高等数学9-2第二类曲线积分

1、期中考试时间期中考试时间:5月月5日日上午上午1010：00-1200-12：0000 一代、二换、三定限一代、二换、三定限代代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换换：换弧微元：换弧微元dtyxds22 定限定限：定积分限，下限：定积分限，下限小参数，上限小参数，上限大参数大参数三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算计算公式计算公式 ( (重点）重点） 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLL

2、syxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf首页首页例例5. 计算计算d ,LIxl其中其中L为双纽线为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为1:cos2(0)4La利用对称性 , 得14dLIx l42204cos( )( )d 402dcos4a222a22:cos2 ,Layoxxyo例6. 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求22xyCIedl2)24(aeaa4xy 0yar 解解: 分段积分0daxex2240(si

3、n )( cos ) daeaa222201 1 daxxexABI 22xyOAedl22xyOBedl22xyedlAB0daxex40daae2202daxexd d s例7. 计算计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(2092d2Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则18习习1 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222

4、故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa四、几何与四、几何与物理意义物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz ,)4(轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对yx.,22LyLxdsxIdsyI曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 例例1. 椭圆柱面椭圆柱面22159xy被平面

5、被平面 所截，所截，0zzy和求截得部分求截得部分 的侧面积的侧面积.(0)z 解xyz35所求椭圆柱面的准线是xoy面上的半个椭圆22:1(0).59xyLy对L作分割，取微元,dldl则相应小柱面的侧面积近似等于dl z,因此侧面积LAzdlLydl积分曲线L的参数方程为5cos,3sinxtyt0t 于是LAydl2203sin5sin9costttdt2203sin5sin9cosAtttdt20354cos(cos )tdt 121354u du 120654u du12205354ln(254)2uuuu159ln54xyz35dl例例2. 2. L L为球面为球面2222Rzyx

6、面的交线面的交线 , , 求其形心求其形心 . . 在第一卦限与三个坐标在第一卦限与三个坐标解解: 如图所示 , 交线长度为RozyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由对称性 , 形心坐标为321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl204cosd3RRR34R例3. 计算半径为计算半径为 R ,中心角为中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则 )(sincos:Ry

7、RxL例4. 有一半圆弧有一半圆弧cosRx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4五、小结五、小结1.1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用思考题思考题?对对弧长的曲线积分弧长的曲线积分与与重积分重积分进行比较：进行比较：DDadadyx4222

8、)(32222)(adsadsyxLL222222:,:ayxLayxD这里，这里，相同点：相同点：1。物理意义都。物理意义都是是表示质量（表示质量（当被积函数是密度函数当被积函数是密度函数）2。化成定积分后的积分下限都小于积分上限。化成定积分后的积分下限都小于积分上限不同点：不同点：重积分：不能代入，如重积分：不能代入，如曲线积分：可以代入，如曲线积分：可以代入，如一一. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线C移动到点 B, ABCxy求移cosABFW “分割” “近似求和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力

9、所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 &2&2、第二型曲线积分、第二型曲线积分( (对坐标曲线积分）对坐标曲线积分）oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy ,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 分割：分割：.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取

10、取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyx

11、xxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光

12、滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(

13、LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),( 定积分是第二类曲线积分（对坐标）的特例,但不是第一类曲线积分（对弧长）的特例.对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的

14、起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则.,)()()(:)3( 终点终点起点起点

15、推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例3. 计算计算,dCxyx其中C为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOCxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxCd)(d2112OBAOC:xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yyxC54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计

16、算计算其中 L 为,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.例例5).1 , 1(),0 ,

17、 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x, 10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)

18、22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10, 0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 为为处的

19、切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） 四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，其中其中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上的投影上的投影在向量在向量为向量为向量tAAt处

20、的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx 二者夹角为 例6. 设设,max22QPM曲线段 L 的长度为s, 证明),(, ),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7.将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddco

21、s,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(第二型曲线积分必须注意积分曲线弧段的方向积分曲线弧段的方向!内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算计算