a 时时2022年4月10日星期日:向量的数乘运算律向量的数乘运

2、算律;)()()1(aa ;)(2(aaa .)()3(baba )()()(,aaa 我们有我们有特别地特别地.)(baba 2022年4月10日星期日:共线向量定理共线向量定理.,)0(abbaa 使使实实数数当当且且仅仅当当有有唯唯一一一一个个共共线线与与向向量量2022年4月10日星期日:新新课课导导入入二二、?2,23,:1212121eeeeee 否作出向量否作出向量我们能我们能量量给定平面内任意两个向给定平面内任意两个向问题问题?:22211的向量表示呢的向量表示呢都可以用形如都可以用形如平面内的任一向量是否平面内的任一向量是否问题问题ee 2022年4月10日星期日想一想？想一

3、想？问题问题3学生活动：学生活动：已知已知是同一平面内的两个是同一平面内的两个是这一平面内的任一向量是这一平面内的任一向量,1e,2e不共线向量，不共线向量，a 探究：探究：a与与,1e,2e的关系的关系1e2ea2022年4月10日星期日学生活动：学生活动：1e2ea2e1eA A1eA AO O1eA AB BM MN NC CONOMOCOBOA21即即2211eea2022年4月10日星期日三数学建构三数学建构）平面向量基本定理的）平面向量基本定理的内容内容存在性存在性唯一性唯一性如果如果是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一

4、平面的任意向量一对实数，一对实数，使使,1e,2e, a存在存在,2,12211eea有且只有有且只有思考：思考：上述表达式中的上述表达式中的2,1是否唯一是否唯一？2022年4月10日星期日?多少组多少组量的基底有量的基底有平面内用来表示一个向平面内用来表示一个向思考一思考一、（有无数组）（有无数组）BAOMa1e2eOMaABxy2022年4月10日星期日?,21是否相同是否相同的实数的实数则表示同一向量则表示同一向量若基底选取不同若基底选取不同思考二思考二 、BAOMa1e2eOMaABxy2123eea yxa423 mnnma23 可以相同可以相同, ,也可以不同也可以不同2022年

5、4月10日星期日).,( ,00,021221121不共线不共线时可使时可使有且只有有且只有时时当当eeeea ?,21情况会是怎样情况会是怎样中只有一个为零中只有一个为零与与若若 , 01112共线共线与与即即则则若若eaea , 02221共线共线与与即即则则若若eaea 2022年4月10日星期日检测检测1、给出下面三种说法、给出下面三种说法：（1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可）一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；作为表示该平面所有向量的基底；（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可）一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底

6、；作为表示该平面所有向量的基底；（3）零向量不可作为基底的向量）零向量不可作为基底的向量其中正确的说法是其中正确的说法是( )A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)B2022年4月10日星期日B2022年4月10日星期日例3：已知向量 求做向量-2.5 +3 、 1e2e1e2e还有其他作法?2e15 .2e23eO1e2022年4月10日星期日.,1MDMCMBMAbabADaABMABCD表表示示试试用用且且线线相相交交于于点点的的两两条条对对角角平平行行四四边边形形、如如图图例例 ABCDabM.,3,:1PNBCPNCANACN求求的中点的中点为为且且上上在在

7、若若上题中上题中变式变式 :例题分析四、2022年4月10日星期日.,22121CDBCeeeANeAMNMCDBCABCD、表表示示试试用用为为的的中中点点的的边边已已知知平平行行四四边边形形变变式式 ANMDCB2022年4月10日星期日.41:,31,:. 2BABEEBAODBCBDOACB 求证求证相交于相交于与与中中平行四边形平行四边形用向量的方法证明用向量的方法证明例例ODBCAE2022年4月10日星期日.1,:. 3OBOAOC，、CBAOCOBOA 使得使得且且的等价条件是存在实数的等价条件是存在实数共线共线的终点的终点向量向量证明证明例例2022年4月10日星期日 本题在

8、解决过程中用到了两向量共本题在解决过程中用到了两向量共线的等价条件这一定理，并用基向量表线的等价条件这一定理，并用基向量表示有关向量示有关向量,用待定系数法列方程，通用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。的方法都必须切实掌握好。2022年4月10日星期日 1.1.平面向量基本定理可以联系物理平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在学中的力的分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共同一平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。其他两个向量上的分解。课堂总结课堂总结2022年4月10日星期日