2019-2020学年辽宁省丹东市高三(上)期末数学试卷(文科)

1、第1页（共 16 页）2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.约为 25 万元.- 戸产品的销售額/万元- Q产品的销售额/万元A .P产品的销售额极差较大C . Q 产品的销售额平均值较大B .P产品销售额的中位数较大D . Q 产品的销售额波动较小0.606, b0.615, c 1.506，则a,b,c的大小关系(C.b a c 21.（5 分）设集合 A x| x22x3 0 , B x|xA . (1,2)B . (2,3)C .2.（5 分）复数

2、 z3 i的模1 i|z| ()A . 1B .2C .3.（5 分）圆 x22y 2x 2y/ 70 的圆心到直线:A .2B . .3C .(,2)（5 分）某商家统计了去年 P , Q 两种产品的月销售额（单位：万元） ，绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品 2 月份销售额约为20 万元，B点表示 Q 产品 9 月份销售额5. （ 5 分）设 a20，则 AIB (3, 1)24.2x y 0 的距离为（根据图中信息，下面统计结论错误的是第2页（共 16 页）6. (5 分)若sin 2cos，则 cossin2()4取值范围为第 2 页（共 16 页）10 . （5 分）下列函数

3、中，其图象与函数 y lgx 的图象关于点（1,0）对称的是（B. y lg (2 x)11. （5 分）关于函数 f（x） |si nx| sin |x I 有下述四个结论:f （x）是偶函数 f （x）在区间（，0）单调递减2f（x）在,有 4 个零点f （x）的最大值为 2其中所有正确结论的编号是（）A7. （ 5 分）已知非零向量a, b 满足|a|C. 12|b|，且(ar bX)/ r b则a与 b 的夹角为（8.（5 分）从分别写有 1 ,2, 3,4, 5 的 5 张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取 1 张,A .B .1C. 210510（5 分）设,是两个平面，m,n是两

4、条直线，下列命题错误A .如果m,n/,那么m nB.如果/ ,m,那么 m / /C .如果mn,m,n/，那么D.如果内有两条相交直线与平行，那么 /则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为9.的是C. y log0.1(1 x)D. y log0.1(2x)A. y ig (1 x)4取值范围为第 2 页（共 16 页）2y 4x 上一点P到该抛物线的焦点距离是10,则P点的横坐标为14 . （5 分）已知函数 f（x）在R单调递减，且为奇函数，则满足f（x 1） f （x 3） 0 的x的A .B .C.D.12 . (5 分)2 2设F为双曲线C :爲1(aa b0,b

5、0）的右焦点,O为坐标原点, 以OF为直径的圆与圆2a 交于P, Q 两点，若| PQ | |OF |，贝 U C 的渐近线方程为A.y2xB . y 3xC . y 2x二、填空题: 本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 . （ 5 分）抛物线第5页（共 16 页）15. （5 分）2 2 2ABC的内角A , B , C的对边分别为a ,b ,c,若ABC的面积为a bc,416. （5 分）已知正三棱柱 ABCABIG的六个顶点都在球0的表面上，若这个三棱柱的体积为 9 3，AB 3，则 AA _ ，球0的表面积为 _.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或

6、演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. （12 分）等差数列an的公差为 2,若 a2, a4,比成等比数列.（1 ）求an的通项公式;18. （12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元,未售出的产品，每1t亏损 300 元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X（单位：t ,100 剟 X 150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的

7、利润.频率19. （12 分）如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 2 2 ,PA PB PC AC 4,O为（2）设 Sn是数列an的前n项和，求数列1 的前 n 项和 Tn.第 4 页(共 16 页)AC的中点.第7页（共 16 页）(1)证明:PO平面ABC;(1 )求 C 的方程;D点，若|DMDN| | DA g DB |，求实数的值.1221. (12 分)已知函数 f(x)x2lnx 1 .2(1 )讨论函数 f(x)的单调性；(2)设 g(x) - x2ax lnx，证明：曲线 y g(x)没有经过坐标原点的切线.2(二)选考题：共10 分.请考生在第 22、23 题中任选一

8、题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4 :坐标系与参数方程(10 分)22. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线I过点 M( 2, 4)，以原点0为极 点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22cos .(1 )写出直线I的参数方程(为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线I与C交于A、B两点，且|MAMB| 40 ,求倾斜角的值.选修 4-5 :不等式选讲(10 分)23.已知a 0,b 0.(1)证明：a3b3a2b ab2；C到平面POM的距离.a中恰有三点在椭圆C上.1(a b 0),四点 R(1,1), P2(0,1

9、) , P3(待)，P4(1)(2)设C的短轴端点分别为B，直线 I：yx t(t 1)交C于M,N两点，交y轴于2MB，求点第 4 页(共 16 页)(2 )若a b 2，求 a3b3的最小值.第9页（共 16 页）2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.A|B ( 1,2) 故选：A故选：D.故选：A.Q 两种产品的月销售额（单位：万元） ，绘制了月销售额 的雷达图，图中A点表示P产品 2 月份销售额约为 20 万元，B点表示 Q 产品

10、 9 月份销售额约为 25 万元.根据图中信息，下面统计结论错误的是（）1. （ 5 分）设集合2A x|x 2x 30 , Bx|x2 0，则 AIB ()A (1,2)B (2,3)C.(3, 1),2)【解答】解：Q Ax|1 x 3,x|x2,2. （ 5 分）复数的模|z| (C.【解答】解:3 i|Z|X|3 i|1i|3. （ 5 分）圆2x 2y 70 的圆心到直线 x y 0 的距离为（【解答】:圆2y 2x 2y70 的圆心（1,1）到直线 x y 0 的距离d4. （ 5 分）某商家统计了去年P,第10页（共 16 页）- 戸产品的销售額/万元- Q产品的销售额/万元A

11、.P产品的销售额极差较大B .P产品销售额的中位数较大C . Q 产品的销售额平均值较大D . Q 产品的销售额波动较小【解答】解：根据图象可以看见P产品的销售额波动较大，故D对；P产品的销售额极差更大，故A对；Q 产品的销售额基本维持在25 万元向上，而P销售额相对较低且波动大，则Q 销售额平均值更大，故C对，故选：B.5. （5 分）设 a 0.606, b 0.615, c 1.56，则a,b,c的大小关系（）A.a b cB.a c bC.b a cD.b c a【解答】解：函数 y .6x为减函数；故 a .66b .61.5,函数 y x6在（,）上为增函数；9 - 5 B s o

12、, c620csm,若c,60c心12-5o a勺5故故6第11页（共 16 页）【解答】解：sin所以cos sin22cos，故tan 2,2cos 2sin cos 1 2ta n1222I，sin cos1 tan第12页（共 16 页）张, 基本事件总数n 5 5 25,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有:(2,1) , (3,1), (3,2) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (5,1) , (5,2),共有m 10个基本事件,7. （ 5 分）已知非零向量rra, b 满足 I a I 2|b|，且(ar bX)/ rb则a与 b 的夹

13、角为（）rarbrb!7 rbUIDULT| a |b |coso2r br br2_LLTlbl0r brTa,b故选：B.8. （ 5 分）从分别写有 1 ,2, 3,4, 5 的 5 张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取 1 张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.丄10C. 210【解答】解：从分别写有 1 ,2，3, 4, 5 的 5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1(5,3) , (5,4),抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率10 2255故选：D.9. （ 5 分）设是两个平面，m,n是两条直线，下列命题错误的是（）A .如果mn/,那

14、么m nQr bra s第13页(共 16 页)确.故选：C.y igx 上, 即 y ig (2 x),所以 y ig (2 x) iog (2 x)故选：D.11. (5 分)关于函数 f(x) |si nx| sin |x |有下述四个结论：f (x)是偶函数 f (x)在区间(一，0)单调递减2f(x)在,有 4 个零点f (x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是()A .B .C.D .【解答】 解：f ( x) sin | x| | sin( x) | sin |x| |sinx| f (x)则函数 f (x)是偶函数，故 正确，当 x (, 0)时，sin|x| sinx ,

15、 |sinx|sinx ,2则 f(x)sinx sinx2sinx 为减函数，故 正确，B .如果 / /,m，那么 m / /C .如果m n,m, n / / ，那么D .如果内有两条相交直线与平行，那么/【解解:n/，那么m n，满足直线与平面垂直的性质，所以A正确;/，那么 m /，满足两个平面平行的性质定理，所以B正确;如果mn/，那么也可能相交，也可能平行，所以C不正确;如果内有两条相交直线与平行，那么/ /,满足两个平面平行的判断定理，所以D正10. (5 分)下列函数中，其图象与函数igx 的图象关于点(1,0)对称的是(A. y ig (1 x)B. y ig (2 x)C

16、. y logo.i(1 x)D. y log 0. (2 x)【解答】解：设所求函数图象上任意一点P(x, y),则 P(x, y)关于(1,0)对称的点(2x, y)在第14页(共 16 页)由 f(x) 0 得2sinx 0得x 0或x由 f(x)是偶函数，得在,)上还有一个零点x，即函数 f(x)在,有 3 个 零点，故错误，当 sin |x| 1，|sinx| 1 时，f(x)取得最大值 2,故正确，故正确是，故选：A.2 212. (5 分)设F为双曲线C:笃 爲1(a 0,b 0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直a b又圆O的方程为 x2y2a2,2 2 2径的圆与圆 x y

17、a 交于P, Q 两点，若|PQ|OF|，则C的渐近线方程为()当0剟X时，f (x) sin|x| |sinx| sinx sinx 2sin x ,A. y 2x2y cx1，第 10 页（共 16 页）3_4【解答】解：Q ABC的面积为2.2 2a b c4-bcsin A，2又 a2b2c22bccosA，可得a2b2c22bccosA，如型丄 bcsi nA，可得2cosAsin A，即tan AQ A (0,故答案为:2PQ 所在直线方程为 x .c2把x代入 x2y2a2，得 PQc再由 |PQ|OF|，得暨.c，即 2ab a2b2, ca b，解得双曲线的渐近线方程为：y

18、x.故选：D.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.213. （ 5 分）抛物线 y 4x 上一点P到该抛物线的焦点距离是10，则P点的横坐标为9【解答】解：设 P（x,y），Q P到该抛物线焦点的距离为 10，P10 x，即10 1 x，解得x 9.2故答案为：9.14. （5 分）已知函数 f（x）在R单调递减，且为奇函数，则满足取值范围为_ （1,）_ .【解答】解：f（x）在R单调递减，且为奇函数，则由 f(x 1) f(x 3)0 可得 f(x 1) f (x 3) f (3 x)，则有x 13 x，解可得，x 1，故答案为：（1,）.2abcf (x 1) f

19、 (x 3)0 的x的15 . (5 分)ABC的内角A , B，2 .2 2，若ABC的面积为-，4第16页(共 16 页)16. (5 分)已知正三棱柱 ABC AB1C1的六个顶点都在球0的表面上，若这个三棱柱的体积为 9 3，AB 3，则 AA 4 ，球0的表面积为 _ .【解答】解：由题意设高 AA b，由题意 V Sg)-g2go 9 3，解得：b 4；4外接球的球心为过底面外接圆的圆心做底面的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，底面半径为 r，则R2r2(b)2，因为底面为等边三角形，所以 2r ，即 r 3，sin3所以 R23 47，所以球0的表面积为4 g7 28;第1

20、7页(共 16 页)三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分.(1 )求an的通项公式;【解答】解：(1)设等差数列an的首项为 a ,由题意得 a4a2as，即6)2)( a 14)，解得 a 2.17. (12 分)等差数列的公差为 2,若 a2,a4, as成等比数列.(2)设 Sn是数列an的前n项和，求数列的前n项和 Tn.的通项公式 an2n；1(2)由(1)得 0an) n(n 1),2Sn n(n 1) n n 11 1 1 1 1(1K(2

21、亍)(3 2)18. (12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出未售出的产品，每1t亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t ,100 剟 X 150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.频率【解答】 解：(I)由题意得，当 X 100 , 130)时，T 500X300(130 X) 800X39000 ,当 X 130, 150时，T 500 130 65000,800 X 39000, X 100,130)65000,

22、X 130,150(II)由(I)知，利润T不少于 57000 元，当且仅当1201X 150.由直方图知需求量 X 120 , 150的频率为 0.7,所以下一个销售季度的利润T不少于 57000 元的概率的估计值为0.7.19. (12 分)如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 2 2 ,PA PB PC AC 4,O为第 12 页(共 16 页)1t该产品获利润 500 兀，(H)根据直方图估计利润T不少于 57000 元的概率.第19页（共 16 页）（1）证明:PO平面ABC;AC的中点.Q AB【解答】（1）证明:角形,又0为AC的中点,0AQ PA PB PC,POAPO AC

23、,PO（2） 解： 由（在COM中,SPOMSCOM2MB，求点C到平面POM的距离.BC 2 2 ,AC 4,AB2BC2OB 0C,POB POC,POA POBOB, OBIAC 0 ,PO平面ABC;1)得OMPO OM2SABC3设点C到平面POMAC2，即ABC是直角三POC 90,PO平面ABC, PO . PA2OC2CM22OCgCM cos4512 32J2后243的距离为d由 VpOMCVCPOMAO22.31sPOMgd3-SOCMPO ,3点C到平面POM的距离为2x20.（12 分）已知椭圆C：p a中恰有三点在椭圆C上.4 552bb 0)，四点 R(1,1)，P

24、2(0,1)，P3(h于），恥彳）（1 ） 求 C 的方程;（2） 设C的短轴端点分别为A，B，直线 I : yx t(t 1)交C于M,N两点，交y轴于D点，若 | DM DN | DA g DB |，求实数的值.i.第 14 页(共 16 页)第21页（共 16 页）11111又由-2 弋 1 知，C不经过点 P，所以点 及在上，所以-21 .a b a 2bb22X2因此 a 2，故C的方程为y 1.2(2)设 l : yx t , M(x,y) , N(X2, y2)，则D(O,t),|DM | (X!0)2(y1t)2才和,|DN| (x20)2(y2t)2x?|.2y x t与XT

25、y21联立得3x2 4tx 2t2 20.当厶 8(3 t2)0 时，即.3 剟 1 3 时，x1x2由(1)得 A(0, 1) , B(0,1)，所以 |DADB| |t 1|c|t 1| |t2等式 |DM|gDN| |DA|gDB| 可化为 辿U 1121|.3因为t 1，所以DA |g DB 3 4.| DM |c| DN |31221. (12 分)已知函数 f (x)-x Inx 1 .2(1 )讨论函数 f (x)的单调性;(2)设 g(x) - x2ax Inx，证明：曲线 y g(x)没有经过坐标原点的切线.2【解答】解：(1) f (x)定义域为(0,) , f (x)(X 1)(x 1.X当0 x 1时，f(X)0 ,X 1时，f(X)0 .于是 f (x)在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增.(2)因为 g(x)定义域为(0,),所以y轴不是曲线 y g(x)的切线.y轴时，设 y kx 是曲线 y g(x)的切线，切点是(冷,y0).因为 g (x) x2a1,x3由(1)知 f(x)f (1)-0 ,2【解答】解：(1 )由于 R , P4关于轴对称,故由题设知C 经过 R , P4两点，所以12b22t223所以|DM |gDN | 2|X1X2|4|1|31| .当经过坐标原点的直线不