复旦赵海滨 大学物理B 机械振动和电磁振荡-3

1、12022年4月9日星期六大学物理(下)10.5 10.5 一维谐振动的合成一维谐振动的合成20 00 00 0旋转矢量合成方法：旋转矢量合成方法： 2121xxxAAA20210120210101020212221coscossinsin)cos(2 AAAAtgAAAAA一一. 同方向同频率同方向同频率的简谐振动的合成的简谐振动的合成x1=A1cos( t+ 10)x2=A2cos( t+ 20)x=x1+x2=Acos( t+ 0)3xto2TT23T2T合成合成振动振动(1) (1) 若两分振动同相，即相位差若两分振动同相，即相位差00 212,0, 1, 2,kk 12AAA 2AA

2、1A00221212212cos()AAAA A x结论：同相迭加，合振幅最大结论：同相迭加，合振幅最大。合振动的振幅取决于两分振动的相位差合振动的振幅取决于两分振动的相位差。40022121221122cos()AAAA AAAto2TT23T2Tx2x1x合成合成振动振动（2 2）若两振动）若两振动反相，反相，即相位差：即相位差：2010(21) 0, 1, 2,kk 2A1AAx反相迭加，反相迭加，振幅相消，振幅相消，合振幅最小合振幅最小。当当A1=A2 时，合振幅时，合振幅A=0，质点一直静止不动质点一直静止不动5（3 3）一般情况）一般情况0021k1212|AAAAA 1A2AA结

3、论：两个振动的结论：两个振动的相位差相位差对合振动起着重要作用。对合振动起着重要作用。合成振动合成振动to2TT23T2Tx1A2AA6333222111coscoscostAxtAxtAxxyyxAAAAAtan22tAxcos332211coscoscosAAAAx332211sinsinsinAAAAy（4） 多个简谐振动的合成多个简谐振动的合成其中：其中：A1A2A3A1237求它们的合振动的振幅和初相；求它们的合振动的振幅和初相；并证明当并证明当 N N =2k=2k 时时的合振幅为零。的合振幅为零。 解解: :采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开采用旋转矢量法可使问题得到简化，

4、从而避开烦琐的三角函数运算。烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢个简谐振动对应的旋转矢量的合成如图所示：量的合成如图所示： 例例 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为初相分别为0, 0, , 2, 2, ., , ., 依次差一个恒量依次差一个恒量，振动表，振动表达式可写成达式可写成1cos,xat 2cos(),xat 3cos(2 ),xat cos(1) NxatN 8Ox1a2a3a4a5aC 因各个振动的振幅相同因各个振动的振幅相同且相位差依次恒为且相位差依次恒为 ，图中，图

5、中各个矢量的起点和终点都在各个矢量的起点和终点都在以以 C为圆心的圆周上，设半为圆心的圆周上，设半径为径为R R，根据简单的几何关系，根据简单的几何关系可得可得AMNOCM 在三角形在三角形DOCM中中, ,OM 的长度就是合振动的振幅的长度就是合振动的振幅, ,角度角度 就是合振动的初相，据此合振幅为：就是合振动的初相，据此合振幅为：MOX2sin2NAR 考虑到考虑到2sin2aR R9sinsin22NAa 0MOxCOxCOM 11()()2212NN 2sin,2NAR 2sin2aR Ox1a2a3a4a5aCAM0 202sin1coscossin2NNxAtat 合振动可表示为

6、：合振动可表示为：10若：若：2 0 1 2NkkkkN ,Ox1a2a3a4a5aCAM0 sinsin22NAa 如果各分振动的初相满足：如果各分振动的初相满足： ,.kk 2012即各分振动振幅矢量在同一条即各分振动振幅矢量在同一条线上，同相叠加，合振幅最大线上，同相叠加，合振幅最大A=Na。 各分振动矢量依次相接后构成闭合的正多边形，各分振动矢量依次相接后构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。合振动的振幅为零。11二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成 拍拍 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两

7、个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差位差与时间有关与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变合矢量的长度和角速度都将随时间变化化。考虑频率相近、振幅相等的两个振动的合成。考虑频率相近、振幅相等的两个振动的合成。设两个简谐振动的频率设两个简谐振动的频率 和和 很接近，且很接近，且1212110220cos(),cos()xAtxAt 两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得：212102cos()cos()22xAtt x = x1+ x212因因,21112或或,2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随在两个简谐振动的位移合成表达式中

8、，第一项随时间作缓慢变化时间作缓慢变化, , 第二项是角频率近于第二项是角频率近于 的简谐的简谐函数。合振动可视为是角频率为函数。合振动可视为是角频率为 、振幅为、振幅为 的简谐振动，即的简谐振动，即振幅作低频变化振幅作低频变化的简谐振动的简谐振动。1或或22)(21212cos2At 212102cos()cos()22xAtt 随随t 缓变，缓变，2122( )cosA tAt 212coscostt 随随t 变化比较快。变化比较快。2112213t1xt2xtx14 合振动忽强忽弱（振幅周期性变化）的现象称为合振动忽强忽弱（振幅周期性变化）的现象称为拍拍。合振幅变化的频率（即单位时间内振

9、动加强或减弱的次合振幅变化的频率（即单位时间内振动加强或减弱的次数）叫数）叫拍频拍频。由于振幅总是正值，振幅变化的频率是由。由于振幅总是正值，振幅变化的频率是由余弦函数绝对值余弦函数绝对值 的变化频率的变化频率来决定，即：来决定，即：21cos()2t 1x2xtox=, 212121211221()222TT 拍拍拍拍拍拍即拍频等于两分即拍频等于两分振动频率之差振动频率之差152022年4月9日星期六大学物理(下)15RLC交流交流电路电路LCR162022年4月9日星期六大学物理(下)16纯电阻电路纯电阻电路 0iuR电阻上的电压与电流同相位。电阻上的电压与电流同相位。由欧姆定律，可知电阻

10、等于电压与电流的比值。由欧姆定律，可知电阻等于电压与电流的比值。设电流的初相位为零：设电流的初相位为零：tUtRIRtitummcoscos)()(tItimcos)(RIUIUZmmR0RRiRuR交流电路中的电阻、电感、电容交流电路中的电阻、电感、电容172022年4月9日星期六大学物理(下)17LLitLuttItimcos)(若：dtdiLeL)2cos(sin)(tLItLItemmL纯电感电路纯电感电路 电感两端电压电感两端电压: :自感电动势自感电动势: :mmmmmLLIUtUtLItLIeu);2cos()2cos(sin182022年4月9日星期六大学物理(下)18感抗感抗

11、电压超前于电流电压超前于电流 /2IXLIULfLLXL22iuLLuLLi有效值关系有效值关系:f: 交流电频率交流电频率tItim cos)()2cos()( tLItum192022年4月9日星期六大学物理(下)19cutCcit电流超前于电压电流超前于电压 /2CuC纯电容电路纯电容电路CtquC)(tUtumccos)(若：)2cos()2cos()(tItCUdtdqtimmC则：mmCUICi其中其中2 iuc202022年4月9日星期六大学物理(下)20容容抗抗fCCXC211有效值关系有效值关系:f: 交流电频率交流电频率CXUCUI显然显然,对于直流电对于直流电f =0,容

12、抗无穷大容抗无穷大交流电路中的欧姆定律交流电路中的欧姆定律:IZU CXZLXZRZCCLLR1;212022年4月9日星期六大学物理(下)21设电路中电流为设电路中电流为:电阻上电压电阻上电压,总总电压电压:tItimcos)(RLCRLC串联电路串联电路RLuRuLuCuCitUtRIuRmmRcoscos电电感感上电压上电压,)2cos()2cos(tUtXIuLmLmL电电容容上电压上电压,)2cos()2cos(tUtXIuCmCmC)2cos()2cos(costUtUtUuuuuCmLmRmCLR222022年4月9日星期六大学物理(下)22RLC串联受迫振荡电路串联受迫振荡电路

13、RLC串联电路的矢量图解串联电路的矢量图解22)1(CLRIUZ总阻抗的模总阻抗的模RUILUUCUCLUU RXRXXUUUtgCLRCL电抗电抗2222)1()(CLRIUUUUCLR232022年4月9日星期六大学物理(下)10.6 10.6 二维谐振动的合成二维谐振动的合成24222222212122cos()sin ()010010 xyxyAAA A 11cos()0 xAt 22cos()0yAt 设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即同频率简谐振动，即消去消去t 得到轨道方程：得到轨道方程： 两相互垂直同频率简谐振

14、动的合成振动轨迹为两相互垂直同频率简谐振动的合成振动轨迹为一椭圆一椭圆(又称又称“椭圆振动椭圆振动”)。椭圆轨道不会超出以。椭圆轨道不会超出以2 2A1 1 ( x 向向)和和2 2A2 2 ( y 向向)为边的矩形为边的矩形范围。范围。一、相互垂直的同频率的简谐振动的合成一、相互垂直的同频率的简谐振动的合成 251cos()10 xAt 22cos()0yAt 2222212122cossinxyxyAAA A D D D D111coscossinsin00 x Att 222coscossinsin00y Att 212112coscossinsin()0000 xytAA 212112

15、sinsincossin()0000 xytAA 两式平方后再相加两式平方后再相加26y 方向的谐振动方向的谐振动x 方向的谐振动方向的谐振动椭圆轨迹的形状和运动方向取决于振幅和相位差椭圆轨迹的形状和运动方向取决于振幅和相位差 20- 10根据根据x和和y向振动在不同时刻的对向振动在不同时刻的对应点，可以做出合运动的轨迹应点，可以做出合运动的轨迹27几种特殊情况：几种特殊情况：(1) 20100, , 两个分振动同相位，得两个分振动同相位，得xAAy12即质点的轨迹是一条直线。任一时刻质即质点的轨迹是一条直线。任一时刻质点离开坐标原点（平衡位置）的位移为：点离开坐标原点（平衡位置）的位移为：c

16、os()sAAt 22120(2) 2010, 两个分运动反相位，那么两个分运动反相位，那么质点在另一条直线上质点在另一条直线上xAAy12所以合运动也是简谐振动所以合运动也是简谐振动也作同频率的简谐振动也作同频率的简谐振动222222212122cos()sin ()010010 xyxyAAA A xyxy28xy1222212AyAx是是x轴半轴长为轴半轴长为A1，y轴半轴长为轴半轴长为A2的的椭圆方程椭圆方程，质点的轨迹是顺时针，质点的轨迹是顺时针旋转。旋转。(3) 2010/2，得，得1222212AyAx与与33相同，只是质点轨迹沿逆时针旋转。相同，只是质点轨迹沿逆时针旋转。(4)

17、 2010/2，仍然得，仍然得xy当振幅相等且相位差为当振幅相等且相位差为/2时时，椭圆轨迹变为圆，椭圆轨迹变为圆29 相互垂直的同频率的简谐振动的合成相互垂直的同频率的简谐振动的合成 30李萨如图李萨如图111cos()xAt 222cos()yAt nm21李萨如图形李萨如图形测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法312022年4月9日星期六大学物理(下)10.6 10.6 振动的分解振动的分解 频谱频谱32振动的分解：振动的分解：傅里叶定理傅里叶定理：任何一个周期振动都可以看成是由各种频率不同：任何一个周期振动都可以看成是由各种频率不同的谐振动的合成。的谐振动的合成。即周期即周期 T=2 / 的周期振动，可以分解成由一系列简谐的周期振动，可以分解成由一系列简谐振动的叠加，即：振动的叠加，即：33012( )coscos2x taatat tbtb2sinsin212201( )TTax t dtT 2212( )cosTTax ttdtT 2212( )sinTTbx ttdtT 222( )cosTTnax tn tdtT 222( )sinTTnbx tn tdtT n= 1 基频（基频（ ） n= 2 二次谐频（二次谐频（2 ） n = 3 三次谐频（三次谐频（3 ）决定音调决定音调决定决定音色音色高次高次谐