理论力学@5点的一般运动和刚体的基本运动

1、第5章 点的一般运动和刚体的基本运动5.1 主要内容5.1.1 点的运动的表示法研究如何描述一个几何点（即动点）在空间运动的规律。物体的运动是相对于某一参照物而言，离开参照物，无法确定物体在空间的位置。这一特点称为运动的相对性。通常以地球为参照系。在同一参照系上，可以建立不同的坐标系来描述物体的位置及其随时间的变化。如本章讨论的各种坐标系。点的运动方程描述动点在空间的几何位置随时间的变化规律。对于不同的坐标系，将有不同的形式。1矢量式 其中是点的矢径。此式主要用于理论推导。2直角坐标形式用于轨迹未知的情形建立直角坐标系，动点M的位置由其在坐标系中的x，y，z坐标确定。上式亦可看作点的运动轨迹的

2、参数方程。如果消去时间参数t，即可得到轨迹的曲线方程，它是下列两空间柱面方程的交线。 3弧坐标形式（自然法）用于轨迹已知的情形在轨迹上建立弧坐标系，以s为弧坐标。点的速度是个矢量，它反映点的运动的快慢和方向。点的加速度是个矢量，它反映速度大小和方向随时间的变化率。1矢径法2直角坐标法 ，3弧坐标法 切向加速度只反映速度大小随时间的变化，法向加速度只反映速度方向随时间的变化。 ：加速运动 ：减速运动几种特殊运动（1）直线运动 （2）圆周运动 （3）匀速运动 （4）匀变速运动 5.1.2 刚体的基本运动刚体的平行移动和定轴转动称为刚体的基本运动。是刚体运动的最简单形态，刚体的复杂运动均可分解成若干

3、基本运动的合成。刚体平动的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。因此，只要求得刚体上任一点的运动，就可得知其它各点的运动，从而确定整体运动。刚体绕定轴转动用角坐标确定定轴转动刚体的位置。运动方程 角速度角加速度转动刚体上各点的速度分布 转动刚体上各点加速度分布 为点到转轴的距离。 矢量表示法 为在轴上的投影； 为在轴上的投影。定轴转动刚体上各点速度及加速度的计算： ， 切向加速度； ， 法向加速度。 其中r为由转动轴上任一点引向该点的矢径。5.2 基本要求1掌握描述运动的矢径法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动轨迹，能熟练地求解与点的速度和加速度有关的问题。2熟悉刚体平动和定轴转动

4、的特征。能正确判断作平动的刚体和定轴转动的刚体3能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度有关的问题。熟悉角速度、角加速度及刚体内各点速度和加速度的矢量表示法。5.3 重点讨论三种方法描述同一点的运动，其结果应该是一样的。如果将矢径法中的矢量r、v、a用解析式表示，就是坐标法；矢量v、a在自然轴上的投影，就得出自然法中的速度与加速度。直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直角坐标系是固定在参考体上，可用来确定每一瞬时动点的位置。自然轴系是随动点一起运动的直角轴系(切向轴 、法向轴n及副法向轴b)，因此，不能用自然轴系确定动点的位置。自然法以已知轨迹为前提，

5、用弧坐标来建立点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。用直角坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取一阶和二阶导数，得到速度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的大小和方向。用自然法求速度，则将弧坐标对时间取一阶导数，就得到速度的大小和方向。自然法中的加速度，物理概念清楚， 和 分别反映了速度大小和速度方向改变的快慢程度。在点的运动学中，问题的类型一般分为三类。1 已知运动方程，求轨迹、速度、加速度运动量。这类问题首先要建立点的运动方程，通过求导数运算计算速度和加速度。2 已知动点的速度或加速度的变化规律，求运动方程。这类问题可通过积分运算求得运动方程，积分常数由运动的初始条件确定。

6、3 综合问题。给出用直角坐标法表示的点的运动方程，需求点沿轨迹的运动方程，点的切向加速度、法向加速度、全加速度及点的曲率半径等。这类问题表明，可用不同的方法描述同一点的运动问题。在刚体的基本运动中，首先要判断刚体作何种运动(平动或定轴转动)，然后根据刚体的运动选用相应的方法。对于平动刚体的问题，可归结为点的运动学问题；对于定轴转动刚体的问题，可归结为两类问题。1 给出刚体转动方程，依次对时间求导数，得到刚体的角速度、角加速度，并求出刚体上任一点的速度、加速度。2 给出转动刚体的角加速度，经过积分运算，求刚体的转动方程，但需给出初始条件。5.4 例题分析例5-1 已知小环由静止从A开始沿轨迹运动

7、。在AB段，加速度为a = g，在段，切向加速度；求 小环在C、D两处的速度和加速度。解 在AB段，由作积分图5-1得在段，由作积分得在C点处，在D点处， = 3.487g。例5-2 A处抛一石刚能过仓库，取重力加速度g = 10m/s2； 求 l为多大可使初速度v0最小？不计空气阻力。图5-2解 石块的运动方程为消去t得轨迹方程将B、C两点坐标代入，分别得(1)(2)由式（1）、（2）消去（1+tan2q）得(3)由式（1）式（2），得将式（3）代入上式，令，得l2 + 40l800 = 0解得l = 14.64m时最小图5-3例5-3 半径为r的车轮在直线轨道上滚动而不滑动，如图5-3示。

8、已知轮心A的速度u是常量，求轮缘上一点M的轨迹、速度、加速度和轨迹的曲率半径。解：取坐标系如图示。令时，M点位于坐标原点O，轮心A位于Oy轴的A0点。设在t瞬时，轮心和M点位于图示位置。由于轮只滚不滑 (a)又(b)点的x、y坐标都是角j的函数(c)(d)将式（a）、式（b）代入式（c）、（d） (e)(f)这就是M点的运动方程。消去时间参量t，得M点的轨迹方程这就是旋轮线或摆线方程。式（e）、式（f）对时间求一阶导数得速度的投影(g)(h)M点的速度的大小和方程余弦为(i)可见，速度v恒通过车轮的最高点D。式（g）、式（h）对时间求一阶导数得加速度的投影M点的加速度的大小和方向余弦为(j)可

9、见，加速度a恒通过车轮中心。式（i）对时间求一阶导数，得M点的切向加速度(k)式（j）、式（k）代入式（5-21），得M点的法向加速度由式（5-20）得轨迹在M点处的曲率半径由此可见，当 (对应轨迹的最高点)，曲率半径最大， ；当或 时(M点在轨道上)，曲率半径最小， 。轨迹在这里是两段连续旋轮线的连接点不连续的尖端点。图5-4例5-4 已知 OA = 1.5m，AB = 0.8m。机构从j = 0开始匀速转动，运动中AB杆始终铅垂，B端速度vB = 0.05m/s;求 转动方程j = f ( t)和点B的轨迹。解 AB杆平动，0.05m/s，rad/s，radB点的坐标为消去j，得其轨迹方程

10、为（圆）例5-5 已知 j = b sinw t，O1A = O2B = l，AB = O1O2，轮2 的半径为r2；求 时，轮2的角速度w2和角加速度a2。图5-5解 刚体ACB平动，D点是轮2上与轮B啮合的点，其速度为加速度为 当时， 所以例5-6 已知上题机构从静止开始运动，轮2的角加速度a2为恒量；求 曲柄O1A的转动规律。解 参照上题的分析，得A点的切向加速度和O1A杆的角加速度积分得O1A的角加速度和转动方程5.5 习题解答本章中5-1；5-2；5-3；5-4；5-7；5-11；5-12 ；5-13；5-14题解答略。 5-5 动点A和B在同一笛卡尔坐标系中的运动方程分别为 其中x

11、、y以cm计，t以s计，试求：（1）两点的运动轨迹；（2）两点相遇的时刻；（3）相遇时A、B点的速度、加速度。解：（1）由消去t，即得动点的轨迹： ；（2）令两方程组中，得到两点相遇的时刻为t1 s；（3）求速度。A点的速度，vA4.13 cm/s；B点的速度，vB8.25 cm/s。（4）求加速度。A点的加速度，aA4 cm/s2；B点的加速度，aB24.1 cm/s2。5-6 已知动点的运动方程为xt2t，y2t，求其轨迹及t1 s时的速度、加速度，并分别求切向、法向加速度及曲率半径。x及y的单位为m，t的单位为s。解：（1）由消去t，即得动点的轨迹：（2）求速度与加速度。，切向加速度，法

12、向加速度，5-8 如题58图所示，摇杆机构的滑杆AB以匀速u向上运动，试建立摇杆OC上点C的运动方程，并求此点在 的速度大小。假定初始瞬时j0，摇杆长OCa，距离ODl。题5-8图解：如图示坐标系，点C的坐标为，点A的坐标为， ，动点C的运动方程为，用弧坐标表示点C的运动方程，则有当，5-9 曲柄OA长r，在平面内绕O轴转动，如题59图所示。杆AB通过固定于点N的套筒与曲柄OA铰接于点A。设jwt，杆AB长l2r，试求点B的运动方程、速度和加速度。题5-9图解：如图建立直接坐标系xoy，由已知条件得到，。B点的运动方程为，B点的速度为， B点的加速度为，。5-10 如题510图所示，OA和O1

13、B两杆分别绕O和O1轴转动，用十字形滑块D将两杆连接。在运动过程中，两杆保持相交成直角。已知：OO1l，AOO1jkt，其中k为常数。求滑块D的速度和相对于OA的速度。Dyxxy（a）（b）题5-10图解：（1）如题5-10图（b）建立直接坐标系xoy，则D点的运动方程为，得到滑块D的速度，用自然坐标法，点D的轨迹是圆弧，运动方程和速度为（2）以O为原点，OA为坐标轴建立动坐标系Ox¢，点D在Ox¢轴的坐标和速度为x¢lcoskt所以相对于OA的速度，v¢D=vD和v¢D的方向如图所示。5-15 物体作定轴转动的运动方程为j4t3t2（j以ra

14、d计，t以s计）。试求此物体内，转动半径r0.5 m的一点，在t00与t11 s的速度和加速度的大小，并问物体在哪一瞬时改变转向？解：（1）由定轴转动的运动方程j4t3t2，得到定轴转动物体的角速度与角加速度，。（2）速度和加速度的大小速度，加速度，；。t00时，速度，v02 m/s，加速度，m/s2；m/s2，a08.54 m/s2t11 s时，速度，v11m/s，加速度，m/s2；m/s2，a120.2m/s2（3）物体改变转向时，由此得到t0.667 s。5-16 搅拌机如题516图所示，已知O1AO2BR，O1O2AB，杆O1A以不变转速n r/min。试分析 BAM构件上M点的轨迹、

15、速度和加速度。O1xA abvmMyaMvAnO2Ba (a) (b)题5-16图解：由于构件BAM作平移，所以 M点的轨迹与A相同 A的轨迹、速度、加速度为， ； M的轨迹 M的速度 M的加速度 ，5-17 某飞轮绕固定轴O转动的过程中，轮缘上任一点的全加速度与其转动半径的夹角恒为a60°。当运动开始时，其转角j0为零，角速度为w0，求飞轮的转动方程及其角速度与转角间的关系。解：由于有，即，。题5-17图aatanOR60° 解出，。 5-18 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过 5 min后，转子的角速度w600p rad/s。试求转子在

16、这段时间内转过多少转？解：由条件得到，其中k为比例常数。由，得，对上式积分得到，代入条件解出转子在这段时间内转过N30 000转。题5-19图5-19 OA杆长L1m。在题5-19图所示瞬时杆端A点的全加速度a与杆成q 角。q60°，a20m/s2。求该瞬时OA杆的角速度和角加速度。解：由于有，即，联立解出，。5-20 如图所示，曲柄CB以匀角速度w0绕C轴转动，其转动方程为jw0t，通过滑块B带动摇杆OA绕O转动，设OCh，CBr，求摇杆的转动方程。解：以C为原点，x、y轴分别如图示，则对于B：题5-20图在图示中， 又jw0t摇杆的转动方程为，。题5-21图5-21 一木板放在两

17、个半径r0.25 m的传输鼓轮上面。在题521图所示瞬时，木板具有不变的加速度a0.5 m/s2，方向向右；同时，鼓轮边缘上的点具有一大小为3 m/s2的加速度。如果木板在鼓轮上无滑动，试求此木板的速度。解：由条件知传输鼓轮边缘上的点具有的加速度大小为，ar = 3 m/s2。并且其m/s2。有关系，联立以上方程解出， v0.86 m/s。 题5-22图5-22 题522图所示一偏心圆盘凸轮机构如图示。圆盘C的半径为R，偏心距为e。设凸轮以匀角速度w绕O轴转动，求导板AB的速度和加速度。解：如图建立坐标系。则圆盘C沿y向的运动方程为yCesinq而导板的运动与圆盘C y向运动相同，所以导板运动方程为导板的速度与加速度为5-23 题523图所示仪表机构中，已知各齿轮的齿数为z16，z224，z38，z432，齿轮5的半径R4 cm。如齿条BC下移1 cm，求指针OA转过的角度j。解：设齿条移动l1cm时