2018版高中数学苏教版选修1-1学案：2.5圆锥曲线的共同性质

1、【学习目标】i理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题 2 了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.IT问题导学-知识点圆锥曲线的统一定义思考如何求圆锥曲线的统一方程呢?梳理(1)圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 I 上)的距离之比等于_当_ 时，它表示椭圆；当 _ 时，它表示双曲线；当 _ 时，它 表示抛物线其中 _ 是圆锥曲线的离心率，定点 F 是圆锥曲线的 _ ，定直线 I是圆锥曲线的_ 2 2 2 2 2 2(2)椭圆 a2+泊=1(ab0)的准线方程为 x=毘，字+ P= 1(ab0)的准线方

2、程为 y=2 2 2 2 2双曲线X2-y2= i(a0, b0)的准线方程为 x=些，双曲线* 診=1(a0 , b0)的准线方程为a bca b2题型探究类型一已知准线求圆锥曲线的方程例 i 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为 求双曲线的方程.反思与感悟(1)在本例中，两准线间的距离是一个定值 更，不论双曲线位置如何，均可使用. c2.5锥曲线与方程锥曲线的共同性质4，且经过点 A(2.6, 3),a(2)已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个：利用统一定义, 直接列出基本量 a, b, c, e 的关系式.2 2跟踪训练 1 已知 A、B 是椭

3、圆令+的 =1 上的点，F2是椭圆的右焦点，且 AF2+ BF2= ga, a 925 25a3AB 的中点 N 到椭圆左准线的距离为 2，求此椭圆方程类型二圆锥曲线统一定义的应用2 2例 2 已知 A(4,0) , B(2,2)是椭圆补+y= 1 内的两个点，M 是椭圆上的动点.259(1)求 MA + MB 的最大值和最小值；5求 MB + 4MA 的最小值及此时点 M 的坐标.反思与感悟(1)解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义.圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程.跟踪训练 2 试在抛物线 y2= 4x

4、上求一点 A，使点 A 到点 B(.3,2)与到焦点的距离之和最小.类型三焦点弦问题1 例 3椭圆 C的一个焦点为 F!(2,0)，相应准线方程为 x= 8,离心率 e= 2.(1) 求椭圆的方程；(2) 求过另一个焦点且倾斜角为45。的直线截椭圆 C 所得的弦长.反思与感悟(1)本例(2)中若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些.(2)对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便.跟踪训练 3 已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于 F 的准线为 y 轴，I 是过点 F 且倾斜角为1660。的直线，I 被椭圆截得的弦 AB 的长是乎，求椭圆的方程.5当堂训练2 21 椭圆命

5、+y= 1 的准线方程是_2592 如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的_倍.2 23.若双曲线x9 和=1 左支上的一点 P 到左焦点的距离为 15,则点 P 到右准线的距离为2 24 已知椭圆方程为 16+1，右焦点为 F , A(2,1)为其内部一点，P 为椭圆上一动点，为使PA+ 2PF 最小，P 点坐标为_ .5.在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为 一个顶点与抛物线=4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 1x=2 且它的厂规律与方法 -11 在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义

6、、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性.22.在已知准线方程时，一般转化为a的数量关系，结合其他条件求出基本量a，b，c.若是求c方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型.3 根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程.提醒：完成作业第 2 章 .5答案精析问题导学知识点坐标为（X, y）,则OM = . x2+ y2设直线 I 的方程为 x= p,则 MH = |x+ p|把、代入 OM = eMH ,得,:x2+ y2= eX+ p|.两边平方，化简得(1 e2)x2+ y2 2p

7、e2x p2e2= 0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程.梳理常数 e 0e1 e= 1 e 焦点准线题型探究2 2例 1 解若焦点在 x 轴上，则设双曲线的方程为匕=1(a0, b0)，由已知得a b2 c! 2222 ca = 2c, b = c a = c 2c.249,代入孑b2=1， 整理得 c2 14c+ 33= 0, c = 3 或 c= 11.a2= 6, b2= 3 或 a2= 22, b2= 99.2 2若焦点在 y 轴上，则设双曲线的方程为字一 b2= i(a0, b0).由已知得222924将 a = 2c, b = c 2c 代入孑= 1

8、 得,2c2 13c+ 66 = 0, &0,此方程无实数解.综合(1)(2)可知，双曲线的方程为2 2 2 2?3 =1或 2299=1.跟踪训练 1 解 设 F1为左焦点，连结 AF1, BF1,则根据椭圆定义知,AF1+ BF1= 2a AF2+ 2a BF28 12 =4a (AF2+ BF2) = 4a 5a = a.再设 A、B、N 三点到左准线距离分别为d1、d2、d3,由梯形中位线定理，得292而已知 b = 25a ,21624c= 25a . 离心率 e= 5,由统一定义 AF1= ed1, BF1= ed2,12 12-AF1+ BF1= 5a = e(d1+ d

9、2) = ,2 a = 1, 椭圆方程为 X2+ y- = 1.2522例 2 解(1)如图所示，由芈+y= 1 得 a = 5, b= 3, c= 4.2597 r1 w0X所以 A(4,0)为椭圆的右焦点，F( 4,0)为椭圆的左焦点.因为 MA+ MF = 2a= 10,所以 MA+ MB = 10 MF + MB.双曲线的方程y99=1.2424 =1.d1+ d2= 2d3= 3.因为 |MB MF|WBF4 22+ 0 22= 2 10,所以一 2 10WMB MF 2 10.故 10 2 10 MA + MB 10 + 2 元，即 MA + MB 的最大值为 10+ 2 10,

10、最小值为 10 2 10.25(2)由题意得椭圆的右准线 I 的方程为 x=号.由图可知点 M 到右准线的距离为 MM,5 所以匚 MA = MM .45所以 MB+-MA = MB + MM4由图可知当 B, M , M 三点共线时，MB + MM 最小,2517即BM =25-2=2 2当 y=2 时，有 25+2 =1,即点 M 的坐标为, 2）.517故 MB + 4MA 的最小值为,此时点 M 的坐标为（%5, 2）.跟踪训练 2 解 由已知易得点 B 在抛物线内，号=1，准线方程为 x= 1,过点 B 作 C B 丄 准线 I 于 C，直线 BC 交抛物线于 A,则 A B+ A

11、C为满足题设的最小值.因为 C B/ x 轴，B 点的坐标为（，3, 2）,所以 A点的坐标为（x,2）.由圆锥曲线的统一定义得MA4MM，=e=5,解得 x=负值舍去）,又因点 A在抛物线上，所以 A (1,2)即为所求 A 点，此时最小值为 BC = .3+ 1.0(打1方-l两边同时平方, 得 4(x 2)2+ y2 = (8 x)2,2 2化简得 16 +12=1.由(1)知椭圆的另一个焦点坐标为F2( 2, 0)，过 F2且倾斜角为 45勺直线方程为2 2由曲线 16 +1|2=1 联立消去 y，得 7x2+ 16x 32 = 0设交点为 A(X1, y”, Bg y0,AB=AF2+BF2=a+ex1+a+ex2=2a+e(X1+X2)=2x4+*(X1+x?)=号.跟踪训练 3 解 设椭圆离心率为 e, M(x, y)为椭圆上任一点,整理得(x 3)2+ (y1)2= e2x2直线 I 的倾斜角为 60直线 I 的方程为 y 1= ,3(x 3),联立得(4 e2)x2 24x+ 36= 0.设 A(X1, y1), B(X2,y2),24由根与系