数字信号处理Lecture-6

1、1 第三章第三章 Z Z变换变换 Chapter 3 The Z-Z-Transform 3.1 z z 变换变换 3.2 z z 反变换反变换 3.3 z z 变换的性质变换的性质电子信息工程教研室2本讲主要内容：本讲主要内容： 1 1 z z 变变 换的定义换的定义2 序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响电子信息工程教研室3 3.1 Z 变换变换Section 3.1 The Z-Transform一个序列x(n)的Z变换定义为 （3-1） Zx(n)X(z) (3-2)称为Z 变换算子。 nnznxzX)()(电子信息工程教研室43.1 Z 变换变换Z变换算子就是将序列x(n)转

2、换为函数X(z)，根据式(3-1)，只有当幂级数收敛时，X(z)才有意义。 )()(zXnx z电子信息工程教研室53.1 Z 变换变换任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域 （ROC，Region of Convergence）。式(3-1)中级数收敛的充要条件是 （3-3）Mznxnn)(电子信息工程教研室63.1 Z 变换变换X(z)在收敛域内是一个有理函数 （3-4）当X(z)=0，即P(z)=0的z称为X(z)的零点零点；当X(z)为无穷大，即Q(z)=0的z称为X(z)的极点极点， 零极点图，多重零极点的概念)()()(zQzPzX电子信

3、息工程教研室73.1.1有限长序列的有限长序列的Z变换变换 n有限长序列，是指在有限区间n1nn2内，序列具有非零的有限值，在此区间外，序列值都为零。 （3-5）若X(z)的每一项是有界的，级数就收敛，即|x(n)zn| ，n1nn2，若x(n)是有界的，即0|z n| ，n1nn2。21)()(nnnnznxzX电子信息工程教研室83.1.1有限长序列的有限长序列的Z变换变换在0|z| 上，z都满足此条件，即收敛域至少是在除了z=0及z 之外的开域(0,)内，即“有限z平面”。如图3-1中青色显示，“x”表示极点。在n1，n2的特殊选择下，ROC还可进一步扩大：(1) 0|z|，n10； (

4、2) 0|z|，n20电子信息工程教研室93.1.1有限长序列的有限长序列的Z变换变换图3-1 有限长序列及其收敛域图(n10；z0，z 除外)电子信息工程教研室103.1.2 右边序列的右边序列的Z Z变换变换n当nn1时，x(n)有非零值，在nn1时，x(n)0，即右边序列。 （3-6）有限长序列的Z Z变换的收敛域为“有限Z Z平面”；而z的负幂级数存在一个收敛半径Rx，级数在以坐标原点为中心，以Rx为半径的圆之外区域内任何一点均绝对收敛。01)()( )()(11nnnnnnnnznxznxznxzX电子信息工程教研室113.1.2 右边序列的右边序列的Z Z变换变换根据级数收敛的阿贝

5、尔（N. Abel）定理可推得：存在一个收敛半径Rx，级数在以坐标原点为中心，以Rx为半径的圆之外区域内任何一点均绝对收敛，即 Rx是收敛域的最小半径，X(z)的收敛域为ROC：Rx |z| ，如图3-2“灰色”所示。xRz | 电子信息工程教研室123.1.2 右边序列的右边序列的Z Z变换变换图3-2 右边序列及其收敛域(n10，z=除外)电子信息工程教研室133.1.3 因果序列的因果序列的Z Z变换变换n当n0时x(n)有非零值，n n2时，x(n)0，即左边序列。 （3-8）有限长序列的Z Z变换收敛域为有限z平面，而正幂级数，存在一收敛半径Rx+，级数在以坐标原点为中心，以Rx+为

6、半径的圆内任何点绝对收敛。 2210 )( )( )( )(nnnnnnnnznxznxznxzX电子信息工程教研室153.1.4 左边序列的左边序列的Z Z变换变换如果Rx+为收敛域的最大半径，那么，左边序列Z变换的收敛域为ROC：0|z| Rx+，如图3-3“灰色”所示。如果n20，那么，式(3-8)右端不存在第二项，这时，收敛域应包括z0，即|z|0)及其收敛域(z=0除外)电子信息工程教研室17 3.1.5 双边序列的双边序列的Z Z变换变换n当n为任意(正、负、零)值时，x(n)都有非零的值，即为双边序列，可将其看成一个右边序列和一个左边序列之和，即 （3-9）01)()( )()(

7、nnnnnnznxznxznxzX电子信息工程教研室183.1.5 双边序列的双边序列的Z Z变换变换双边序列的Z Z变换收敛域 ROC：Rx|z|Rx+，这是一个简单的环状区域，如图3-4所示。电子信息工程教研室193.1.5 双边序列的双边序列的Z Z变换变换图3-4 双边序列及其收敛域电子信息工程教研室20例题3-1n求序列x(n)(n)的Z Z变换X(z)及其ROC。n解解：这是n1n2=0时的有限长序列，且故收敛域应是整个闭平面，即 ROC：0|z| 。如图3-5。|0 ROC 1)()(zznnnn：；Z电子信息工程教研室21例题3-1图3-5 (n)的Z变换收敛域 电子信息工程教

8、研室22例题3-2n求左边指数序列x(n) a u(n1)的Z Z变换X(z)及其ROC。n解解：左边序列的Z变换X(z)为01111)(1)() 1()()(nnnnnnnnnnzazazaznuanxzXZ电子信息工程教研室23例题3-2这是一个无穷项的等比级数求和，为了使X(z)收敛，必须要求|z/a|1，即|z|a|，由此得到X(z)的闭合表达式 (3-10)ROC：|z|a|。X(z)在z=a处有一极点，收敛域ROC为极点所在圆|z|a|的内部，在收敛域内X(z)为解析函数，不能有极点，如所示图3-6。1111111111)(azazzzazazazX电子信息工程教研室24例题3-2

9、图3-6 x(n)a u(n1)的收敛域电子信息工程教研室25例题3-3n求右边指数序列x(n)=a u(n)的Z Z变换X(z)及其ROC。n解解：x(n)实际上为因果序列， Z Z变换X(z)为这也是一个无穷项的等比级数求和，为了使X(z)收敛，必须要求|az 1|1，由此得到X(z)闭合010)()()()(nnnnnnnnazzaznuanxzXZ电子信息工程教研室26例题3-3表达式 (3-11)由于 ，故在z=a处极点，ROC为极点所在圆|z|a|的外部，在收敛域内X(z)为解析函数，不能有极点，见图3-7。| ROC 11)()(101azazazzXnn：；azzaz111电子

10、信息工程教研室27例题3-3由于又是因果序列，所以z 处也属收敛域。若a=1时，x(n)为阶跃序列，其Z Z变换为：1| ROC 11)(1zzzX：；电子信息工程教研室28例题3-3图3-7 x(n)=au(n)的收敛域电子信息工程教研室29例题3-4n求x(n)=au(n) bu(n1)的Z Z变换X(z)及其ROC。n解：解：这是一个双边序列， 01)(nanbnxnn，电子信息工程教研室30例题3-4ROC: |a| |z| |b| 见图3-8。若令a = 1/3，b=1/2，则)()2(1111)()()(1101bzazbazzazzbzzazbzzazbznxzXnnnnnnnn

11、)2/1)(3/1()12/1()(zzzzzX电子信息工程教研室31例题3-4ROC是环形域1/3|z| 1/2，如图3-9所示。其中“”表示零点。图3-8 au(n)bu(n1)的收敛域电子信息工程教研室32例题3-4图3-9 a = 1/3，b=1/2时的双边序列与X(z)的收敛域和相应的零极点分布电子信息工程教研室33例题3-5n求有限长序列x(n)=aRN(n)的Z Z变换及其ROC。n解解：x(n)=aRN(n)的Z Z变换为azazzazazazznRanxzXNNNNNnnnnNn1110111)(1)()()()(Z电子信息工程教研室34例题3-5ROC由满足 的z值来决定。

12、 |a| 和 z0ROC除坐标原点外包括整个平面。设N=10，a为实数且位于0和1之间，这时的零极点见图3-10所示。即 zk=aej(2 k/N)，k=0，1，2，3，N1k=0时的零点，抵消了z=a的极点。 Nnnaz01|电子信息工程教研室35例题3-5图3-10 aRN(n)的Z变换收敛域(z0)和相应的零极点分布（注：N=10，0a1 3anu(n) |z|a| 4RN(n)|z|05 nu(n) |z|1 1111zzz111azazz1111) 1(1zzzzzNNN2112)1 () 1(zzzz电子信息工程教研室37几种序列的几种序列的Z Z变换变换6 nau(n) |z|a

13、| 7 u(n) |z|1 8sin(n0)u(n) |z|1 9cos(n0)u(n) |z|1 10eansin(n0)u(n)11eancos(n0)u(n)2112)1 ()(azazazaz0jne10011zeezzjnjn20101020cos21sin1cos2sinzzzzzz201010202cos21cos11cos2coszzzzzzz221010)cos(21)sin(zezezeaaaazeaz e221010)cos(21)cos(1zezezeaaa电子信息工程教研室38几种序列的几种序列的Z Z变换变换12rnsin(n0)u(n) |z|r| 13rcos(

14、n0)u(n) |z|r|14sin(n0+)u(n) |z|1 15(n+1)au(n) |z|a| 201010202cos21)sin(sin1cos2)sin(sinzzzzzzz221010)cos(21)sin(zrzrzr221010)cos(21)cos(1zrzrzr2122)1 (1)(azazz电子信息工程教研室39几种序列的几种序列的Z Z变换变换16|z|a|17|z|a|18u(n1) |z|1 19anu(n1) |z|a| 20nanu(n1) |z|a| )(! )() 2)(1(nuammn.nnn1111)1 (1)(mmmazazz)(! 2) 2)(1(nuannn3133)1 (1)(azazz2112)1 ()(azazazaz111azazz1111zzz电子信息工程教研室40# 3.2 Z Z 反变换反变换Section 3.2 InverseZ ZTransformn所谓Z反变换就是从给定的Z Z变换闭合表达式X(z)中还原出原序列x(n)。 x(n)Z 1X(z) (3-12)根据式(3-1)，可以看出，这实质上是求X(z)的幂级数展开式。主要方法：观察法，围线积分法， 部分分式法，幂级数展开法 电子信息工程教研室413.2.1 观察法观察法根据一些常用的变换对，可以直接写出其Z Z反变换形式，如在上节例