第六章刚 体绕定轴转动微分方程

1、第六章第六章 刚刚 体体 绕绕 定定 轴轴 转转 动动 微微 分分 方程方程 6-1 6-1 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程12,nF FF主动力主动力:12,NNFF约束力约束力:d()()()dizzizNJMFMFt ()ziMF d()dzziJMFt 即即:( )zzJMF 或或22d( )dzzJMFt 或或转动转动微分微分方程方程)(FzzMJ常量0)(.(e)izMF若若1 1常量常量)(.(e)izMF若若2 2例例1: 已知已知: ，求，求 .12, ,R J F FRFFJ)(21JRFF)(21解解:求：制动所需时间求：制动所需时间 .t例例3 ：已知

2、：已知： ，滑动摩擦系数，滑动摩擦系数 ，RFJNO,0f000ddtONJfF R t0ONJtfF RddONJFRf F Rt解解：1111RFMJt2222MRFJt2122112211iJJiMM21121221,MMRRiJJ1例例4 ：已知：已知 求：求： .解解：ttFF 121221RRi因因 ， ，得得21iinizrmJ6-2 6-2 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 单位：单位：kgm2 1. 1. 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算(1)(1)均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由由

3、 ，得，得42)d2(402RrrrJARAO222mRmRRmJiiz（2 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量Aiiirrmd2（3 3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量2RmA式中式中：221mRJO 或或2 2. . 回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径） mJzz2zzmJ或或2CzzJJmd3 3平行轴定理平行轴定理Czdzz 式中式中 轴为过质心且与轴为过质心且与 轴平行的轴，轴平行的轴， 为为Cz与与 轴之间的距离。轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与

4、该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积与两轴间距离平方的乘积.2211()CziJm xy )(222yxmrmJiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(01iiCmymy证明证明：因为因为2CzzJJmd01ymi有有 ，得，得231mlJzlm,例例1 ：均质细直杆，已知：均质细直杆，已知 .Cz求：对过质心且垂直于杆的求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。轴的转动惯量。要求记住三个转动惯量要求记住三个转动惯量22mR（1） 均质圆盘对盘心轴的均质圆盘对盘心轴的转动惯量转动惯量32ml（2）

5、均质细直杆对一端的均质细直杆对一端的转动惯量转动惯量122ml（3） 均质细直杆对中心轴均质细直杆对中心轴的转动惯量的转动惯量12)2(22mllmJJzzC则则z 对一端的对一端的 轴，有轴，有解：解：4 4组合法组合法OJ 求：求： .ld例例12-10： 已知杆长为已知杆长为 质量为质量为 ，圆盘半径为，圆盘半径为 ，质量为质量为 .1m2m盘杆OOOJJJ231mlJO杆2222)2()2(21dlmdmJO盘)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmJO解解：21JJJz2222112121RmRm)(214241RRlJz 解解：lRm222lRm211其中其中mRRl)(2221由由 ，得得)(212221RRmJz)(2122212221RRRRl21,RRm例例12 ：已知：已知： ，zJ 求求 .例例 图为均质等厚零件，设单位面积的质量为 Ra大圆半径为 挖去的小圆半径为r两圆的距离为 求零件对过o点井垂直于零件平面的轴的转动惯量解解 rRJJJ00022222202121arrrRRJ222422242222121arrRarrR5 5实验法实验法O例：求对例：求对 轴