八年级数学上册第一章勾股定理2一定是直角三角形吗培优专题：直角三角形的判定素材(新版)北

1、培优专题：直角三角形的判定勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”.数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理， 另一个就是勾股定理.”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”.勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关 系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决. 因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的 重要内容.例 1 在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高

2、出水面 过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为多少?练习 11.已知：如图 2-1 , AD=4, CD=3, / ADC=90 , AB=13,/ ACB=90，求图形中阴影部分的面积.2 .已知：长方形 ABCD AB/ CD AD/ BC AB=2, AD DC 长方形 ABCD 勺面积为 S,沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长.3 若线段 a、b、c 能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）A. 1 : 2： 4 B . 1： 3: 5 C . 3： 4: 7 D . 5: 12： 133 尺.突然一阵大风吹6 尺，请问水深

3、2例 2 如图 2-2，把一张长方形纸片 ABCD 折叠起来，使其对角顶点A C重合，若其长 BC为 a,宽 AB 为 b,则折叠后不重合部分的面积是多少?2-2练习 21.如图 2-4，一架长 2.5m 的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B 离墙脚 0 的距离是 0.7m，当梯子的顶部 A 向下滑 0.4m 到 A时，梯子的底部向外移动多少米?2 .如图，长方形 ABCD 中, AB=3 BC=4 若将该矩形折叠，使C 点与 A 点重合，则折叠后痕迹 EF 的长为（）A. 3.74 B . 3.75 C . 3.76 D . 3.77R FC例 3 试判断，三边长分别为2n2+2n, 2n +1

4、, 2n2+2n+1 （n 为正整数）的三角形是否是直角三角形？分析 先确定最大边，再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形.练习 31.若 ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则厶 ABC 是（）2-43A 等腰三角形B直角三角形C 锐角三角形D钝角三角形12 .如图 2-6，在正方形 ABCD 中, F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC=_ BC,猜想 AF 与4EF 的位置关系，并说明理由.2-63.AABC 中的三边分别是 mi-1 , 2m, rfi+1 (m1),那么( )A . ABC 是直角三角形，且斜边长为m+1.

5、B . ABC 是直角三角形，且斜边长为2mC . ABC 是直角三角形，但斜边长由m 的大小而定.D . ABC 不是直角三角形.例 4 已知：如图 2-7 所示， ABC 中，D 是 AB 的中点，若 AC=12,BC=5, CD=6 5.求证： ABC 是直角三角形.分析 欲证 ABC 是直角三角形，在已知两边 AC BC 的情况下 求边 AB的长，比较困难；但注意到CD 是边 AB 的中线，我们延长 CD到 E,使 DE=CD从而有 BDEAADC 这样 AC BC 2CD就作为 BCE 的三边，再用勾股定理的逆定理去判定.练习 41 .已知 a、b、cABC 的三边，且满足 a2c2

6、-b2c2=a2-b2,试判断 ABC 的形状.先阅读下列解题过程：解:va2c2-b2c2=a4-b4,E2-74/c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2). c2=a2+b2.5ABC 为直角三角形. 问：（1）上述推理过程，出现错误的- -步是 _ ；（2）本题的正确结论是_ .2 .如图， ABC 的三边分别为 AC=5 BC=12, AB=13,将厶 ABC 沿 AD 折叠，使 AC 落在 AB 上,求折痕 AD 的长.3.如图， ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是厶 ABC 内一点，满足 PA=3, PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数.例 5 如图

7、 2-10 , ABC 中，AB=AC=20 BC=32 D 是 BC 上一点，且 ADLAC 求 BD 的 长.分析 若作 AELBC 于 E,如图 2-11 ,利用勾股定理可求出 AE=12, AD 是 Rt ADC 的直 角边. AD=CDAC,若设 DE=x 借助于 AD 这个“桥”可以列出方程.解：作 AELBC 于 E./ AB=AC AELBC11 BE=EA BC=X32=16.22在 Rt AEC 中，2 22 2 2AE =AC-CE=20-16 =144, AE=12设 DE=x则在 Rt ADE 中，AD=AE+DE=144+x2,在 Rt ACD 中，AD=CD-AC

8、2= ( 16+x)2-202.222144+x = ( 16+x) -20 解得 x=9.6 BD=BEDE=16-9=7 .练习 51 .如图 2-12 , ABC 中，/ C=90 , M 是 BC 的中点，MDLAB 于 D.求证：AD=AC+BE12.如图，AB 丄 AD AB=3, BC=12, CD=13 AD=4 求四边形 ABCD 的面积.3.如图.长方体的高为 3cm,底面是正方形，边长为 2cm,现有绳子从 A 出发，沿长方形表 面到达C 处，问绳子最短是多少厘米？参考答案：练习 11. 24 （提示：利用勾股定理即可求出）B73. D练习 21 . 0.8m 2 . B

9、练习 31 . Baa2. AF 丄 EF (提示：连结 AE,设正方形的边长为 a,贝 U DF=FC,EC，在 Rt ADF 中,24由勾股定理得：AF2=AD+DF=a2+ ( - )2=- a2.24同理：在 Rt ECF 中，EF= ( -)2+ ( - )2= a2,2416在 Rt ABE 中，BE=-a，则 A=a2+ a225a2.416165252252 一 a + a = a ,41616AF2+EF=AE2.2.长方形的对称轴有 2 条，要分别讨论:(1)以A B为对称点(如图)/ S=AB BC AB=2S BC=AD .21根据对称性得 DF= AB=1.2由于/

10、D=90，据勾股定理得：AF=ADF：21冷 E(2)以AD 为对称点(如图)BF=!BC=：.24由/ B=90，据勾股定理得:AF=、AB2BF2=口8/ AFE=90 . AF 丄 EF.93.A (点拨：利用勾股定理的逆定理来判定)练习 41 .( 1 、(2)AABC 为直角三角形或等腰三角形.2.VAC2+B(C=52+122=132=AB,/C=90 .将厶 ABC 沿 AD 折叠，使 AC 落在 AB 上，C 的对称点 为E (如图) CD=DE AC=AE=5 .则厶 ACD AED又 BE=AB-AE=8设 CD 为 x，则X2+82=(12-x )2.10解之得X=一 .32 2/ 10、2 AD=5 + ()3ADU.33 .过点 C 作 CEL CP 并截 CE=CP=2 连结 PE, BE (如图)/ ACBdPCE=90,/ACB/PCBMPCE-/PCB即/ ACPdBCEPCAAECB( SAS. BE=AP=3在 Rt PCE 中，2 2 _ 2PE =PC+CE=8.又 Bh=1, BW=9,2 2 2 BE=BP+PE. PBE 是直角三角形，其中/ BPE=9010在 Rt PCE 中，PC=CE /CPEdCEP=45.11/ BPCd CPEk BPE=45 +90 =135练习 51 .连结 AMM 为 CB