第五章 对策问题

1、第六章 对策问题 1 基本概念 首先，通过一个实际问题来介绍一下有关概念。 例（囚犯难题） 有A,B两个人隐藏有被盗物品而被捕，现在正分别受警方审讯。此二人都清楚，如果拒不承认，现有的证据不足以证明他们曾经偷盗，而只能以窝藏赃物罪被判处一年监禁。二人都招认，将被判监禁5年，但若有一人招供而另一人拒不招认，那么供出同伙的人将会获得释放，另一个将被判监禁10年，把犯人A,B被判刑的几种可能列表如下： 表 5-1 犯人 B 供认 不供认 犯人A 供认 不供认 5 , 5 10, 0 0 ,10 1 , 1 表中的每对数字表示根据犯人采取的行动而被判刑的年数。A,B两犯人都希望受到最轻的处罚，但又担心

2、对方供认，最保险的办法是承认犯罪，这样可以避免出现最坏的情况。因此二人都招认了，这样警方就成功的取得了口供。 以这个简单的对策为例，我们来介绍一下对策的基本要素。 （1）局中人 具有决策权的参加者。例中犯人 A,B 即为局中人。两人（两方）对策问题只能有两名 局中人，属于利害一致的参加者，可视为同一局中人。 （2）策略 局中人可采取的可行方案。策略的全体构成策略集。策略集分为有限集和无限集。 设 局 中 人A有m个 策 略 （ 或 称 为 纯 策 略 ）， 策 略 集SA=m,21, B 有 n 个策略SB=n,21。当 A 选用第 i 个策略，B 选用第 j 个策略时， ji,构成一个纯局势

3、，SA和SB中的策略可构成 m n 个纯局势。对应于ji,，把 A 的赢得记为ija，B 的赢得记为ijb可用下表表示。 表 5-2 B 的策略 1 2 j n 1 2 A 的 i 策 略 j ( a11,b11 ) ( a12,b12 ) ( a1j,b1j ) ( a1n,b1n ) ( a21,b21 ) ( a22,b22 ) ( a2j,b2j ) ( a2n,b2n ) ( ai1,bi1 ) ( ai2,bi2 ) ( aij,bij ) ( ain,bin ) ( am1,bm1) ( am2,bm2) ( amj,bmj ) ( amn,bmn) （3）支付矩阵 当纯局势ji

4、,已确定时，A 的赢得正是B 的所失，即双方得失之和为零，此类对策称为零和对策。此时，因ijijba略去ijb，记 mnmmnnnmaaaaaaaaaA212222111211 称m n为支付矩阵。 一般的，把一个对策记为G，G=SA , SB , A . (4)最优纯策略与鞍点 从前面的囚犯难题的例子中，我们看到，A,B 两人考虑问题的出发点并非是获得最好的结果，而是在避免最坏结果的前提下，寻求一种保险的最佳方法，这也往往是对策双方考虑问题的通用规则。 设有一零和对策G=SA , SB , Am n ， 我们有必要对 A与 B 的最坏结果 （或最大损失）做一分析。假设 A 选择了策略 i，从

5、损失的角度讲，ijjamin便是 A 选择 i 策略的最大损失（即最少赢得） ；再在这些损失中选取最小的损失（即最大赢得）ijjiaminmax。这样，ijjiaminmax就表示 A 至少的赢得，注意到零和对策有ijijab，这样ijijamaxmin便表 B 的最大损失。若 ijjiaminmaxGijijVa maxmin （5-1） 则表示 A 的至少赢得和 B 的最大损失恰好可以吻合， 此时双方可以满意。 称使 （5-1）式成立的值GV为对策 G 的值。 若存在某纯局势,ji使 GiijjijVaa,maxmin （5-2） 则,ji称为对策 G 的鞍点，支付矩阵 A 中的元素,ji

6、a称为矩阵的鞍点。显然，（5-2）比（5-1）更具体化，找到了达到对策值GV的 A 策略,i与 B 的策略,j，从而称,i与,j分别为 A 和 B 的最优纯策略。 对策 G 的鞍点，是策略的一个稳定解。显然，若,ji为对策 G 的鞍点，对于 A 来讲，若 B 已选择了最优策略 ,j，A 选择 ,i是最好的结果。选择其他的策略,ii ,至少不能提高 A 的赢得值。 若 A 的所有对策其赢得皆小于 GV， 由 （5-2）式，A 的策略最终会转回 ,i上。这便是稳定的定义。下面给出一个稳定解存在的结论。 定 理 （ 极 大 极 小 原 理 ） 一 个 零 和 对 策 有 稳 定 解 的 充 要 条

7、件 是ijjiaminmaxijijamaxmin。 一般的，稳定解可以不唯一。解有下列性质： a: 无差别性：若11,ji与22,ji同为对策的解，则有2211jijiaa。 b: 可交换性：若11,ji与22,ji都是对策的解，则21,ji与12,ji也是解。 但是，在实际中有些零和问题可能是无解的，这时需要考虑混合策略。所谓混合策略就是在每次对策时作一次随机试验，已确定这次应选哪一种策略。混合策略往往有迷惑对方的功效。事实上，当策略的一方 A 连续的使用某策略而获得利益时，对方 B 必察觉，从而 B 改换其策略以对付 A。因此，从获利的角度讲，对策双方都不能连续不断地使用某种纯策略，而必

8、须考虑如何随机地使用自己的策略，从而使对方难以捉摸。 设 对 策 的 局 中 人A有 几 种 纯 策 略 构 成 策 略 集 SA4321,，且 A 以概率4321,pppp分别取4321,。记为 432143214321ppppppppaaaaSA且1 此时，A 的按概率计算出的赢得称为“期望赢得” 。进行混合策略的对策是，A 自然还是按最大最小原则选择它的策略，而 B则按最小最大原则选择自己的策略，混合策略的最优解自然是寻求对策双方利益得以平衡的吻合点。 （）优超 通过实际问题，我们知道，所有有限二人零和对策总存在混合策略解。为简化策略分析，引进优超概念。 优超：设支付矩阵m n=nmij

9、a ，如果 , 2 , 1,njaaijkj 则称局中人 A 的策略优超于策略。若不等号严格成立，则称局中人 A的策略严格优超于策略。 若存在优超，则可通过将被优超的那个纯策略所对应的行划去来简化求解过程，同理，对局中人 B 也可进行优超过程，从而划去相应的列以达到求解过程的简化。 例子 A 有两架飞机，B又四个导弹连分别掩护通向目标的四条路线。 如果飞机沿一条路线进攻 ，则掩护该路线的导弹连必然击落一架飞机，不过，由于重新装弹时间长，所以仅仅能击落一架飞机。如有飞机突防进而摧毁目标，A 的赢得为 1，否择 A 的赢得为 0。现在为双方选择最有策略。 （1） 建立模型 双方的策略规定了导弹联合

10、飞机的兵力装备。A 的策略是： 1飞机从不同路线进入; 2_飞机从同一路线进入； B的策略是： 1-对每个路线配置一个连； 2对两条路线个配两个连； 3对一条路线配两个连，为另两条路线个配一个连； 4对一条路线配三个连，对另一条路线配一个连； 5对一条路线配四个连。 对于 1 ，1一定将两架飞机全部击落。而 5决不会如此。在 2和 4的情况下， 只有导弹连恰好配置在飞机选择的两条进入路线上两架飞机才可能全部击落。 因从不同四条进攻鸬鹚暗中挑选两条，有六种组合方法。所以飞机吐蕃的机会是 5/6。在 的情况下，飞机沿着没有设防的路线可以突破防线，而在可能进攻的路线中，有三组包含未设防路线。所以飞机

11、成功路线的机会是 1/2。 对于 1，2不可能将两架飞机击落，2能成功的在四条路线种的两条设防，所以飞机成功的机会是 1/2。3，4，5，只能保卫一条路线，所以飞机突防的机会是 3/4。 （1） 求解 从上面得到支付矩阵 4/34/34/32/1116/52/16/50 从支付矩阵中可以看到，3优超于4和5，划去4和5，可得到简化了的支付矩阵 4/32/112/16/50 1 若 A的最佳策略是 （x,1-x） ,则对于1， A的赢得是 3/4 5/6 0+(1-x)=1-x C 对于2,A的赢得是 5/6x+1/2(1-x)=1/2+1/3x 1/2 1/2 对于3,A的赢得是 1/2x+3

12、/4(1-x)=3/4-1/4x 把每种赢得作为 x 的函数画出，得到图 5-1。 从图 5-1 可知，A的最大最小赢得为 maxmin(1-x,1/2+1/3x,3/4-1/4x) 其中，min(1-x,1/2+1/3x,3/4-1/4x)极为折线 ACB,C 电为折线的最高点， 及 C 点为 A在混合策略意义下的最大最小值。令 1- x=5/6x+1/2(1-x) 得 x=3/8 即 A 按概率（3/8，5/8）来分布决策,所得的最大最小赢得 V=5/8. 计算 B的决策概率分布也可类似上述过程求得，即计算 B的各种赢得在画出赢得图，最终求得最大值和最小值当采用 3/8 和 5/8 来选择

13、策略1 和2 是，B 选择1 和2 的损失皆为-V=-5/8,B使用3 的损失为-21/32。因此，B将放弃使用3 的策略。 设 B选择策略的概率分布位（y,1-y,0,0,0）,若使混合策略有最优解，应有 0y+5/6(1-y)=V a=5/8 y=1/4 从上述过程来看，对于 A，应以 3/8 的概率选择 1,以 5/8 的概率选择 2,对于 B,应以 1/4 的概率选择 1，1/4 的概率选择 2. 层次分析法模型 将问题所包含的因素分层，可以划分为最高层、中间层、最底层。最高层表示解决问题的目的。中间层表示实现总目标而采取的各种政策，一般分有策略层、约束层、准则层等。最底层是用于解决问

14、题的各种措施、方案等。当某个层次包括因素较多时将该层次再划分为若干子层。下面举一个例子。 某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只能研究一个课题。有三个须考虑的因素（1）科研成果贡献大小（包括实用价值和科学意义）； （2）客体的可行性（包括客体的难以程度研究周期及资金）; (3)人材的培养。 在这些因素的影响下，如何选择课题？ 利用层次分析建立层次结构模型（图 5-3） 合理选择课题 成果贡献 1B 人才培养 2B 课题可行性 3B 实用价值1C 科学意义2C 难易程度3C 研究周期 研究资金5C 课题 1 课题 2 课题 3 2.构造判断矩阵 注意到，很多诸如社会、人文及日常生活等实际问

15、题，其因素通常不易定量的测量。人们只能根据自己的经验及知识进行判断，而当比较的因素较多时，这种判断将很难做到准确。一种简单的思想是：先不把所有的因素放在一起进行比较，而是两两比较从而提高判断的准确性。 考虑到 ija与 jia的实际意义，我们要求成对的比较判断矩阵A 满足 (1) 0ija, jiijaa1 , 2 , 1,iji, n, j=1,2,，n （2）iia=1，I=1,2, n 称满足条件（1）与（2）的矩阵 A 为正互反矩阵。 描述因素互相影响大小的ija的取值也作某种规定性的量化。我们在描述事物的好坏强弱时往往用相等、较强、强、很强、绝对强来表示差别程度，正象我们往往用优秀、

16、良好、中、及格、不及格大体区分考试的成绩一样。一般地，ija的取值为 1，3，5，7，9。见表 511。 相等 较强 强 很强 绝对强 ija 1 3 5 7 9 若对成对的事物的差别判断介于上述 5 个数之间，则ija的取值为 2，4，6，8。如果需要用 1 到 9 之外的数，那么可根据情况先将因素聚类进行类比，再比较每一类中的元素，从而避免用 1 到 9 以外的数字。这样选值也是符合心理学理论的，因为 72 个因素得逞对比教师心理学的极限， 多于 9 个的因素的比较将超出人的判断力。 在前面的例子中，准则层 B对目标层 Z 的判断矩阵 A（记 ZB）可根据实际情况适当选取成如下形式 1 2

17、 3 1 2 3 1 3 1 31 1 31 1 3 1 3层次单排序及其一致性检验我们注意到，在判断矩阵 A 的构造中，ija中选值仅注意了jx与ix对目标层 Z 影响的比例。而在确定矩阵的各个元素ija时，所用的判断标准可能并不统一。例如，212a仅表示1x对z的影响是2x对z 的影响的 2 倍，223a又表示2x对z 的影响是3x对z的影响的2倍， 按常理推论，1x对 z 的影响便是3x对z 的影响的4倍， 即413a。但由于各种实际因素及主观倾向的干扰， 在判断1x与3x对z的影响时， 极可能使413a，这便产生了判断矩阵 A 的元素在确定时的标准不统一。因此，我们对矩阵 A 必须进行

18、一致性检验以尽量减少这种人为主观上的不统一， 从而使最终的结果趋于合理。 首先给出一致阵的概念。 如果正互反矩阵 A 满足 ikjkijaaa nkji, 2 , 1, 则 A 称为一致阵。 我们不加证明地给出一致阵的如下性质： （1）1,1ijjiijaaa nkji, 2 , 1,； （2）A 的转置TA也是一致阵； （3）A 的每一行均为任意指定的一行的正倍数，从而 rank(A)=1； （4）A 的最大特征根nmax，其余的特征根皆为零； （5）若max对应的特征向量为TnwwwW,21，则jiijwwa ，nji, 2 , 1,。 显然，若在确定判断矩阵的各个元素时皆保持相同的比较标

19、准，则最终形成的判断矩阵 A 应为严格的一致阵。验证nmijaA是一致阵的充要条件是其最大特征根nmax。一旦判断矩阵 A 为一致矩阵时，由性质（5） ，ix对目标z影响的排序便可由max对应的特征向量的元素iw来确定。实际过程往往将特征向量 W 标准化再根据各个 iw的大小（应为正值）来确定ix的排序。此过程称为层次单排序。 然而，对于一般的问题，尤其当考虑的因素较多时，很难保证判断矩阵 A 为一致性，因此在计算判断矩阵 A 最大特征根max之前，需检验矩阵 A 的一致性程度。令 1maxnnCI 称 CI 为一致性指数。显然，0CI时，A 为一致阵。可以证明，CI 越大，A 的不一致程度越

20、严重。 当然，对于一个具体的矩阵 A 来讲，很难说其一致性指数 CI 到底是很大或很小。A L Saaty 针对上述定义的不严格性，提出用平均随机一致性指标 RI 检验判断矩阵 A 是否具有满意的一致性。 RI 是这样选取的：对于固定的n，随机构造正互反矩阵 A，其中 ija是从 1，2，9，21，31，91中随机抽取的，此时 A是最不一致的。取充分大的子样得到 A的最大特征值的平均值 k，定义 1nnkRI 令 RICICR 则 CR 称为随机一致性比率。 一般地，当1 . 0CR时，认为 A 具有满意的一致性，否则必须重新调整判断矩阵 A，直至其具有满意的一致性。此时计算出的最大特征值所对

21、应的特征向量，经过标准化后，才可以作为层次单排序的权值。 4层次总排序及其一致性检验 计算同一层次所有因素对于总目标相对重要性的排序权值的过程称为层次总排序。此过程是从最高层到最低层逐层进行的，它是这样进行的：设上一层次 A 包含m个因素1A，2A，mA，它的层次总排序权值分别为1a，2a，ma，下一层次 B 包含n个因素1B，2B，nB， 它们对于jA的层次单排序权值分别记为jb1，jb2， ，njb（当kB与jA无联系时0kjb） ，此时 B 层总排序权值就可由下表 5-12 给出。 表 5-12 1A 2A mA 层次 A 层次 B 1a 2a ma B层次总排序权值 1B 11b 12

22、b mb1 mjjjba11 2B 21b 22b mb2 mjjjba12 nB 1nb 2nb nmb mjnjjba1 层次总排序也要进行一致性检验。检验是从高层到低层进行的。设B 层中的某些因素对jA单排序的一致性指标为jCI， 平均随机一致性指标为jRI，则 B层总排序随机一致性比率 CR 为： mjjjmjjjRIaCIaCR11 当1 . 0CR时，认为层次总排序结果具有满意的一致性。 实例实例 合理分配资金 某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用。可供选择的方案有：以奖金名义发给职工；扩建集体福利设施；引进新技术、新设备等。为进一步促进企业发展，如何合理使用这笔利润？

23、（1）分析与建模 上述三个方案的目的都是为了更好地调动职工劳动积极性，提高企业技术水平和改善职工物质生活，都是为了促进企业更大发展，因此可利用层次分析来建模。整个结构模型如图 5-4。 （2）求解 构造判断矩阵 Z-C 合理利用企业利润 调动职工积极性 C1 提高企业技术水平 C2 改善职工生活条件 C3 发奖金 P1 扩建福利事业 P2 引进新设备 P3 目标层 Z 准则层 C 措施层 P Z C1 C2 C3 W C1 C2 C3 1 5 3 1/5 1 1/3 1/3 3 1 0.105 0.637 0.258 求解 Z-C 的特征值，易解出038. 3max，从而 TW258. 0 ,

24、637. 0 ,105. 0 由公式得 019. 0CI 033. 0CR 构造判断矩阵 PC 1、PC 2及PC 3： C1 P1 P2 W C2 P2 P3 W C3 P1 P2 W P1 P2 1 1/3 3 1 0.75 0.25 P2 P3 1 5 1/5 1 0.167 0.833 P1 P2 1 1/2 2 1 0.667 0.333 按公式解出上述三个矩阵的max，分别为2，2，2；max对应的特征向量分别为： T25. 0 ,75. 0，T833. 0 ,167. 0，T333. 0 ,667. 0 易算出它们的CI 都为零，CR 也全为零。 写出各方案对促进企业发展的层次总

25、排序权值表 5-13。 表 5-13 C1 C2 C3 层次Z 层次 P 0.105 0.637 0.258 层次 P 的总排序权值 P1 P2 P3 0.75 0.25 0 0 0.167 0.833 0.667 0.333 0 0.251 0.218 0.531 按公式算出层次 P 的总排序权值，写于上表右侧。 （3）检验 总排序一致性检验： 3100258. 00637. 00105. 0jjjCIaCI 从而1 . 00 CR （4）结论 从第 3 部分中可知，层次总排序结果具有满意的一致性。所以合理利用利润。所考虑的三种方案相对优先排序为： 3P优于 1P， 1P优于 2P。利润分配

26、比例为 3P占 53.1%， 1P占 25.1%， 2P占 21.8%。 从上述例子看出，主要是计算判断矩阵的最大特征值和特征向量。由于判断矩阵中的ija是比较粗糙的，所以，可以近似计算最大特征值和特征向量。 抗灾决策抗灾决策 根据水情资料,某地汛期出现评水水情的概率为0.7,出现高水水情的概率为0.2,出现洪水水情的概率为0.1.位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案: (1) 运走,需支付运费18万元. (2) 修堤坝保护,需支付修坝费5万元. (3) 不做任何防范,不需任何支出. 若采用方案(1),那么无论出现任何水情都不会遭受损失;若采用方案(2),则仅当发生洪水时,因堤坝冲

27、垮而损失600万元的设备;若采用方案(3),那么当出现平水位时不遭受损失,发生高水位时损失部分设备100万元,发生洪水时损失设备600万元.根据上述条件,选择最佳决策方案.又设发生洪水的概率能够准确预报,试对出现评水水位和高水水位的概率进行灵敏度分析. (1) 假设 (1) 通过比较各方案的效益期望值的大小来评定方案的优劣,损失最小为最佳方案. (2) 把每个行动方案都看作离散随机变量,其取值就是改方案对应于各自然状态的效益值. (2)模型的建立 把各种情况用决策树表示(图 5-2),其中 表示决策点,从它引出的分支枝称为方案分枝,分枝的数目就是方案的个数. 表示机会节点,从它引出的分枝称为概

28、率分枝.一条概率分枝代表一种状态,标有相应发生的概率. 表示末梢节点,右边的数字代表各个方案在不同状态下的效益值.在决策树上的计算是从右往左的,遇到机会节点,就计算该点期望值,将结果标在节点上方,遇到决策点,比较各方案分枝的效益期望值,决定优劣.淘汰的打上:”+”号,余下的为最佳方案,其效益期望值标在决策点旁 运走 -18 万元 不发生洪水 0.9 -5 万元 发生洪水 0.1 -605 万元 平水位 0.7 0 高水位 0.2 -100 万元 发生洪水 0.1 -600 万元 . 图 5-2 (3) 求解 我们用 E 表示数学期望,则有 (1) E(B)=0.9(-5)+0.1(-605)=

29、-65(万元) (2) E(C)=0.70+0.2(-100)+0.1(-600)=-80(万元) (3) 另一期望值为-18 万元. 在第一级决策点 A 处进行比较可知,运走的是最佳决策方案,其效益期望值为-18 万. (4)稳定性分析 稳定性是各类实际问题经常要考虑的,它主要考察通过建模得到的问题的解对原问题的一些初始数据变化的依赖程度.我们知道,由于测量仪器的不精确及人类不能控制的一些因素,在试验中所测量的数据总会有些偏差.如果较小的测量误差不会引起解的较大误差,这种解是可以信赖的.反之,如果初始值较小的误差会带来解的”大幅度振荡”,那么,即使数学模型建立的再合理,其解也可能于真实的结果

30、相差甚远,从而使建模过程变得毫无意义.因此,分析模型最终的解对一些原始值微小变化的灵敏程度是每个模型必须考虑的问题,有时,稳定性分析也称为灵敏度分析.根据客观问题不同,稳定性的意义及稳定性分析的方法也有所不同. 在本例中一旦初始数据(如概率,运费等)发生变化,将会引起效益期望值E(B), E(C)的变化,从而极有可能引起最佳决策方案选择上的改变.相比较而言,出现各种水情的概率较之于运费及损失费等各种费用更容易产生误差.为简化起见,下面假设在不发生洪水的情况下,并不考虑运走施工设备的方案,针对出现平水位和高水位的概率进行稳定性分析.首先引入概念:使各行动方案具有相同效益期望值的自然状态出现的概率

31、称为转折概率. 设出现平水水情的概率为,这出现高水水情的概率为1-,令 -5=0. + (1-)(-100) =0.95 =0.95 即为使采取方案2 的期望效益值与采取方案 3 的期望效益值相同的转折概率.可以验证,当出现平水位的概率大于0.95 时,方案3 为最佳方案;当出现平水位的概率小于0.95 时,方案2 为最佳方案,这也正是转折概率的含义.同时,我们也看到,当我们预测的平水位概率接近 0.95 时,将给选则方案带来极大的不稳定因素.例如,若=0.94990.95,虽然概率变化极小,选择方案却发生了变化,此时我们将选则方案3. 5.4 合作对策模型 一般来讲， 从事某一活动的各方若能

32、通力合作， 通常可以获得比个人单干更大的总效益（或更小的开支。这里寻求的不是 112 的等式，而是获得 112 的效果。当然，这种合作的基础便是合作各方应合理地分配效益。 如何合理地分配效益便是本节n人合作对策所介绍的问题。 设有一n人的集合nI, 2 , 1，其元素是合作的可能参加者。 （1）对每一子集IS ，对应地可以确定一个实数 SV，其值的实际意义为：如果 S 中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为 SV。 SV满足下列性质： 0V（空集 表示无人参加合作） ； 2121SVSVSSV。当21SS 时，将具有此性质的 SV称为 I 的特征函数。 性质是很关键的，否则，如果两个集团合作

33、的获利比单干的总和还少，这种合作便毫无意义。 （2）定义合作结果 SV的分配为 VVVVn,21，其中 Vi表示第i人在这种合作下分配到的获利。 V称为合作对策。 合理分配原则为 V应满足 合作获利对每人的分配与此人的标号无关； niiIVV1； （5-9） 若对所有包含i的子集iS 有 SViSV，则 0Vi； 若此n人同时进行两项互不影响的合作，则两则合作的分配也应互不影响；每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和。 对性质我们稍加说明。显然， SVisV表示从获利的角度讲，合作有 i参与和没有i参与是一样的，即i对合作没有贡献，故其效益分配 0Vi。 可以证明满足这 4 个性质的合作

34、对策 V的唯一存在的，而且，这样的 V可按下面的公式给出： niiSVSVSWVSiSi, 2 , 1 （5-10） 其中iS是 I 中包含 i的一切子集所构成的集合，S表示 S 中的元素个数，记 !1nSnSSW （5-11） （5-10）式理解起来也不难。公式中 iSVSV项即表示 i参与 S 的合作对获利的贡献， Vi不过是将 i的所有贡献按某种权加起来。不难看出，合作对策能够实现的基础之一是对每个参加者，合作获得应不少于单干时的获利（或合作时的开支不大于单干时的开支） 。用数学式子表示，即对每一Ii，须满足 iVVi。易证， （5-10）式中的 Vi满足该条件。 合作对策分担费用问题

35、有三个位于某河流同旁的城镇 A,B,C(见图)。 20 河 38 图中单位： （公里） 城 C 城 B 城 A 三城的污水必须经处理后方能排入河中，三城可单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送合作建厂。假设污水只能由上游送往下游。 用 Q 表示污水量，单位为 m3/s 表示管道长度，单位为公里，则有经验公式： 建厂费用：C1=730Q712. 0 (千元) 管道费用：C2=6.6Q51. 0L(千元) 已知三城镇的污水量分别为 QA=5m3/S, QB=3m3/S, QC=5m3/S,问三城镇怎样处理污水可使总开支最小，又每一城镇负担的费用应为多少？ （1） 分析 通过分析，此问题中三城镇处理污水可有 5 种方案： 每城各建一处理厂； 城 A,城 B 各建一个，城 C 单建（A,B 城合作建于 B 处） ； 城 A 单建，城 B，城 C 合作建厂（B,C 城合作建于 C 处） ； 城 A,城 C 合建，城 B 单建（城 A,城 C 合作建于 C 处）; 三城合建一厂（建于 C 处）. (2)建模与求解 运用公式 C1=730Q712. 0,C2=6.6Q51. 0L 可以算出各方案所需的总投资 额为：方案6200 千元；方案5800 千元；方案5950 千元；方案6230 千元；方案5560 千元。 比较一下可知三城合作总投资额为最少，因此