排列与排列数公式13099

1、问题问题1 北京、上海、广州三个民航站之间的直达北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的单程飞机票？航线，需要准备多少种不同的单程飞机票？ 起点站 终点站北京上海北京北京上海上海广州广州广州 飞机票北京北京北京北京上海广州上海上海上海广州广州广州我们把上面问题中被取的对象叫做我们把上面问题中被取的对象叫做元素元素。 于是，于是，所提出的问题就是从所提出的问题就是从3个不同的元素个不同的元素a、b、c中中任取任取2个，然后按一定的顺序排成一列，个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。求一共有多少种不同的排列方法。12341 21 31 41 2 31 2

2、 41 3 21 3 41 4 21 4 33 43 23 13 1 23 1 43 4 23 2 13 2 43 4 12 12 32 42 1 32 1 42 3 12 3 42 4 12 4 34 14 24 34 1 24 1 34 2 14 2 34 3 14 3 2问题问题2 由数字由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？可以组成多少个没有重复数字的三位数？排列与排列数排列与排列数一、排列一、排列定义定义()nm mnnm从 个不同的元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出个元素的一个排列。 只有用相同的元素，又按相同的顺序组成的排列，才叫

3、做相同的排列相同的排列。1, , ,43a b c d例写出从个元素中，任取 个元素的不同排列。,abcabdacbacdadbadc解：,bacbadbcabcdbdabdc,cabcadcbacbdcdacdb,dabdacdbadbcdcadcb24共个二、排列数二、排列数定义定义()mnnm mnnmA从 个不同元素中，任取个元素的所有不同排列的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示。第1位第2位nn-12 (1)nn nA 第1位第2位第3位第m位nn-1n-2n-m+1 (1) (2)(1)mnn nnnmA三、排列数公式三、排列数公式：(1)(1)mnAn nn

4、m(1)3 2 1nnmnAn n 特别地，当时，有公式，!nnnnPn这是从 个不同元素中，取出全部元素参加排列的排列数，叫做 个不同元素的，记作全排列数。!0!()!0! 1mnnmnnm这样，A。注意，当时，分母就变成，为使公式仍然成立，规定特别。公式特点：公式特点：1mnm21n1 因因数数是是个个因因数数相相乘乘，最最后后一一个个共共有有；面面的的因因数数小小后后面面的的每每个个因因数数都都比比前前第第一一个个因因数数是是)(,)(k-4k 11例：计算：（ ）A)!()!(312 nn）（)()(2nm3m2m1 ）（各各式式：例例：用用排排列列数数表表示示下下列列)()(9m4m

5、1m2222 m）（61kk1k51k4k1k1k1)()()!()!()!( ）原原式式（)()!()!)()(2133212 nnnnnn）原原式式（11)-nm3m2m1 ()(）原原式式（12nmA)()(3m322)(m1)(m-1)(mm2 mm）原原式式（73mAxx 1893A4A例：解方程：8x91x8xNx *由由题题意意得得：)!(!)!(!x1094x883 且且)!()!(x 1012x81)!)()()!(xxx 891012x816 x的的个个位位数数例例：求求!100210 120524463221110 !,!,!,!,!,!4543210的的个个位位数数是是

6、! , !)(!5672n1nnn5n 时时，当当, 0此此时时个个位位数数是是4原原式式的的个个位位数数也也是是11121111118.(1)(1)!1 1! 2 2!10 10!(2)(2)(3)(2)(4)kknnnnnnnnmmmnnnnnn nnAnAn AnmAA 求证：，并求。求证：A求证：A求证：A(1) (1)!(1)!nnnnnn n证明：(2! 1!)(3! 2!)(4! 3!)(11! 10!)原式11! 1(2)(1)(2)(1)knAn nnnk(1)(2)(1)(1) 1nnnnk11knnA例：例：11121111118.(1)(1)!1 1! 2 2!10 1

7、0!(2)(2)(3)(2)(4)kknnnnnnnnmmmnnnnnn nnAnAn AnmAA 求证：，并求。求证：A求证：A求证：A11(3)(1)!nnnnAAnnn n(4)(1)(1)(1)(2)n nnmmn nnm左边(1)(1)(2)nmmn nnm (1)(1)1nnnm2211(1)!nnnnn A1mnA 右边例：例：11129(5)(1)!(1)!2!3!10!211(6)! (1)! (2)!(1)!(2)!nnnnkkkkkk求证：，并化简：。求证：1 1(5)(1)!(1)!nnnn 证明：111111111!2!2!3!3!4!9!10!原式2(6)!1 (1

8、)(1)(2)kkkkk左边1!(2)k k1111(1)!(1)!(1)!nnnnn1110! 22! (44)kkkk1(2)!kk2 111(2)!(1)!(2)!kkkk右边342(7)1! 2! 3!2! 3! 4! (1)! (2)!nnnn求和：1111112!3!3!4!(1)!(2)!nn解：原式112(2)!n21, 2,93例用中任意个不同数字构成三位数，共有几个不同三位数？399 8 7504 解：A363例从 个同学中，选 人任组长、副组长和干事，共有几种？366 5 4120 解：A45例安排 人分别当车工、钳工、刨工、铣工和油漆工，已知甲不能当钳工、油漆工，问有几

9、种方法？解法一：解法二：23434 3 3!72A 先考虑谁当钳工、油漆工，A14343 4!72A 先考虑甲，A四、几种特殊的排列四、几种特殊的排列1.1.优先排列优先排列5 6例人排一排，甲不在头，也不在尾，有几种排法？()特殊位置 头和尾解法一：2454480A A 解法二：()特殊元素 甲1545480A A 解法三：间接法65652480AA2.2.集团排列（捆绑法）集团排列（捆绑法）643例已知 男 女排成一排，男一起；女一起；男一起，女一起，分别有几种排法？3535720A A 432432288A A A 44(1)第一步：排男生有A44第二步：把男生捆绑在一起后看作一个整体，

10、有A576PP4444 共共有有3.3.间隔排列间隔排列743例已知 男 女排成一排，男不一起；女不一起；男不一起，女不一起，分别有几种排法？43451440A A 3434144A A 33(1)第一步：排女生有A444第二步：女生之间加上两端共有 个空位排男生，即A3434144A共有A844例已知 男 女排成一排，男不一起且女不一起，有几种排法？ 解：或4314421152A A A 4.4.有序排列有序排列95例已知 人比赛跑步，甲比乙快，有几种情形？解：甲比乙快和甲比乙慢的情形一样多，55/ 260A10, , , , ,a b c d e fa b c例，按顺序的排列有几种？663

11、3120AA解：1163例书架上有 本书，插入 本，要求不改变原顺序，有几种插法？99669 8 7504AA 解：2.(1)(2)(3)(4)七人站成一排照相有几种站法？若甲必须站在中间，有几种站法？若甲不能站两端，有几种站法？若甲、乙必须相邻，有几种站法？77(1)5040A 解：66(2)6720先将其余 人排好，再将甲插在中间即可。A1656(3)3600A A 6262(4)1440A 先合后分。A综合练习综合练习5.1, 2,95从中取出 个，组成无重复数字的五位数。规定奇数数字必须排在奇数位号，求这样的五位数的个数。解：偶数位上只能放偶数，而奇数位上皆可。23472520A A共

12、有个9.1 884穿有号运动衣的位运动员排成一排，其中号运动员必须排在号码比他大的运动员左边，共有几种排法？x解：设有 种排法，45, 6, 7,8x把号分别与号运动员互换位置，仍然分别得到种排法。8858!xA8064x10. 2534(1)(2)(3)(4)名教师， 名学生排二排照相，前排人，后排人。共有几种排法？两教师在前排？两教师相邻且在前排？教师甲在前排，乙在后排？解：本题关键在于将两排对应到一排。2535(2)720A A 125225(3)2480A A 将教师作为一个整体，先合后分，A115345(4)1440A A A 77(1)5040A 12. 104个同学排一队行走，要求女相邻，且既不走前面，又不走后面，问有几种排法？16456486400A A 解：A13.1, 2,7(1)(2)(3)用排成无重复数字的七位数。偶数不相邻，有几种排法？偶数一定在奇数位上？奇数位上一定是奇数，偶数位上一定是偶数？4345(1)A解： 间隔排列。A3444(2)4A先在个奇数位上排偶数。A4343(3) A A14. 38人坐 个位置，要求每人两旁都为空位，有几种？5解：由题意，有个空位。543只要在个空位之间的个间隔插入