空间解析几何-第5章 正交变换与仿射变换

1、第5章 正交变换和放射变换 1 变换变换 2 平面的正交变换平面的正交变换 3 平面的仿射变换平面的仿射变换 4二次曲线的度量分类与仿射分类二次曲线的度量分类与仿射分类 5 空间的正交变换与仿射变换空间的正交变换与仿射变换 1 映射与变换映射与变换 定义定义1.1 设设S与与S是两个集合是两个集合,对对S中任一元素中任一元素a,按某一法按某一法则在则在S中有唯一的元素中有唯一的元素a与之对应与之对应,我们称此法则我们称此法则(即对应关即对应关系系)为为S到到S的一个的一个映射映射。记作。记作 :SS, a a. 或者记作或者记作:a=(a),aS。a称为称为a在映射在映射下的下的象象,a称为称

2、为a在在下的一个下的一个原象原象。 集合集合S到到S的两个映射的两个映射和和称为称为相等相等,如果对于任意如果对于任意aS,都有都有(a)=(a)。 集合集合S到自身的一个映射叫做到自身的一个映射叫做S的一个的一个变换变换。例例1 设设S是全体自然数集是全体自然数集,S=n|nS,则则 (n)=2n,nS，是，是S到到S中的一个映射。中的一个映射。 (n)=4n,nS，也是，也是S到到S中的一个映射。中的一个映射。例例2 设设S是无数个点的集合是无数个点的集合,A是是S的子集的子集,S=0，1。则定义为则定义为 的法则的法则是是S到到S上的一个映射。上的一个映射。例例3 设设 = ,法则法则

3、定义为定义为 , ,则则 是是 到自身到自身的一个变换的一个变换,此映射此映射称为称为恒等变换恒等变换。 01a Aa Aa aaaSSSIIS例例4 平面上的平移平面上的平移 设设S是平面上所有点的集合是平面上所有点的集合,取定一个直取定一个直角坐标系角坐标系,给定一个向量给定一个向量 =( )。令点。令点P(x,y)与与P(x,y)的的对应关系为对应关系为 则有则有 (1.1) 这是这是S到自身的一个变换到自身的一个变换,称为由称为由 决定的决定的平移平移。公式。公式(1.1)称为平面上的称为平面上的点的平移公式点的平移公式。 注注：在形式上平移公式与点的：在形式上平移公式与点的 坐标变换

4、中的移轴公式类似坐标变换中的移轴公式类似, 但是含意却完全不同但是含意却完全不同:点的平点的平 移公式中移公式中,(x,y)和和(x,y)是不同是不同 的两个点在同一坐标系中的坐标的两个点在同一坐标系中的坐标;而移轴公式中而移轴公式中,(x,y)和和(x,y)是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。 yxbyax oxyvvvPPv ba,PP例例5 平面上的旋转平面上的旋转 S是平面上所有点的集合是平面上所有点的集合,在平面上取定在平面上取定一个直角坐标系一个直角坐标系O; ,令点令点P(x,y)和和P(x,y)的对应的对应关系关系为为 (1.2) 其中，

5、其中，是一确定的实数是一确定的实数, 则则是是S上的一个变换上的一个变换,称称 为平面绕原点的为平面绕原点的旋转旋转,转角为转角为。 (1.2)称为平面上转角为称为平面上转角为的的旋转公式旋转公式。12,e e yxyx cossinsincosxoy PP 例例6 平面上的反射平面上的反射。设。设l 是平面上一条定直线是平面上一条定直线,平面上任平面上任一一点点P关于关于l 的对称点为的对称点为 P。这种从。这种从P点到点到P点的映射点的映射,称为平称为平面上以面上以 l 为轴的为轴的反射反射。若取。若取 l 为为x轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系,设设P(x,y),P(x,y),则

6、此反射表示为则此反射表示为 (1.3) 设设:SS,我们用我们用(S)表示表示S中的点在中的点在下的象的全体下的象的全体,显然有显然有 。 当当(S)=S时时,则称则称是是满射满射或或到上的到上的。如果在映射。如果在映射下下,S中不同元素的象也不同中不同元素的象也不同,则称则称是是单射单射(或或11的的)。既是。既是单射又单射又是满射的映射称为是满射的映射称为双射双射(或或11对应对应）。）。 yxyx1001 SS xyoPP 定义定义1.2 设映射设映射 :SS, :SS,则定义则定义乘积映射乘积映射为为 对于对于S到到S的双射的双射,我们可以定义它的我们可以定义它的逆映射逆映射 ： 若若

7、(a)=aS,aS,则定义则定义 ,显然显然, 易证易证,11对应的逆映射也是对应的逆映射也是11对应对应,11对应的乘积对应的乘积 也是也是11对应对应,映射的乘法满足结合律。映射的乘法满足结合律。 定义定义1.3 设设:SS是一变换是一变换,若对若对aS,满足满足(a)=a,则称则称a是是的的不动点不动点,aS|(a)=a称为称为的的不动点集不动点集。1 2 21:,SS 2121aa Sa ,1 aa )(1 .;11SSISSIss 平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动平面上的运动(即刚体运即刚体运动动),它是平面到自身上的它是平面到自身上的11变换。变

8、换。 例例7 设设是平面上由是平面上由 =(a,b)决定的平移决定的平移,是平面上的是平面上的转角为转角为的绕原点的旋转的绕原点的旋转,:P(x,y) P(x,y) P(x,y),则则的公式为：，的公式为：， 则则的公式为：由的公式为：由 此可见此可见。v byaxyxyx cossinsincoscossinsincos cossinsincoscossinsincosbabayx :,P x yPxyPxy1001xxabyy 10cossin01sincosxayb cossinsincosxayb 平面上点变成点的变换也叫平面上点变成点的变换也叫点变换点变换。一个线性点变换一个线性点变

9、换 当它的变换矩阵当它的变换矩阵 的行列式的行列式|A|0时时,称为称为满秩线满秩线性点变换性点变换或或非退化线性点变换非退化线性点变换。往后将看到。往后将看到,正交变换和仿射正交变换和仿射变换在代数上均表现为非退化的线性变换。变换在代数上均表现为非退化的线性变换。 定义定义1.4 设设G=:SS|是是S上的变换上的变换,如果如果G满足：满足：(1) 恒等变换恒等变换IG;(2) 若若 则则(3) 若若G,则它的逆变换则它的逆变换 。则称则称G为为S的一个的一个变换群变换群。 ,22122111 bayxaaaayx 22122111aaaaA,21GG ;21G .1G 2 平面的正交变换平

10、面的正交变换 1.平面的正交变换平面的正交变换 在在1中我们介绍了平面上的三种点变换中我们介绍了平面上的三种点变换:平移、旋转和反平移、旋转和反射。它们有一个共同的特点射。它们有一个共同的特点:保持点之间的距离不变。保持点之间的距离不变。 定义定义2.1 平面上的一个点变换平面上的一个点变换,如果保持点之间的距离不如果保持点之间的距离不变变,则称它是则称它是正交正交(点点)变换变换(或或等距变换等距变换)。 平面上的运动与反射都是正交变换。平面上的运动与反射都是正交变换。 从定义立即得到性质从定义立即得到性质1和性质和性质2。 性质性质1 恒等变换是正交变换恒等变换是正交变换。 性质性质2 正

11、交变换的乘积是正交变换正交变换的乘积是正交变换。 性质性质3 正交变换是双射正交变换是双射。证明证明 设设是正交变换是正交变换,把不同的两点把不同的两点P,Q分别变为分别变为P和和Q。由于由于P,Q不相同不相同,所以所以 ,根据根据保持距离不变保持距离不变,应有应有 , 因此，因此，P,Q也是不同的两点也是不同的两点,即即为单射。为单射。 下证下证是满射。即对平面上任何一点是满射。即对平面上任何一点P,都存在都存在P，使，使(P)=P。为此。为此,在平面上任取不共线的三点在平面上任取不共线的三点 (i=1,2,3),设设( )= (i=1,2,3)。由。由是单射并保持距离不变是单射并保持距离不

12、变,易知易知 构成构成一个三角形一个三角形,且且 假定假定P到到 的距离为的距离为 ,那么必存在一点那么必存在一点P,它到它到 的距离也的距离也是是 。设。设(P)=P,则则P到到 的距离也是的距离也是 ,因此因此P与与P重重合合,即即(P)=P。 由性质由性质3知道知道,正交变换的逆变换存在正交变换的逆变换存在,且逆变换也是正交变且逆变换也是正交变换。因此换。因此,由以上三个性质知道由以上三个性质知道平面上全体正交点变换构成平平面上全体正交点变换构成平面上的一个变换群面上的一个变换群,称为称为正交变换群正交变换群。0 PQ0| PQQPiPiPiPiP321PPP321PPPiPidiPid

13、iPid 性质性质4 正交变换把直线变到直线正交变换把直线变到直线,并保持共线三点并保持共线三点P,Q,R的的 简单比简单比 不变不变。其中。其中PR，RQ表示有向线段表示有向线段 的有向长度的有向长度(或代数长或代数长),即若在直线即若在直线PQ上取一单位向量上取一单位向量e ,则则 证明证明 设设P,Q是直线上不同的两点是直线上不同的两点,那么它们的象那么它们的象P,Q也不也不相同相同,于是决定一条直线于是决定一条直线l。对于直线。对于直线l上任一点上任一点R,若若 P,Q,R按此顺序共线按此顺序共线,则则 |PQ|+|QR|=|PR|. 由正交变换的定义由正交变换的定义,R的象的象R与与

14、P,Q有关系有关系 |PQ|+|QR|=|PR|. 因此因此R与与P，Q共线共线,即即R在在l上上. 由以上两式看出由以上两式看出,正交变换保持直线上点的顺序不变正交变换保持直线上点的顺序不变,将有将有向线段变成有向线段。即若向线段变成有向线段。即若 同向或反向时同向或反向时,则则 也同向或反向。由此得也同向或反向。由此得 RQPRRQP ,RQPR, ,.PRPR e RQRQe RQPR,QRRP ,RQPQRRPRQPRRQP 性质性质5 正交变换将平行直线变为平行直线，并保持相交直正交变换将平行直线变为平行直线，并保持相交直线的交角不变线的交角不变。 请读者自证请读者自证. 在平面上，

15、对任一向量在平面上，对任一向量 ,以点以点O为原点，作为原点，作 。 设正交变换设正交变换把把O，A分别变到分别变到O, 令令 ，则向量，则向量 只依赖于只依赖于 而与而与O点的选取无关，原因是点的选取无关，原因是保持平行性和保持平行性和保持距离不变。这一事实说明，保持距离不变。这一事实说明，诱导出平面上向量的一个诱导出平面上向量的一个变换，使变换，使 变到变到 ,这个变换仍记为这个变换仍记为，称为，称为正交向量变正交向量变换换。设。设 与与 是任意两个向量是任意两个向量, 。显然。显然 即即保持向量的内积不变。根据保持向量的内积不变。根据保持共线保持共线三点的简单比三点的简单比,我们可从我们

16、可从 推出推出 .又若又若 ,并且并且 ,由于由于把一个三角形变成一个与之全等的三把一个三角形变成一个与之全等的三角形角形,又可得到又可得到 。简短地说。简短地说,正交变换保持向量正交变换保持向量的线性关系的线性关系 不变。于是有不变。于是有aOAa ,AaO A aaaaab ,aabb,a ba bab ab cc cabcabcab 性质性质6 正交变换保持向量的内积不变正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关保持向量的线性关系不变。系不变。 2.正交变换的坐标表示和基本定理正交变换的坐标表示和基本定理 取平面直角坐标系取平面直角坐标系 ,设正交变换设正交变换将点将点P(x,y)变换

17、变换到到P(x,y),则则 下面来求下面来求x,y与与x,y之间的关系。之间的关系。 根据性质根据性质6可知可知把直角坐标系把直角坐标系 变到直角坐标变到直角坐标系系 ,并且并且 ,即即P在直角坐标系在直角坐标系 下的坐标与下的坐标与P在直角坐标系在直角坐标系 下的坐标下的坐标一一致。致。 12;,O ee12OPxeye 12,OPx ey e 12;,O e e 12;,O e e12O Pxeye 12;,O ee 12;,O e e设设因为因为 是直角坐标系是直角坐标系 , 所以过渡矩阵所以过渡矩阵 是正是正交矩阵。交矩阵。于是得出正交变换的坐标表示于是得出正交变换的坐标表示 (2.2

18、) 其中其中,A=( )是正交矩阵。是正交矩阵。111 1212212 1222,.ea ea e ea ea e12,OOaebe 12;,O e e 22122111aaaaA 121212111212121222111212122212,OPOOO Paebexeyeaebex a ea ey a ea ea xaya ea xayb ex ey e ,22211211byaxayayaxaxija用矩阵形式表示，则（用矩阵形式表示，则（22）可写成）可写成 设设 由性质由性质6得得我们容易得到我们容易得到 之间的关系之间的关系 （24）考虑正交矩阵考虑正交矩阵A的条件：的条件： .22

19、122111 bayxaaaayx 1212,.aa aueve auev e 12.auev e.22122111 vuaaaavuvuvu,与与. 0, 1, 122211211222212221211 aaaaaaaa我们可设我们可设将他们代入条件中的第三式得将他们代入条件中的第三式得因此因此,即即,cos,sin,sin,cos22122111 aaaa sincossinsincos0,cos,sin,2212 aak,cossinsincoscossinsincos AA或或即即(23)可写成可写成 (2.5)或或 (2.6)(2.5)表示平面上的运动表示平面上的运动,(2.6)表

20、示平面上的反射表示平面上的反射的乘积的乘积.由此得到由此得到,cossinsincos bayxyx .cossinsincos bayxyx bayxyxyxyxcossinsincos1001 与运动与运动 定理定理2.1(正交变换第一基本定理正交变换第一基本定理)正交变换或者是运动正交变换或者是运动,或或 者是一个反射与一运动的乘积。有时前者称为者是一个反射与一运动的乘积。有时前者称为第一类正交第一类正交 变换变换,后者称为后者称为第二类正交变换第二类正交变换。 定理定理2.2(正交变换第二基本定理正交变换第二基本定理) 正交变换把直角坐标正交变换把直角坐标 系变到新的直角坐标系系变到新

21、的直角坐标系,并使每一点并使每一点P在原系下的坐标与它的在原系下的坐标与它的象象P关于新系下的坐标相同。反之关于新系下的坐标相同。反之,具有这种性质具有这种性质的变换是的变换是正交变换正交变换。 3 平面的仿射变换平面的仿射变换 比正交变换较为广泛的一种点变换就是本节将要讨论的比正交变换较为广泛的一种点变换就是本节将要讨论的仿射变换。在这里为了简单起见仿射变换。在这里为了简单起见,不同于前节用几何特征来定不同于前节用几何特征来定义正交变换义正交变换,我们直接用变换公式给出仿射变换的定义，并用我们直接用变换公式给出仿射变换的定义，并用这公式研究仿射变换的一些性质。这公式研究仿射变换的一些性质。

22、1. 仿射变换的定义和例子仿射变换的定义和例子 定义定义3.1 平面的一个点变换平面的一个点变换，如果它在一个仿射坐标系，如果它在一个仿射坐标系中的公式为中的公式为 (3.1)其中系数矩阵其中系数矩阵A= 是可逆的是可逆的,即即|A|0，则称，则称是是平面的仿平面的仿射射(点点)变换变换。 此定义与仿射坐标系的选取无关。此定义与仿射坐标系的选取无关。,22122111 bayxaaaayx ija 例例3.12中用公式中用公式(2.5),(2.6)确定的正交变换是仿射变换。确定的正交变换是仿射变换。 例例3.2 伸长或压缩伸长或压缩(简称简称伸缩伸缩) 是仿射变换。是仿射变换。x轴上的每一点是

23、它的不动点轴上的每一点是它的不动点,平行于平行于y轴的轴的直线都是它的不动直线直线都是它的不动直线(不动直线上的点不一定是不动点不动直线上的点不一定是不动点);它它是平行于是平行于y轴方向的伸长轴方向的伸长(k1)或压缩或压缩(k0,则称则称是是第一类第一类的的;若若|A|0,则称则称是是第二类第二类的。的。 .11AHAHAHH AHH1 定理定理3.4 平面上的任何一个仿射变换可分解为一平面上的任何一个仿射变换可分解为一个正交变换与一个沿两个互相垂直方向伸缩的乘个正交变换与一个沿两个互相垂直方向伸缩的乘积。积。 证明证明 任取一直角坐标系任取一直角坐标系,由由(3.1)给出的仿射变换给出的

24、仿射变换把单位圆把单位圆 变为一个椭圆变为一个椭圆(图图5.3),设它设它的中心为的中心为O,而而 是两条互相垂直的对称是两条互相垂直的对称轴轴(或主轴或主轴),记向量记向量 将它们单位化将它们单位化00BBAA与与122 yx12,fO AfO B111222/,/.effeff 我们有仿射坐标系我们有仿射坐标系 与直角坐标系与直角坐标系 。又设在又设在下下, 的原象为的原象为 ,即即 ,由于椭圆的两条对称轴是互相共由于椭圆的两条对称轴是互相共轭的轭的,即每一条对称轴的平行弦中点轨迹沿着另一条即每一条对称轴的平行弦中点轨迹沿着另一条的方向的方向,而仿射变换而仿射变换保持共轭性不变保持共轭性不

25、变(参见下一节参见下一节),因此因此 与与 也是单位圆上两个互相垂直的半径向量也是单位圆上两个互相垂直的半径向量,故故 为一直角坐标系。利用推论为一直角坐标系。利用推论3.1，有，有 12;,Off 12;,O e e12,ff12,ee ,1,2iiefi 1e2e 12;,O e e 正交变换正交变换: 伸缩变换伸缩变换: 因此因此: 故故=,即即分解为正交变换分解为正交变换与伸缩与伸缩的乘的乘积。积。 1212;,;,O e eO e e 1212; ,;,.O e eO ff 1212;,;,.O e eOffyxoA1e2eBo0A0BAB1f2f 4 二次曲线的度量分类与仿射分类二

26、次曲线的度量分类与仿射分类 在在1872年年,德国数学家德国数学家F.Klein提出了按变换群提出了按变换群给各种几何学科进行分类的思想给各种几何学科进行分类的思想,对几何学的研究对几何学的研究有很大的影响。对这一思想有很大的影响。对这一思想,我们将作一简单的介我们将作一简单的介绍。以平面上二次曲线为研究对象绍。以平面上二次曲线为研究对象,说明它在度量说明它在度量几何学几何学(欧几里得几何学欧几里得几何学)与仿射几何学中各是怎样与仿射几何学中各是怎样分类的。分类的。 1.变换群与几何学科分类变换群与几何学科分类 由由2和和3中我们知道中我们知道,平面上所有正交变换的集合构成平面上所有正交变换的

27、集合构成平面上的一个变换群平面上的一个变换群,称之为平面上的称之为平面上的正交群正交群;平面上所有仿平面上所有仿射变换的集合也构成平面上的一个变换群射变换的集合也构成平面上的一个变换群,称之为称之为仿射群仿射群. 如果变换群如果变换群G中的一个子集中的一个子集H也构成一个变换群也构成一个变换群,则称则称H为为G的的子变换群子变换群。由于正交变换也是仿射变换。由于正交变换也是仿射变换,所以正交群是仿射所以正交群是仿射群的子变换群。群的子变换群。 另外另外,平面上绕原点的旋转变换的全体也构成群平面上绕原点的旋转变换的全体也构成群,称为平面称为平面上上的的旋转群旋转群,平面上的刚体运动的全体也构成群

28、平面上的刚体运动的全体也构成群,称为平面上的称为平面上的运动群运动群。以上变换群的关系为。以上变换群的关系为 旋转群旋转群 运动群运动群 正交群正交群 仿射群。仿射群。 定义定义4.1 几何图形在正交变换下的不变性质几何图形在正交变换下的不变性质(或几何量或几何量)称为图形的称为图形的度量性质度量性质(或或正交不变量正交不变量),研究这些性质的几何研究这些性质的几何学称为学称为度量几何学度量几何学(即即欧几里得几何学欧几里得几何学);几何图形在仿射变几何图形在仿射变换下的不变性质换下的不变性质(或几何量或几何量)称为图形的称为图形的仿射性质仿射性质(或或仿射不仿射不变量变量),研究仿射性质的几

29、何学称为研究仿射性质的几何学称为仿射几何学仿射几何学。 由于正交群是仿射群的子变换群由于正交群是仿射群的子变换群,所以仿射性质所以仿射性质(仿射仿射不变量不变量)也是度量性质也是度量性质(正交不变量正交不变量)。但是反之。但是反之,度量性质不度量性质不一定是仿射性质。一定是仿射性质。仿射性质仿射性质有共线、平行、相交、中心对有共线、平行、相交、中心对称等。称等。度量性质度量性质有垂直、轴对称等。有垂直、轴对称等。仿射不变量仿射不变量有共线三有共线三点的简单比点的简单比,代数曲线的次数等。代数曲线的次数等。正交不变量正交不变量有两点间的距有两点间的距离、两向量的夹角、图形的面积以及二次曲线的离、

30、两向量的夹角、图形的面积以及二次曲线的 等。等。 321,III 一般而言一般而言,仿射变换可以改变两点之间的距离、仿射变换可以改变两点之间的距离、两直线间的夹角两直线间的夹角,因此，关于距离、角度等的性质和因此，关于距离、角度等的性质和不变量就不是仿射性质和仿射不变量。不变量就不是仿射性质和仿射不变量。 二次曲线直径的共轭性是仿射性质二次曲线直径的共轭性是仿射性质,理由如下理由如下: 首先在仿射变换首先在仿射变换下下,二次曲线二次曲线C的弦变成二次的弦变成二次曲线曲线C的弦的弦,C的平行弦变成的平行弦变成C的平行弦的平行弦;C的的弦的弦的中点变成中点变成C 的弦的中点的弦的中点,所以如果所以

31、如果l是是C的直径的直径,则则( )= 是是 C的直径。的直径。ll 设设 是是C的一对共轭直径的一对共轭直径(此时假设此时假设C是中心曲是中心曲线线), 的方向为的方向为 。由于。由于 的方向共轭于的方向共轭于 的方向的方向,所以有所以有 设设 则有则有 其中其中,B是仿射变换是仿射变换的系数矩阵。的系数矩阵。 21, llil ,iiivu v 2l1l 0,2222122111 vuaaaavuii ,1,2,iiiiiillvvu vi , iiiivuBvu 于是于是 其中，其中， 是是(C)=C的二次项的二次项(x,y)的矩阵的矩阵,即即 故故 是是C的一对共轭直径。的一对共轭直径

32、。 11 ABBAT 2211221111222212211111,0vuAvuvuABBvuvuaaaavuT .,11 yxABByxyxT21ll 与与2.二次曲线的度量分类二次曲线的度量分类 经过平面上的一个正交变换或仿射变换经过平面上的一个正交变换或仿射变换,平面上的平面上的一个图形变成另一图形一个图形变成另一图形,它们之间有什么样的关系呢它们之间有什么样的关系呢?为此给出如下定义。为此给出如下定义。 定义定义4.2 如果有一个平面的正交变换把如果有一个平面的正交变换把 变变到到 ,那么平面上的图形那么平面上的图形 称为称为正交等价的正交等价的(或或度量度量等价的等价的),记为记为

33、。 如果有一个平面的仿射变换将如果有一个平面的仿射变换将 变到变到 ，那么平，那么平面上的图形面上的图形 和和 称为称为仿仿射等价的射等价的,也记为也记为 。1C2C21CC 和和1C1C2C1C2C2C21 CC 在此在此,图形看作由点组成的集合图形看作由点组成的集合,所谓一变换把图形所谓一变换把图形 变到变到 ,就是指这个变换引起集合就是指这个变换引起集合 到到 的一个双的一个双射。射。 由于正交变换包含了刚体运动和反射由于正交变换包含了刚体运动和反射,因此所谓两因此所谓两个图形是正交等价的就是两个图形可以重合的意思。个图形是正交等价的就是两个图形可以重合的意思。 不论是正交等价还是仿射等

34、价都是图形间的一种不论是正交等价还是仿射等价都是图形间的一种“关系关系”。由于正交变换的全体构成一个变换群。由于正交变换的全体构成一个变换群,所所以以作为一个作为一个“关系关系”来讲具有如下三个性质来讲具有如下三个性质: i 反身性反身性,即即 ; ii对称性对称性,若若 ,则则 ; iii传递性传递性,若若 , ,则则 。1C2C1C2C1C2C1C2C2C1C1C2C2C3C1C3C 仿射等价这种仿射等价这种“关系关系”也具有以上三个性质。具有以上也具有以上三个性质。具有以上三个性质的三个性质的“关系关系”称为称为等价关系等价关系。于是正交等价和仿射等。于是正交等价和仿射等价价的关系都是等

35、价关系。的关系都是等价关系。 从每一图形从每一图形C出发出发,考虑所有与考虑所有与C正交等价的图形正交等价的图形,就得到就得到图形的一个集合，称为图形的一个集合，称为C的正交等价类，记为的正交等价类，记为C。由于。由于C中任意两个图形都与中任意两个图形都与C正交等价正交等价,根据对性和传递性根据对性和传递性,所所以它们也正交等价。这样以它们也正交等价。这样,由正交等价的关系我们就把平面上由正交等价的关系我们就把平面上的图形分成了一些正交等价类，每一类中任意两个图形都正的图形分成了一些正交等价类，每一类中任意两个图形都正交等价，而不同类中的图形都不正交等价。同样交等价，而不同类中的图形都不正交等

36、价。同样,根据仿射等根据仿射等价的关系价的关系,把平面上的图形分成一些仿射等价类。由正交群把平面上的图形分成一些仿射等价类。由正交群仿射群，从而每个仿射群，从而每个正交等价类都包含在某一个仿射等价类中正交等价类都包含在某一个仿射等价类中作为它的一部分。作为它的一部分。 前一章中前一章中,我们用直角坐标变换我们用直角坐标变换,将二次曲线的方将二次曲线的方程化简为九类。由于直角坐标变换和正交点变换的程化简为九类。由于直角坐标变换和正交点变换的公式在形式上是一致的公式在形式上是一致的,所以可以把直角坐标变换理所以可以把直角坐标变换理解为正交变换解为正交变换,在一个正交等价类中找出方程最简单在一个正交

37、等价类中找出方程最简单的曲线作为此的曲线作为此正交等价类的代表正交等价类的代表。因此。因此,可以将关于可以将关于二次曲线分类定理改二次曲线分类定理改述为关于二次曲线度量分类的述为关于二次曲线度量分类的定理。定理。 定理定理4.1 在直角坐标系中任意二次曲线度量在直角坐标系中任意二次曲线度量(正交正交)等价于等价于下列曲线之一下列曲线之一: 其中，其中，a,b,p均为正数。均为正数。 这九种曲线彼此不度量等价这九种曲线彼此不度量等价,且同一种方程表示的曲线且同一种方程表示的曲线当系数不同时当系数不同时,它们也彼此不度量等价它们也彼此不度量等价。因此。因此,二次曲线共有二次曲线共有无穷多个度量等价

38、类无穷多个度量等价类。 , 0, 0, 0,2, 0, 1, 0, 1, 122222222222222222222222222 xaxaxpyxbyaxbyaxbaaxbyaxbyax 3.二次曲线的仿射分类二次曲线的仿射分类 定理定理4.2 在仿射坐标系中，任意二次曲线仿射等在仿射坐标系中，任意二次曲线仿射等价于下列曲线之一：价于下列曲线之一： 将定理将定理4.1中的九种方程用仿射变换进一步简化就中的九种方程用仿射变换进一步简化就得到定理得到定理4.2。. 0, 01, 01, 0, 1, 0, 1, 122222222222222 xxxyxyxyxyxyxyx 前五种方程作变换前五种方

39、程作变换 对对 作变换作变换 对对 这九种曲线彼此不仿射等价这九种曲线彼此不仿射等价,但任一条二次曲线可但任一条二次曲线可以仿射等价于其中之一。因此以仿射等价于其中之一。因此,二次曲线的二次曲线的仿射等价仿射等价类共有九个。类共有九个。 .1,1ybyxaxpyx22 .2pyyxx .0, 02222yyaxxaxax作作变变换换 例例4.1 证明证明:椭圆的任意一对共轭直径把椭圆的内部分成椭圆的任意一对共轭直径把椭圆的内部分成四块面积相等的部分。四块面积相等的部分。 证明证明 任给一个椭圆任给一个椭圆C,任取它的一对共轭直径任取它的一对共轭直径 和和 。由。由定理定理4.2知知,椭圆椭圆C

40、与单位圆与单位圆 在同一个仿射类在同一个仿射类中中,所以存在仿射变换所以存在仿射变换把把C变到变到 。由于直径的共轭性是仿。由于直径的共轭性是仿射不变的，因此，射不变的，因此，把把 , 变成变成 的一对共轭直径的一对共轭直径 和和 。 设设C的内部被的内部被 和和 分成的四块是分成的四块是 (i=1,2,3,4), 的内的内部被部被 和和 分成的相应四块是分成的相应四块是 (i=1,2,3,4),则显然有则显然有 (i=1,2,3,4)。因为圆。因为圆 的共轭直径互相垂直的共轭直径互相垂直,所所以以 (i=1,2,3,4)的面积彼此相等。由的面积彼此相等。由 与与 的面积之比的面积之比等于等于

41、的变积系数的变积系数(i=1,2,3,4), 所以所以 (i=1,2,3,4)的面积也彼此相等。的面积也彼此相等。 1l2l1:221 yxC1C1l2l1C1l2l1l2l iC1C1l2l iC1 iiCC1 1C iC1 iC1 iC iC 5 空间的正交变换与仿射变换空间的正交变换与仿射变换 与平面的情形一样与平面的情形一样,可以讨论空间的刚体运动、正交变换与可以讨论空间的刚体运动、正交变换与仿射变换。由于证明的仿射变换。由于证明的方法是类似的方法是类似的,所以对于某些结论不加所以对于某些结论不加以证明。以证明。 1.空间的正交变换空间的正交变换 定义定义5.1 空间的一个点变换空间的

42、一个点变换,如果保持点之间的距离不变如果保持点之间的距离不变,称之为称之为正交正交(点点)变换变换(或或等距变换等距变换)。 例例5.1 空间中取定一点空间中取定一点O,取定一向量取定一向量 ,对于任意一点对于任意一点P,规定它在映射规定它在映射下的像下的像P满足满足则称则称是沿方向是沿方向 的平移。易见平移保持点之间的距离不变的平移。易见平移保持点之间的距离不变,因此因此,平移是正交变换。平移是正交变换。 例例5.2 空间中所有点绕一定直线的旋转是正交变换。空间中所有点绕一定直线的旋转是正交变换。 例例5.3 取定一平面取定一平面,设映射设映射把空间中每一个点对应到它把空间中每一个点对应到它

43、关于平面关于平面的对称的对称点点,则则称为关于平面称为关于平面的的镜面反射镜面反射,简称简称反射反射,镜面反射是正交变换。镜面反射是正交变换。 v ,5.1OPOPv v 空间的正交变换的性质有空间的正交变换的性质有: 性质性质1 恒等变换是正交变换。恒等变换是正交变换。 性质性质2 正交变换的乘积是正交变换。正交变换的乘积是正交变换。 性质性质3 正交变换是双射正交变换是双射,正交变换的逆变换是正交变换。正交变换的逆变换是正交变换。 由以上三个性质得由以上三个性质得,空间的正交变换的全体组成的集合是空间的正交变换的全体组成的集合是空空间的一个变换群间的一个变换群,称为空间的称为空间的正交变换

44、群正交变换群,简称为简称为正交群正交群。由。由正交点变换诱导的正交向量变换有如下性质正交点变换诱导的正交向量变换有如下性质: 性质性质4 正交变换保持向量的内积不变正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关系保持向量的线性关系不变。不变。 由性质由性质4很容易得到很容易得到 性质性质5 正交变换将直线变成直线正交变换将直线变成直线,并保持共线三点的简单比并保持共线三点的简单比不变。不变。 性质性质6 正交变换将平面变成平面，将相交平面变成相交平正交变换将平面变成平面，将相交平面变成相交平面，将平行平面变成平行平面。面，将平行平面变成平行平面。 定理定理5.1 正交变换正交变换将直角标架将直角

45、标架变成直角标架变成直角标架,且使且使任一点任一点P的的坐标等于坐标等于(P)的的坐标。反之坐标。反之,具有此性质的点具有此性质的点变换一定是正交变换。变换一定是正交变换。 定理定理5.2 空间的正交空间的正交(点点)变换变换在一直角坐标系中的公式在一直角坐标系中的公式为为 (5.3) 其中，其中， 是正交矩阵。是正交矩阵。 反之反之,如果空间的一个点变换如果空间的一个点变换在一个直角坐标系中的公式在一个直角坐标系中的公式为为(5.3),且系数矩阵且系数矩阵 是正交矩阵是正交矩阵,则则是正交是正交(点点)变变换。换。,321332313323122211211 aaazyxaaaaaaaaaz

46、yx ijaA ijaA 定义定义5.2 空间的正交变换空间的正交变换,若它在直角坐标系中的公式的若它在直角坐标系中的公式的系数矩阵系数矩阵A的行列式的行列式|A|=+1,则称则称是是第一类第一类的；若的；若|A|=-1,则则称称是是第二类第二类的。的。 设设是例是例5.2中转角为中转角为的旋转。以的旋转。以l为为z轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系 = ,把把变成直角坐标系变成直角坐标系= ,则有则有 因此从因此从到到的坐标变换公式为的坐标变换公式为 123;,O eee 123;,O e ee11221233cossin ,sincos ,.eeeeeeee )4 . 5(.10000cos

47、sinsincos zyxzyx 空间中任取一点空间中任取一点P,设设P的的坐标为坐标为(x,y,z),(P)=P 的的坐坐标为标为(x,y,z)。由定理。由定理5.1,P的的坐标为坐标为(x,y,z)。对。对P 应应用公式用公式(5.4)得得 现在把公式现在把公式(5.5)的右端的的右端的(x,y,z)理解为理解为P的的坐标坐标,则则(5.5)就是旋转就是旋转在直角坐标系在直角坐标系中的公式。易见中的公式。易见是第一类的。是第一类的。 设设是例是例5.3中的反射中的反射,以以为为xOy面建立一直角坐标系面建立一直角坐标系,则则的公式为的公式为 易知反射是第二类的。易知反射是第二类的。 )5

48、. 5(.10000cossinsincos zyxzyx )6 .5(,100010001 zyxzyx2022-4-955 命题命题5.1 若若是第一类正交变换是第一类正交变换,且保持原点不动且保持原点不动,则则必必定是绕过原点的某一条定直线的旋转。定是绕过原点的某一条定直线的旋转。 命题命题5.2 若若是第二类正交变换是第二类正交变换,且保持原点不动且保持原点不动,则则必必是一个镜面反射是一个镜面反射,或是一个镜面反射与一个绕定直线的旋转的或是一个镜面反射与一个绕定直线的旋转的乘积。乘积。 以上证明略。以上证明略。 空间的空间的(刚体刚体)运动是平移，或绕定直线的旋转，或它们的运动是平移

49、，或绕定直线的旋转，或它们的乘积乘积。 于是由以上两个命题得于是由以上两个命题得 定理定理5.3 空间的正交变换或者是运动，或者是一个运动与空间的正交变换或者是运动，或者是一个运动与一个镜面反射的乘积一个镜面反射的乘积。 2.空间的仿射变换空间的仿射变换 定义定义5.3 空间的一个点变换空间的一个点变换,如果如果在一个仿射在一个仿射坐标系中的公式为坐标系中的公式为 其中系数矩阵其中系数矩阵A是可逆的是可逆的,则称则称是空间的是空间的仿射仿射点变换点变换。 此定义与仿射坐标系的选择无关。此定义与仿射坐标系的选择无关。 )7 . 5(,321 aaazyxAzyx 空间的仿射变换的性质空间的仿射变换的性质有有: (1)恒等变换是仿射变换恒等变换是仿射变换; (2)两个仿射变换的乘积仍然是仿射变换两个仿射变换的乘积仍然是仿射变换; (3)仿射变换是双射仿射变换是双射,它的逆变换是仿射变换它的逆变换是仿射变