概率论与数理统计：第七章参数估计

1、7.1l点估计点估计现从该总体抽样，得到样本现从该总体抽样，得到样本X1,X2,Xn设总体设总体X的分布函数为的分布函数为 F(x; )，其中其中为未知参数为未知参数 (可以是向量可以是向量) . 从样本出发构造适当的统计量从样本出发构造适当的统计量),(1nXXTT作为参数作为参数 的的估计量估计量，即点估计。，即点估计。),(1nxxT将将x1,xn 代入估计量，得到代入估计量，得到的的估计值估计值 点估计方法点估计方法矩法矩法最大似然法最大似然法矩法矩法样本样本k阶原点矩阶原点矩nikikXnA11总体总体k阶原点矩阶原点矩)(kXE 基本思想是用样本矩代替总体矩基本思想是用样本矩代替总

2、体矩 .样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnM1)(1总体总体k阶中心矩阶中心矩kXEXE)( 矩法的步骤矩法的步骤(1) 计算总体计算总体X的的 r 阶原点矩阶原点矩E(Xr)， (r=1,2,k);(2) 用样本用样本r阶原点矩阶原点矩 替换总体替换总体r阶原点阶原点 矩矩,列出方程组：列出方程组： ,1)(.,1)(,1)(11221nikkniniiiiXnXEXnXEXnXE设总体设总体X中有中有k个未知参数个未知参数1, 2, k (3) 解方程组，得解方程组，得 r=hr(X1, X2, Xn) (r=1,2,k);则以则以hr(X1, X2, Xn)作为作为r的估计量，并

3、的估计量，并称称hr(X1, X2, Xn)为为r的的矩估计量矩估计量,而称而称hr(x1, x2, xn)为为r的的矩估计值矩估计值。 例例1. 设总体设总体X的分布律如下，其中的分布律如下，其中为为 未知参数未知参数,试求试求的矩估计量。的矩估计量。解：解：221232 (1)(1)XP22()12 2 (1)3 (1)32E X 11()32niiE XXXn32X 例例2. 设总体设总体XN(,2)，其中，其中,2是是 未知参数，试求未知参数，试求,2的矩估计量。的矩估计量。解：解：E(X)=, D(X)=2.niiniiXnXEXXnXE1222211)(1)(212211)(11S

4、nnXXnXnXniinii 例例3. 设总体设总体XE()，其中，其中0为未知参数为未知参数, 试求试求的矩估计量。的矩估计量。解：解：XXE1)(X1 例例4. 设总体设总体X的概率密度如下，其中的概率密度如下，其中0 为未知参数为未知参数,试求试求的矩估计量。的矩估计量。解：解：1( ; )e,2xf xx 1()ed02xE Xxx2222011()eded22xxE Xxxxx22112niiXn2112niiXn 当总体只含一个未知参数时，用方程当总体只含一个未知参数时，用方程 XXE)(即可解出未知参数的矩估计量；即可解出未知参数的矩估计量；当总体只含两个未知参数时，用方程当总体

5、只含两个未知参数时，用方程 组组 21)()(SnnXDXXE即可解出未知参数的矩估计量。即可解出未知参数的矩估计量。 最大似然法最大似然法设总体设总体X的分布律或概率密度为的分布律或概率密度为f(x; ), =(1, 2, k)是未知参数，是未知参数， X1,X2, ,Xn是来自总体是来自总体X的样本，则称的样本，则称X1,X2, ,Xn的联合分布律或概率密度函数的联合分布律或概率密度函数1121( )( ,.,; )(),niinniif xL x xxP Xx，当X是连续型当X是离散型为样本的为样本的似然函数似然函数，简记为，简记为L()。例例5.设总体设总体XB(m,p)，其中，其中m

6、已知，已知，p0为为 未知参数未知参数,试求样本的似然函数试求样本的似然函数L(p)。解：解：()(1)xxm xmP XxC pp11( )()(1)m xiiinnxximiiL pP XxC ppniixnmniiippCxnixm11)1 (1例例6.设设X1,X2,Xn为取自总体为取自总体XU(0, )的样的样 本本,其中其中未知未知,求似然函数求似然函数L(). 解：解：1,0,( )0,xf x其他11,0( )( )0,.niniixLf x其他 极大似然法的基本思想极大似然法的基本思想 先看一个简单例子：先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过 .是谁打中的呢？

7、是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一某位同学与一位猎人一起外出打猎起外出打猎 .如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下 . 下面我们再看一个例子下面我们再看一个例子,进一步体会极进一步体会极大似然法的基本思想大似然法的基本思想 . 你就会想，只发一枪便打中你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这看来这一枪是猎人射中的一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想然法的基本思想 . 例例5 设设XB

8、(1,p), p未知未知.设想我们事先知设想我们事先知道道p只有两种可能只有两种可能:问问:应如何估计应如何估计p?p=0.7 或或 p=0.3如今重复试验如今重复试验3次次,得结果得结果: 0 , 0, 0123,)(0,0,0)x x x（31230,0,0)(1)XXXpP(p值值 0.7 0.027 0.3 0.343 0.7p 1230,0,0)XXXP(例例7.设在一个箱子中装有若干个白色和黄色乒乓球，已设在一个箱子中装有若干个白色和黄色乒乓球，已 知两种球的数目之比为知两种球的数目之比为1:3，但不知是白球多还是黄，但不知是白球多还是黄 球多，现从中球多，现从中有放回有放回地任取

9、地任取3个球，发现有个球，发现有2个白个白 球，问白球所占的比例是多少？球，问白球所占的比例是多少？ 解：白球所占比例解：白球所占比例p=1/4或或3/4. X:任取任取3个球中白球的个数，个球中白球的个数，XB(3, p)1 (3)1 ()2(2223ppppCXP6427)2(,43649)2(,41XPpXPp时时所以所以白球所占的比例为白球所占的比例为3/4。最大似然法最大似然法 基本思想是基本思想是概率最大的事件最可能出现概率最大的事件最可能出现对一个给定的样本观测值，选取对一个给定的样本观测值，选取p使使得样本观测值出现的概率最大得样本观测值出现的概率最大对于固定的样本观测值对于固

10、定的样本观测值x1,x2,xn。如果有如果有使得,),.,(21nxxx)(sup)(),(max)(LLLL或，xxxn的最大似然估计值为则称),.,(21。XXXn为最大似然估计量而称),.,(21最大似然法最大似然法 求最大似然估计量的步骤：求最大似然估计量的步骤：(1) 写出似然函数写出似然函数(2) 对似然函数取对数对似然函数取对数niixfL1);(ln)(ln(3) 写出方程写出方程(组组)0lnL若方程若方程(组组)有解有解，求出求出L()的最大值点的最大值点 ),.,(21nxxx。XXXn的最大似然估计量即为于是),.,(2111( )( )(),niiniif xLP X

11、x，当X是连续型当X是离散型例例8.设随机变量设随机变量XB(1,p),其中其中p未知，试求未知，试求p 的最大似然估计量。如果的最大似然估计量。如果p表示某一批表示某一批 产品中的次品率，今从中随机抽取产品中的次品率，今从中随机抽取85 件，发现次品件，发现次品10件，试估计这批产品的件，试估计这批产品的 次品率。次品率。 解：解：1()(1)xxP Xxpp11( )()(1)nnnxiiiixiL pP Xxpp)1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii得令，dppLd0)(lnXp pxnpxdppLdniinii1)(ln11从中随机抽取从中随机抽取85件，发现次品件，发现

12、次品10件，那么件，那么111028517niixxn所以这批产品的次品率为所以这批产品的次品率为217p 例例9. 设总体设总体XN(,2)，其中，其中,2是是 未知参数。求未知参数。求,2的最大似然估计。的最大似然估计。解：解：2211( )exp() 22f xx21221( ,)( )11exp() 22niiniiLf xx niixnnL12222)(21ln2)2ln(2),(ln)(21exp)()2(122222niinnxniiniinxnLnxL122222120)()(212ln01lnniiniixxnxxn1221)(11niiSnnXXnX12221)(1例例10

13、.设设X1,X2,Xn为取自总体为取自总体XU0, 的样的样 本本,其中其中0未知未知,分别用矩法和最大似然分别用矩法和最大似然 法求法求的估计量的估计量. 解：解：1,0,( )0,xf x其他(1)矩法：矩法：XXE2)(X210)(lnL若令显然显然,该似然方程组无解该似然方程组无解.怎么办呢？怎么办呢？11,0( )( )0,.niniixLf x其他(2)最大似然法：最大似然法： 若似然方程无解，即似然函数没若似然方程无解，即似然函数没有驻点时，通常在边界点上达到有驻点时，通常在边界点上达到最大值，可由定义通过对边界点最大值，可由定义通过对边界点的分析直接推求。的分析直接推求。 对于

14、例对于例10，,max1inix只要取)(sup)(LL则的最大似然估计量为故., 0),.,2 , 1(0,1)(其他nixLininiX12max 例例11. 设总体设总体X的的概率密度为概率密度为其他, 010,) 1()(xxxf其中其中-1是未知参数，是未知参数， X1,X2, ,Xn是来自总体是来自总体X的样本的样本.分别求分别求的矩估的矩估计量和极大似然估计量。计量和极大似然估计量。解：解：(1) 矩估计矩估计21) 1()()(10dxxxdxxxfXEX21XX1121 (2) 最大似然估计最大似然估计11( )( ) (1) ()(01)nnniiiiiLf xxxniix

15、nL1ln) 1ln()(ln0)(lndLd令niixn1ln1niixn12ln17.2常用的几条标准是：常用的几条标准是：无偏性无偏性有效性有效性一致性一致性 l无偏性无偏性。XXXn的估计量是未知参数设),.,(21,)(E若),.,(21nXXX则称是是的的无偏估计量无偏估计量。,)(limEn若),.,(21nXXX则称是是的的渐近无偏估计量渐近无偏估计量. 例例1. 设设X1,X2, ,Xn是来自有有限数学期望是来自有有限数学期望 和方差和方差2的总体的总体。证明：。证明：.)(1) 3(;)(11)2(;1) 1 (212222122211的渐近无偏估计量是总体方差的无偏估计量

16、是总体方差的无偏估计量是总体均值niiniiniiXXnXXnSXnX证证:(1)niiniiXEnXEnXEE11)(1)(1)() (.的无偏估计量是X.2221的无偏估计量是S(2).222的渐近无偏估计量是(3)2221nSn222211()()nnEE Snn22221lim()lim()nnnEn 例例2. 设设X1,X2, Xn来自总体来自总体X，E(X)= , D(X)=2。证明下列统计量都是。证明下列统计量都是的的 无偏估计量。无偏估计量。.4341)3(;)2(;) 1 (213211XXXX l有效性有效性.),.,(),.,(212211的无偏估计量都是和设nnXXXX

17、XX),()(21DD若21比则称有效有效。 例例3. 例例2中中1 1, ,2 2, ,3 3哪个估计量更有效？哪个估计量更有效？解：解：;)(21D.85)(;1)(2322DnD可见当可见当n2时，时，D(2)D(3)00，有，有1)(pp，Pn时当.的一致估计量是pp例例5. 设设X1,X2, Xn来自总体来自总体X，且，且E(Xk)存在存在 但未知但未知。证明。证明.,.)2 , 1)(11的一致估计量是kXEXnkniki证：因为证：因为 X1,X2, Xn独立同分布独立同分布也独立同分布knkkXXX,.,21)()(kkiXEXE且由辛钦大数定律，得由辛钦大数定律，得11lim

18、 |()|1nkkiniPXE Xn.,.)2 , 1)(11的一致估计量是kXEXnkniki7.3 引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它它是用样本算得的一个值去估计未知参数是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大差范围，使用起来把握不大. 区间估计区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷正好弥补了点估计的这个缺陷 . 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼

19、数我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极的极大似然估计为大似然估计为1000条条. 若我们能给出一个区间若我们能给出一个区间 ，使得使得 . 这样对鱼数的估计就有把握多了这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000条条.,21 1N21P 一、一、 置信区间定义：置信区间定义：121P1112(,),nXXXL 2212(,)nXXXL)(21 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的的置信水平置信水平（置信

20、度、（置信度、置信概率）为置信概率）为 的置信区间的置信区间. ,21 121 和分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限. 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 ,21 内内.这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见，11 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出作区间估计，就是要设法找出两个统计量两个统计量) 22 )(21 (X1,Xn)(X1,Xn)121P满足满足2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间如要求区间12 长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.,21 1. 要求要求 以很大

21、的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 21 P内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.求置信区间的步骤求置信区间的步骤(1)构造与待估参数构造与待估参数 有关，只含有关，只含不含其不含其它未知参数且分布已知的样本函数它未知参数且分布已知的样本函数U；(2) 给定置信度给定置信度1-，得得常数常数a,b，使，使 PaUb= 1-；(3) 将将aUb变形，使得；变形，使得；),.,(),.,(212211nn

22、XXXXXX12 ( ,)1. 区间就是 的一个置信度为的置信区间(4) 结论结论N(0, 1)求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取解：解：二、置信区间的求法二、置信区间的求法,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u 1|2unXP使使 122unXunXP从中解得从中解得,22 unXunX也可简记为也可简记为2 unX 122unXunXP于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 (1-)1( 01-的置信度为1的置信区间为。),(2/2/

23、nXnX注：注：的1置性区间不唯一。),( ,)1 (nXnX都是的1置性区间.但=1/2时区间长最短. 这里，我们主要讨论总体分布为这里，我们主要讨论总体分布为正态正态的情形的情形. 若样本容量很大，即使总体分布若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计估计.一、单个总体一、单个总体 的情况的情况2( ,)N 2( ,),:XN 并设并设 为来自总体的为来自总体的 1,KnXX样本样本 ,2,X S分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差 .均值均值

24、的置信区间的置信区间1.12为已知为已知(0,1)XNn 可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为 1 22(,)XuXunn2()Xun 或或22为未知为未知 (1)Xt nSn 可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为 1 此分布不依赖于此分布不依赖于任何未知参数任何未知参数2(1)1XPtnSn 由由22(1),(1)SSXtnXtnnn2(1)SXtnn或或 例例1 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋 , 称得重量称得重量(以克计以克计)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 5

25、12 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值试求总体均值 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解这里这里10.95,20.025,115,n0.025(15)2.1315.t 1611503.75 ,16iixx 16211()6.2022 .15iisxx 2(1)sxtnn的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为 0.95于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为 0.95(500.4,507.1)方差方差 的置信区间的置信区间2

26、2.求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 2.1设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， 已知已知 ),(2N 12221( )niiXn22211222)( )( )1niiXPnn （确定分位数确定分位数221/ 2/ 2( ),( )nn使使221122/21/2),( )( )nniiiiXXnn（例例5. 5. 对飞机的飞行速度进行对飞机的飞行速度进行1515次独立试验，测次独立试验，测得飞机的最大飞行速度得飞机的最大飞行速度( (单位：单位：m/s)m/s)如下：如下：422.2 418.7 425.6 420.3 425.8 423.1 431.5 42

27、8.2438.3 434.0 411.3 417.2 413.5 441.3 423.0假设飞机最大飞行速度服从假设飞机最大飞行速度服从 求最求最大飞行速度的方差的置信度为大飞行速度的方差的置信度为0.90的置信区间。的置信区间。解：解：2的置信区间为的置信区间为( 41.407010, 142.549270 )( 41.407010, 142.549270 ).2(424.93,)N2220.05n222120.95ii=115,424.93,1 0.900.1,( )(15)24.996,( )(15)7.261,(x) =1035.013504 nnn 查表代入得nn22ii2i=1i=

28、122122(x)(x),( )( )nn的置信区间为222(1)(1)nSn 2221222(1)(1)(1)1nSP nn 由由可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 2求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 2.1设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， 未知未知 ),(2N 122222212(1)(1),(1)(1)nSnSnn 22122(1)(1)(1)1nSPnn 由由可得到标准差可得到标准差 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 2221211(,)(1)(1)nSnSnn 例例2 有一大批糖果有一大批糖果.

29、现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋 , 称得重量称得重量(以克计以克计)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差试求总体标准差 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解这里这里20.025,120.975,115,n20.025(15)27.488, 20.975(15)6.262. 16211()6.2022.15iisxx 于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区

30、间为0.952221211,(1)(1)nSnSnn 于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为0.95(4.58,9.60).二、两个总体二、两个总体 的情况的情况211(,),N 222(,)N 设已给定置信水平为设已给定置信水平为 , 并设并设 1 112,KnXXX是来自第一个总体的样本是来自第一个总体的样本 , 212,KnY YY是来自第二是来自第二个总体的样本个总体的样本 ,这两个样本相互独立这两个样本相互独立 .且设且设 分别分别,X Y为第一、二个总体的样本均值为第一、二个总体的样本均值 , 2212,SS为第一、二为第一、二个总体的样本方差个总体的

31、样本方差 . 两个总体均值差两个总体均值差 的置信区间的置信区间12 1.2212,（已已知知）22121212(,)XYN nn12221212()()(0,1)XYNnn 或或2212212XYunn于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 12 两个总体方差比两个总体方差比 的置信区间的置信区间22122.( 为未知为未知 )12, 22122122212(1,1)SSFnn221212122122212(1,1)(1,1)1SSP FnnFnn 由由2221112222212221212111(1,1)(1,1)SSPS FnnS Fnn 可得到可得到 的

32、的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为1 221222112222122121211(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn ， 例例4 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内生产的钢管的内径径 , 随机地抽取机器随机地抽取机器 A生产的钢管生产的钢管18只只 , 测得样本测得样本方差方差 随机地取机器随机地取机器 B 生产的钢管生产的钢管13只只 ,测得样本方差测得样本方差 设两样本相互设两样本相互独立独立 , 且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内径生产的钢管的内径分别服从正态分布分别服从正态分布 这里这里 (i =1,2) 均未知均未

33、知 .试求方差比试求方差比 的的置信水平为置信水平为 0.90 的置信区间的置信区间.2210.34();smm 2,ii 2220.29().smm 221122,N N 2212这里这里0.10,20.05,120.95,0.05(17,12)2.59,F 即即 (0.45 , 2.79) .22112218,0.34,13,0.29.nsns解解0.950.0511(17,12).(12,17)2.38FF故两总体方差比故两总体方差比 的的置信水平为置信水平为0.90 的置信区的置信区间间为为2212222111222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fn

34、n 7.4例例1.某茶厂自动包装茶叶，每包茶叶的重量服某茶厂自动包装茶叶，每包茶叶的重量服 从正态分布从正态分布N(100,1.152) ，某日开工后，随，某日开工后，随 机抽测了机抽测了9包，其重量为（单位：包，其重量为（单位：g）：）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5 假设每包茶叶重量的方差保持不变，问这天包假设每包茶叶重量的方差保持不变，问这天包 装机工作是否正常？装机工作是否正常？例例2.某卷烟厂生产甲、乙两种烟，分别对它们的尼某卷烟厂生产甲、乙两种烟，分别对它们的尼 古丁含量（毫克）作了古丁含量（毫克）作了6次测定，测定

35、结果为次测定，测定结果为甲：甲：25 28 23 26 29 22乙：乙：28 23 30 25 21 27 试问这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异试问这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异 （设两种烟的尼古丁含量服从正态分布，且方（设两种烟的尼古丁含量服从正态分布，且方 差相等）？差相等）？例例3.从某校从某校2004年年250名应届毕业生的高名应届毕业生的高 考成绩中随机抽取了考成绩中随机抽取了50个，问能否根个，问能否根 据这据这50个成绩判断该校在个成绩判断该校在2004年高考年高考 成绩是否服从正态分布？成绩是否服从正态分布？根据问题的题意提出假设，然后根据样本根据问题的题意提出假设，然

36、后根据样本的信息对假设进行检验，作出判断。的信息对假设进行检验，作出判断。H0:检验是否为真的假设称为检验是否为真的假设称为原假设原假设；H1:与与H0对立的假设称为对立的假设称为备择假设备择假设。原假设是关于总体参数的，则称之为原假设是关于总体参数的，则称之为参数参数假设假设;检验参数假设的问题，称为检验参数假设的问题，称为参数检验参数检验；原假设是关于总体分布类型的，则称之为原假设是关于总体分布类型的，则称之为分布假设分布假设；检验分布假设的问题，称之为检验分布假设的问题，称之为分布检验分布检验.假设检验的基本原理假设检验的基本原理“小概率小概率”原理原理：概率很小的事件在一：概率很小的事

37、件在一次实验中不可能发生。次实验中不可能发生。例例4.某厂提供的资料表明该厂的产品合格率为某厂提供的资料表明该厂的产品合格率为 p=99%，要检验厂方资料是否属实。，要检验厂方资料是否属实。提出提出H0:p=0.99构造小概率事件构造小概率事件A =“任意抽取一个任意抽取一个产品为不合格品产品为不合格品”任意抽取一个产品任意抽取一个产品若若A发生推翻推翻H0若若A没发生接受接受H0续例续例1. 检验这天包装机工作是否正常？检验这天包装机工作是否正常？解：解：H0: =100 H1: 100) 1 , 0(/0NnXU96. 1,05. 02/u|U|=0.0521.96, 拒绝拒绝H0。即该批

38、零即该批零件的平均长度与件的平均长度与 2.15有显著差异。有显著差异。502. 0)15. 2125. 2(16/0nXU 2未知时未知时的双侧置信区间的双侧置信区间) 1(ntnSXT1) 1(2ntnSXP1) 1() 1(22nSntXnSntXP即得即得的双侧置信区间的双侧置信区间nSntXnSntX) 1(,) 1(222未知时未知时的双侧假设检验的双侧假设检验检验假设检验假设H0:=0 0, H1:0 0) 1(/0ntnSXT) 1(2ntTP,),1(02HntT拒绝当否则否则,接受接受H0. l单正态总体方差的区间估计与假设检验单正态总体方差的区间估计与假设检验 未知时未知

39、时2的双侧置信区间的双侧置信区间) 1() 1(222nSnT1) 1() 1() 1(2222221nSnnP1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP即得即得2的双侧置信区间的双侧置信区间) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn未知时未知时2的双侧假设检验的双侧假设检验检验假设检验假设H0:2=02 , H1:202) 1() 1(2202nSnT2) 1(2) 1(22122nTPnTP,),1() 1(022122HnTnT拒绝或当否则否则,接受接受H0. 例例5.某炼铁厂铁水的含碳量某炼铁厂铁水的含碳量X，在正常情况下服从，在正常情况下服从

40、正态分布正态分布N(,0.1122)。现对操作工艺进行某些。现对操作工艺进行某些 改变，从中抽取了改变，从中抽取了7炉铁水的试样，测得含碳量炉铁水的试样，测得含碳量 数据如下：数据如下：4.421，4.052，4.357，4.394，4.326，4.287，4.683 (1)求新工艺炼出的铁水含碳量方差的双侧置信求新工艺炼出的铁水含碳量方差的双侧置信 区间区间;(2)是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量 的方差仍为的方差仍为0.1122？（？（ =0.05 ）解：解：(1) 未知时未知时2的双侧置信区间为的双侧置信区间为代入得查表,2373. 1) 1(,449

41、2.14) 1(05. 0,0351. 0,36. 4, 722/122/2nnSXn) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn1702. 0) 1() 1(,0146. 0) 1() 1(2212222nSnnSn2的双侧置信区间为的双侧置信区间为(0.0146, 0.1702).(2)H0:2=0.1122 , H1:20.1122T=16.78914.45, 拒绝拒绝H0。即不能认为新工即不能认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1122。) 1() 1(222nSnT7889.16) 1(202SnT2373. 1) 1(,4492.14

42、) 1(,05. 022/122/nn 已知时已知时2的双侧置信区间的双侧置信区间即得即得2的双侧置信区间的双侧置信区间)(221nXTnii1)()(2221221nXnPnii1)()()()(2211222212nXnXPniinii)()(,)()(221122212nXnXniinii)()(122120nXTnii2)(2)(22122nTPnTP,),()(022122HnTnT拒绝或当否则否则,接受接受H0.已已知时知时2的双侧假设检验的双侧假设检验检验假设检验假设H0:2=02 , H1:202 例例6.设维尼纶纤度在正常生产条件下服从正态分布设维尼纶纤度在正常生产条件下服从

43、正态分布 N(1.405,0.0482)，某日抽出，某日抽出5根纤维，测得其纤根纤维，测得其纤 度为：度为：1.32 1.36 1.55 1.44 1.40 (1)求这一天生产的维尼纶纤度方差的双侧置求这一天生产的维尼纶纤度方差的双侧置 信区间；信区间；(2)这一天生产的维尼纶的纤度的方这一天生产的维尼纶的纤度的方 差是否正常？（差是否正常？（ =0.10）解：解：(1) 已知时已知时2的双侧置信区间为的双侧置信区间为代入得查表,1455.21. 1)(,0703.11)(10. 0,0315. 0)(, 522/122/512nnXnii)()(,)()(221122212nXnXniini

44、i0275. 0)()(,0028. 0)()(221122212nXnXniinii2的双侧置信区间为的双侧置信区间为(0.0028, 0.0275).(2)H0:2=0.0482 , H1:20.0482T=13.6711.07, 拒绝拒绝H0。即即这一天生产的维这一天生产的维尼纶的纤度的方差尼纶的纤度的方差不不正常正常。1455. 1)(,0703.11)(,10. 022/122/nn)()(12212nXTnii67.13)(12120niiXT7.6 l双正态总体均值的区间估计与假设检验双正态总体均值的区间估计与假设检验 12、22已知时已知时1-2的双侧置信区间的双侧置信区间)

45、1 , 0()(222121NnmYX即得即得1-2的双侧置信区间的双侧置信区间nmuYXnmuYX2221222212, 12、22已知时已知时1-2的双侧假设检验的双侧假设检验) 1 , 0(2221NnmYXU检验假设检验假设H0: 1=2, H1: 1 2 2uUP,02HuU拒绝时当否则否则,接受接受H0.例例1. 已知已知A行业职工月工资行业职工月工资XN(1,1.52) (单位单位:千元千元) ; B 行业职工月工资行业职工月工资Y N(2,1.22) (单位单位: 千元千元).2005年在年在 某地区分行业调查职工平均工资情况，从总体某地区分行业调查职工平均工资情况，从总体X、

46、 Y中分别调查中分别调查25、30人人, 算得其平均月工资分别为算得其平均月工资分别为 4.8、4.2千元。千元。 (1)求这两行业职工月平均工资之差的双侧置信区求这两行业职工月平均工资之差的双侧置信区 间；间；(2)问这两行业职工月平均工资是否有显著差问这两行业职工月平均工资是否有显著差 异？异？( =0.05 )解：解：代入得查表,96. 1,05. 0, 2 . 4, 8 . 4,30,252uYXnm3281. 1,1281. 02221222212nmuYXnmuYX1-2的双侧置信区间为的双侧置信区间为(-0.1281, 1.3281).(1) 12、22已知时已知时1-2的双侧置信区间为的双侧置信区间为nmuYXnmuYX2221222212,(2) H0:1 1=2 2, H1:1 12 296. 1,05. 02/u|U|=1.6152 12=22未知时未知时1-2的单侧上限置信区间的单侧上限置信区间nSmSnmtYXww22)2(,),2(0HnmtT