自适应(第四讲)

1、自适应控制自适应控制第四讲第四讲 模型参考自适应控制系统模型参考自适应控制系统MRACSMRACS4.1 4.1 基本概念基本概念1.MRACS组成4.1 4.1 基本概念基本概念参考模型(R.model)用一个model体现对控制系统之要求，即model的输出为理想的响应(对可调系统的工程要求，如超调量、过渡时间、阻尼等可由R.model直接规定，无需进行性能指标的变换)。可调系统受控过程+前置反馈控制器，其结构和参数按自适应控制要求设计成可调。自适应机构保证可调系统与参考模型两者之间一致性的控制器，是MRACS设计关键。4.1 4.1 基本概念基本概念2. MRACS原理控制目标： 与 一

2、致。ymy性能一致性度量:):(xxeoryyemxmy0limeut只要e不为零，自适应机构就按减少偏差的方向修正或更新控制u。实施方案： a. 修正前置反馈控制器参数，参数自适应方案； b. 直接改变加到输入端的信号，信号综合自适应方案。4.1 4.1 基本概念基本概念3模型参考辨识R.model与被控对象位置互换，过程(未知)不变，模型(参数)可调。设计思想：用e调整模型参数，使e0，即使得模型动态与实际过程尽可能一致，此时，模型就是要辨识的结果。这种与MRACS对偶之系统，称作对偶系统。4.1 4.1 基本概念基本概念4. MRACS设计方法1参数最化优设计法;2Lyapunov稳定性

3、理论设计法;3超稳定性理论设计法。4.2 MRACS4.2 MRACS局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法(MIT(MIT律律) )1. 设计原理构造一个由广义误差和可调参数组成的目标函数，并把它视为位于可调参数空间中的一个超曲面，再利用参数最优化方法使这个目标函数逐渐减小，直到其值达到最小或位于最小值的某个邻域为止，从而满足可调系统与参考模型之间的一致性要求。2. 具有可调增益的MIT律的设计被控对象)()(sGKsGvp参考模型)()(sGKsGmm4.2 MRACS4.2 MRACS局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法(MIT(MIT律律) )MIT方案)()()(sDs

4、NsG未知、漂移(符号已知);vKcK可调增益。mK给定。目标函数：dKetKJcttc),(21),(20设计问题：寻求cK调节律，使 Jmin，最终0)(limtet4.2 MRACS4.2 MRACS局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法(MIT(MIT律律) )求控制律：dKeeKJcttc0按梯度法：使J下降的方向是其负梯度方向，故dKeeKJKcttcc00000ccttcccKdKeeKKKccKeetK)()(tyKKKemmvc)()()()(srsGKKKyysevcmpm)()(teytKmcmvKK上式即为 自适应律。cK4.2 MRACS4.2 MRACS局部参

5、数最优化设计方法局部参数最优化设计方法(MIT(MIT律律) )3. MIT律实现需一个乘法器积分器。优点：简单；缺点：可能不稳定。)()(teytKmc4.2 MRACS4.2 MRACS局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法(MIT(MIT律律) )4. MIT方案的稳定性影响稳定性因素： a. 自适应增益； b. 输入指令的幅度和频率； c. 建模误差。举例: 考虑二阶系统)()(1)(122srsysasaKsGpv)()(1)(122srsysasaKsGmm自适应可调增益为按MIT规则可得cKmcvcmeyKtrKKKeeaea)()(12)()(1212trKKyyayat

6、rKyyayavcpppmmmm4.2 MRACS4.2 MRACS局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法(MIT(MIT律律) )r(t)=R RKytmm,0aa212eRKKeeepmeRyKeeemv12aamceyKRKKeeecv12aa)()(12trKKKeeaeavcm应用古尔维兹稳定性判据，系统稳定的充要条件212a/aRKKvm4.2 MRACS4.2 MRACS局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法(MIT(MIT律律) )为什么称“局部参数最优化”?dKetKJcttc),(21),(20J不仅是e的显函数，而且也是控制器可调参数的隐函数，从而可以把J看成

7、是可调参数空间中的一个超曲面(凸函数)，并采用参数优化方法在超曲面上寻找极值点。该极值点对应的数值即是控制器参数的最佳值，但是J并不一定是控制器参数的凸函数。因而，参数收敛点处并不一定是全局最优参数，故称。4.3 MRACS4.3 MRACS的的LyapunovLyapunov稳定性理论设计方法稳定性理论设计方法 稳定性：控制系统的基本要求。MIT问题Parks(1966)提出此法。1. Lyapunov稳定性定理根据经典力学原理，在一个实际物理系统中，处于高能位的质点的稳定性比它处于低能位时差。因此，在质点从不稳定状态向稳定状态运动过程中，其能量将不断减少。若以E代表能量，则此运动过程特征为

8、0E0dtdE4.3 MRACS4.3 MRACS的的LyapunovLyapunov稳定性理论设计方法稳定性理论设计方法 根据此原理，Lyapunov虚构一个能量函数V(x,t)，称Lyapunov函数，利用此函数在控制系统运动过程中的特征，便可判断该系统的稳定性。定理1：对于系统0), 0(),(tftxfxt（1）存在正定函数),(txV0)(x,tV（2） 是负定函数，则平衡状态 是渐近稳定的。),(txV0ex0),(txV（3） 是渐近稳定的，且当 x时， 有 ，则 是全局渐近稳定的。0ex),(txV0ex4.3 MRACS4.3 MRACS的的LyapunovLyapunov稳

9、定性理论设计方法稳定性理论设计方法 定理2：对于线性定常系统它的平衡状态 渐近稳定的充要条件是对任意给定的实对称正定矩阵Q，存在一个对称正定矩阵P，它是矩阵方程Axx 0exQPAPAT() 的唯一解，则PxxxVT)(就是系统Axx 的Lyapunov函数。注1：称QPAPAT为Lyapunov方程注2: 定理对Q要求对称正定，故取Q=I，由IPAPAT求解P，再检查P的正定性。若正定，则系统渐近稳定。注3: 对线性系统，常取二次型作为V函数。4.3 MRACS4.3 MRACS的的LyapunovLyapunov稳定性理论设计方法稳定性理论设计方法 2具有可调增益的线性系统(1) 一阶惯性

10、系统)()(s11)(D/ )(NtrKKKeeTTssvcm取Lyapunov函数22),(KeeKVcv，K0.（022)(2222KKtKerTeTKKeeV, 0V欲 02)(2KKtKerT)(terKcvTK14.3 MRACS4.3 MRACS的的LyapunovLyapunov稳定性理论设计方法稳定性理论设计方法 (2) 一般n阶定常线性系统nnnnnnmmasasbsbsbKG11111vmyyeKcvmnnnnnnKKKrbrbeaeaeae)( )()1(11)1(1)(（1）选状态变量rxxrxxexnnn111121e的各阶导数 4.3 MRACS4.3 MRACS的

11、的LyapunovLyapunov稳定性理论设计方法稳定性理论设计方法 (1)式变成等价的典范状态方程cxetKbrAxx)(选Lyapunov函数：02220KKtPbKrxxPAPAxVKPxxVTTTT）（）（，由 综合控制律0V（）)(1tPbrxKKTvc4.3 MRACS4.3 MRACS的的LyapunovLyapunov稳定性理论设计方法稳定性理论设计方法 注1自适应律依赖整个状态x，即e及其各阶导数e一般 e不可测，实现困难。若)(,0 , 0 ,terKKPbvcT注2与MIT律相比，仅用r(t)代替 ，但稳定性得到保证。 my4.3 MRACS4.3 MRACS的的Lya

12、punovLyapunov稳定性理论设计方法稳定性理论设计方法 (3) 时变多变量线性系统R.modelrBXAXmmmm(1)受控过程uBXAXpppp误差模型feAem(2)式中：uBrBXAAfpmppm)(设计要求，调整 f，使0)(limtet选V函数),(hPeeVTpmpmBBAA(3)4.3 MRACS4.3 MRACS的的LyapunovLyapunov稳定性理论设计方法稳定性理论设计方法 hPfeQeeVTT2(式中QPAPAmTm)欲0V02hPfeT(4)h具体化：niiTiniiTih11),(5)011niiTiniiTiTPfe(6)选rXfruP,欲满足(6)式

13、，取自适应控制律：iTTipiTTiPrePxe(7)讨论：当系统的状态不能完全观测时，实现困难。 4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) 用Lyapunov法设计MRACS存在问题：对象全部状态可测及其各阶导数可测21 e工程实现难 稳定自适应控制设计法增广误差信号设计法Narendra Monopoli1.设计思想：1引入一个辅助误差信号z，由它与e共同组成增广误差信号；2利用正实引理综合出一个不含e导数的自适应律，使0, z0，从而使e0。4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Mo

14、nopoli，1974) 1974) 4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) 2. Ky (Kalman-yakubovich) 引理正实引理正实函数定义设G(s)=N(s)D(s)是s=+j w有理分式函数，D与N互质，如果当s为实数时，只要G(s)有定义，它就是实数，而且当Res0，只要G(s)有定义，就有ReG(s)0，那么，G(s)就称为正实函数。一个正实函数，若在Res=0和s=时，有ReG(s)0，则称G(s)是严格正实函数。4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopo

15、li，1974) 1974) 正实函数定理：有理分式函数G(s)为正实函数的充要条件是它同时满足：1当s为实数时，G(s)是实的；2G(s)在右半平面Res0上没有极点；3G(s)在坐标轴Res=0上至多有留数为正实数的单重极点；4对所有的实，只要s=j不是G(s)的极点，就恒有Re G(j)04.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) Ky引理对于SISO系统CxyBuAxx假设 A为稳定阵， 传函BAsIC1)(是正实函数，则一定存在对称正定矩阵P、Q 以及向量q，满足TTTCPBQqqPAPA4.4 4.4 增广误差信

16、号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) 3. 设计问题a. 参考模型)()()()(trsNtysDmmmriiimniiinmssNsssD010()()(b. 被控对象)()()()(tysNtysDmnssNsssDmiiiniiin1, 0)()(0104.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) c. 广义输出误差 )()(tytyemd. 误差方程iiiniiimmmssDsDsDtusNtysDtrsNtesD)()()()()()()()()()()(10e. 增

17、广误差信号)()()(tztetz(t)为辅助误差信号，由辅助控制信号 经辅助系统生成)(t201)()()()()(niiinmsssNtsNtzsD4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) 选择 ，使 为严格正实函数。i)()()(sDsNsGmf. 增广误差信号系统方程) 1 ()()()()()()()()()()()()()()(tsNtusNtysDtrsNtzsDtesDtsDmmmm)()()()()()()()(tusNtysDtrsNtesDmm)()()()(tsNtzsDm(1)式即综合自适应律的基

18、本方程，由于可选择辅助系统使0)(limtzt所以，综合自适应律之目的是，既要保证u和 均不含误差的导数，又要使 ，从而保证y(t)渐近跟踪R.model输出 。0)(limtt)(tym4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) 4综合步骤(以可调增益系统为例)设) 1 (0)()()()()(pDsDsDKsNKsNmmv10)()()(niiimssDsDsD增广误差方程：)2()()()()()()(tpNtuKtKrtpDvm定义状态滤波器：)3()()()()()()(00trtrpNtutupN4.4 4.4

19、增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) 并记)()()()()()(1 )(001011trtKttuttKtcc(4)式中 为可调参数。10ccKK 、故有)()()()()(1100tKtrKsNtsDm(5)式中)(1)(1100tKKKtKKKKcvcv) 1 ()()()()()()()()()()()()()()(tsNtusNtysDtrsNtzsDtesDtsDmmmm(5)式状态空间方程：)()()()(1100txCtKrKbtAxtxT(6)Tnx,)1( ,01101nnIA0 , 0 , 1 TC4.4 4.4

20、 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) 已假定 严格正实，则根据K-y引理，必存在 ,满足构造V函数 bAsICsDsNsGT1)()()()(0, 0TTQQPPCPbQPAPAT0, 010211200KKKKKKPxxVT(7)8(22221111100000KKKKPbxKKKrKPbxQxxVTTT4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) )()(1)()()(1)(11100ttKtKtrtKtKv(9)8(22221111100000KKKKPbxK

21、KKrKPbxQxxVTTT由K-y引理和 ，得自适应律0V)()(txCtTCPb or)()(1)()()(1)(111000ttKtKtrtKKtKcvc(10)(1)(1100tKKKtKKKKcvcv4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) ),(0010rufKKcc 可由 和 构成，故上述自适应律可由 、 、 实现 ，而无需e的导数信号。10u0r)()()()()()(1 )(001011trtKttuttKtcc0r)(t0u余下的任务综合u和 。辅助控制信号主控信号200)2(0110)()()()()

22、()()()(niincictrstKsNsNttrtKtu(11)4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，1974) 1974) 有了 ，便可由)(1t)()1 ()(11tKtc求得 ，可见实现u、 时，也不需要输出的导数信号 。)(t)(t, e 0)(limtt，再 0r有界，故由式(10)导出)()(1)()()(1)(111000ttKtKtrtKKtKcvc0lim0ctK，进而由式(11)、(10)、(4)得200)2(0110)()()()()()()()(niincictrstKsNsNttrtKtu)()()()()()(1 )(001011trtKttuttKtcc0)()()(lim, 0lim, 0)(lim11tetztKttctt4.4 4.4 增广误差信号设计法增广误差信号设计法(Monopoli(Monopoli，