第三章初值问题

1、1本章基本要求本章基本要求n掌握达朗贝尔公式、泊松公式及其物理意义掌握达朗贝尔公式、泊松公式及其物理意义n掌握半无限长问题的延拓法求解掌握半无限长问题的延拓法求解2n掌握非齐次方程问题的求解方法掌握非齐次方程问题的求解方法3.1 3.1 弦振动方程弦振动方程（一）齐次弦振动方程（达朗贝尔公式） 3)(),(,00022222xtuxuxtxuatutt定解问题的提出 齐次方程可以写为：齐次方程可以写为：0()() (, )aau x ttxtx 我们解方程一般是希望解出通解，再根据条件得到特解，但偏微分方程的通解形式一般很难界定，也较难求。研究表明，对无界情况的定解问题（波动方程和热传导）可以

2、求出通解，然后通过初始条件得到特解。4为常数，则方程化为、，使得和若能找到BAxatBxatA),(),(研究发现，当作变量代换研究发现，当作变量代换 此时通过方程两边积分，即可求出方程的通解。5atxatx,0u可满足前述要求，此时可满足前述要求，此时111222()txatxa txatx111222()txatxa txatx 0u0),(2u(1) (1) 通解通解对对 积分：积分：(, )( )u x tf 两边再对两边再对积分：得到积分：得到6212( )( )( )( )ufdfff 222220() (, )au x ttx积分常数依赖于积分常数依赖于 上式中上式中f f1 1

3、为任意二次连续可微函数为任意二次连续可微函数7)()(),(21fftxu故同理交换积分顺序，同样可以得到同理交换积分顺序，同样可以得到)()()()(),(211ffdfftxu此时此时f f2 2为任意二次连续可微函数为任意二次连续可微函数其中其中f1f1和和f2f2均为任意二次连续可微函数均为任意二次连续可微函数代入，得到将atxatx,)()(),(21atxfatxftxu上式即为通解形式上式即为通解形式确定待定函数的形式确定待定函数的形式无限长，即无边界条件无限长，即无边界条件初始条件为初始条件为0( )tux 和和0( )ttux ()x (2)(2)达朗贝尔公式达朗贝尔公式 1

4、2( )( )( )f xfxx 12( )( )( )afxafxx 8即即上面第二式两端对上面第二式两端对x积分，得到积分，得到xcdaxfxf021)(1)()(将上式和前面第一式联立，可求出将上式和前面第一式联立，可求出9xxcdaxxfcdaxxf02012)(21)(21)(2)(21)(21)(即即atxatxcdaatxatxfcdaatxatxf02012)(21)(21)(2)(21)(21)()()(),(21atxfatxftxu故atxatxdaatxatx)(21)()(21上式即为达朗贝尔公式上式即为达朗贝尔公式10（3 3）物理意义）物理意义先考虑先考虑u2=f

5、2（x-at）：）：当当t=t2（t2t1)时，时， u2=f2（x-at2）。）。 故波形故波形 u2=f2（x-at）随着时间推移，以常速度）随着时间推移，以常速度a向向x轴的正方向移动。我们称之为右行波。轴的正方向移动。我们称之为右行波。当当t=t1时，时， u2=f2（x-at1）；）； 同理同理 u1=f1（x+at）为一个以常速度）为一个以常速度a向向x轴的负方轴的负方向传播的行波。称为左行波。向传播的行波。称为左行波。 故达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行故达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是波形式分别向两个方向传播出去，其

6、传播速度正好是弦振动方程中的常数弦振动方程中的常数a，故此方法又称为行波法。，故此方法又称为行波法。 从从达朗贝尔公式达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。额外的形式来。 而这种演化又受到边界条件的限制。而这种演化又受到边界条件的限制。 这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。解时的重要性。1112（4 4）依赖区间、决定区域、影响区域）依赖区间、决定区域、影响区域 从达朗贝尔公式还可以

7、看出，解在点（从达朗贝尔公式还可以看出，解在点（x，t）的数）的数值仅依赖于区间值仅依赖于区间x-at,x+at上的初始条件，而与其他点上的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。称上的初始条件无关。称x-at,x+at为点（为点（x，t）的）的依赖依赖区间区间，它是由过点（，它是由过点（x，t）的两条斜率分别为）的两条斜率分别为1/a的直的直线在线在x轴所截得的区间，如下图所示。轴所截得的区间，如下图所示。tOx(x,t)x-atx+at13 当当t=0时，取时，取x轴上的区间轴上的区间x1,x2，过点，过点x1做斜率为做斜率为1/a的直线的直线x=x1+at，过点，过点x2做斜率为做斜率为-

8、1/a的直线的直线x=x2-at，两，两直线与区间直线与区间x1,x2围成一个三角区域（如下图所示），该围成一个三角区域（如下图所示），该区域内的任一点（区域内的任一点（x，t）的依赖区间都落在）的依赖区间都落在x1,x2内，即内，即解在这个区域内的数值完全由区间解在这个区域内的数值完全由区间x1,x2上的初始条件决上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称为区间定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称为区间x1,x2的的决定区域决定区域。tOxx1x2x=x1+atx=x2-at14 若在区间若在区间x1,x2的两端作直线的两端作直线x=x1-at和和x=x2+at，则，则经

9、过时间经过时间t后，受后，受x1,x2上初始扰动影响的区域为上初始扰动影响的区域为 在此区域外的波动不受在此区域外的波动不受x1,x2上初始扰动的影响，上初始扰动的影响，这个区域称为这个区域称为 x1,x2的的影响区域影响区域。)0(21tatxxatxtOxx1x2x=x2+atx=x1-at15从上面的讨论可以看出，直线族从上面的讨论可以看出，直线族 在对波动方程的讨论中起着很重要的作用，我们称在对波动方程的讨论中起着很重要的作用，我们称这两族直线为波动方程的特征线。这两族直线为波动方程的特征线。 在特征线在特征线x+at=c1上，左行波上，左行波u1=f1（x+at）的振幅取常）的振幅取

10、常数值数值f1（c1），同样在特征线），同样在特征线x-at=c2上，右行波上，右行波u2=f2（x-at）的振幅取常数值的振幅取常数值f2（c2），且这两个数值随特征线的移动），且这两个数值随特征线的移动（即常数（即常数c1和和c2的改变）而改变，所以波动实际上是沿着特的改变）而改变，所以波动实际上是沿着特征线传播的。征线传播的。（5 5）特征线及二阶线性偏微分方程的分类）特征线及二阶线性偏微分方程的分类常数atx16 我们把前面所用的变量代换称为特征变换，而行波我们把前面所用的变量代换称为特征变换，而行波法又称为特征线法。法又称为特征线法。 很容易发现，特征线很容易发现，特征线常数atx是

11、常微分方程是常微分方程0)()(222dtadx的积分曲线族。的积分曲线族。故上面的方程又称为偏微分方程的特征方程。故上面的方程又称为偏微分方程的特征方程。170222222FuyuExuDyuCyxuBxuA0)(2)(22dxCBdxdydyA对于一般的二阶线性偏微分方程对于一般的二阶线性偏微分方程来说，它的特征方程为来说，它的特征方程为 这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程的特征这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程的特征曲线。可以看到，特征线仅与二阶导数项的系数有关，曲线。可以看到，特征线仅与二阶导数项的系数有关，而与低阶项系数无关。而与低阶项系数无关。 但是，并不是任意二阶线性偏微

12、分方程都有两族实但是，并不是任意二阶线性偏微分方程都有两族实的特征线。的特征线。1802 ACB02 ACB02 ACB每一点不存在实的特征线每一点不存在实的特征线每一点仅有一条实的特征线每一点仅有一条实的特征线每一点有两条实的特征线每一点有两条实的特征线0)(2)(22dxCBdxdydyA椭圆型方程椭圆型方程抛物型方程抛物型方程双曲型方程双曲型方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程热传导方程热传导方程波动方程波动方程反映一些属于稳定、平衡状态的物理量的分布状况反映一些快速消耗、扩散的物理量的分布状况反映一些按一定速度扩散的、可逆的物理量的分布状况（二）半无限长弦的自由振动 19)(),(00 ,00

13、0022222xtuxuuxtxuatuttx一端固定的弦 延拓法求解延拓法求解第一类边界条件，作奇延拓第一类边界条件，作奇延拓令令( )(0)( )()(0)xxxxx ( )(0)( )()(0)xxxxx 20前述函数满足前述函数满足21)(),(,00022222xtuxuxtxuatutt则则atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),( 22当当x=0 x=0时时atatdaatattu)(21)()(21), 0( 00)(21)(21)()(21atatdadaatatatatdada00)(21)(210 x atx atx atatxxatxatdtx aau

14、 x txatatxdtx aa 11 ()()( )(/ )22( , )11 ()()( )(/ )22 23的部分为原问题的解故0),( txu（三）非齐次方程的解（强迫振动） 24)(),(,0),(0022222xtuxuxttxfxuatutt解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t) 25)(),(,001012122212xtuxuxtxuatuttu1（x，t）和u2（x，t)分别满足 0, 0,0),(02022222222tttuuxttxfxuatu和 （零输入） （零状态） u1（x，t）可直接由达朗贝尔公式求得；u2（x，t）由冲量原理（齐次化原理）求解；冲

15、量定理法的基本思想将持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；将持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；作用时间作用时间0t0t， 由叠加原理，可将持续力由叠加原理，可将持续力f f（x x，t t）引起）引起tttxwtxu002);,(),(lim26 的振动视为一系列前后相继的瞬时力的振动视为一系列前后相继的瞬时力f f（x x，）（）（0t0t）所引起的振动所引起的振动w w（x x，t t；）的叠加：）的叠加：将持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加。将持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加。受外力。代表单位质量的弦上所定解问题中，),(),(txFtxf 从物理的角度考虑，力对系

16、统的作用对于时间的积累是给系统一定的冲量，短时间间隔内f（x、 ）对系统的作用为f（x、 ）* ，表示为内的冲量，此冲量使系统的动量（速度）有一改变量（ f（x、 ）是单位质量弦所受外力，动量在数值上等于速度）。将内速度的改变量看成在t= 时刻一瞬间集中得到，在的其余时间认为没有冲量的作用（无外力作用）。2728则内瞬时力f（x、 ）引起的振动的定解问题为,),(022222xfwwtxwatwttt29为了方便求解，可设w（x，t；）=v（x，t； ）* ),(022222xfvvxvatvttt则v满足：30此时tttxwtxu002);,(),(limtttxv00);,(limtdtx

17、v0);,(。即可求出故只需求出(x,t)utxv2);,(31),(00022222xfvvxvatvttt设t=t-，则v满足：由达朗贝尔公式有),(21);,(atxatxdfatxv)()(),(21taxtaxdfa数学检验数学检验：初始条件：初始条件：0000tuvd 00lim( , )ttttuu x t00lim( , ; )ttv x tdt积分号下的求导公式：积分号下的求导公式：( )( )( )( )( )( )( ; )( ; ) ;( ) ; ( )ttttdttg tdg tdg ttg ttdtttt 3200( , )( , ; )( , ; )( , ; )

18、ttttu x tv x tdvx tdv x t tt则 ttaxtaxddfatxu0)()(2),(21),(0( , ; ).ttvx td00ttu非齐次方程非齐次方程0( , )( , ; )( , ; )ttttttux tvx tdvx t t220()( , )( , )tttxxttxxua uva vdf x tf x t 0( , ; )( , )tttvx tdf x t0( , )ttvf x 33以上这种用瞬态冲量的叠代替持续作用力来解决问以上这种用瞬态冲量的叠代替持续作用力来解决问题的方法，称为题的方法，称为冲量原理冲量原理。数学上称为。数学上称为齐次化原理齐次

19、化原理。0(, )(, ;)tu x tv x td 所以有所以有齐次化原理求解过程小结： 340, 00),(0022222tttuuttxfxuatu设有定解问题为 为参数）为定解问题（其中若有);,(txv),(, 0,022222xftvvtxvatvtt的解，则tdtxvtxu0);,(),(齐次化原理不仅可用于非齐次波动方程的初始值问题，还可用于混合问题及其他方程（如热传导方程）的定解问题。)()(),(21);,(taxtaxdfatxv其中例 35xtuuxtxtxututtsin, 0,0sin002222解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t) txtxdtxus

20、in21),(1u1（x，t）直接由达朗贝尔公式求出：)cos(21)cos(21txtx36u2（x，t）由冲量原理（齐次化原理）求解；)cos(21)cos(21sintxtxxt ttxtxddtxu0)()(2sin21),(),(),(),(21txutxutxu则xtsin3.2 3.2 一维热传导方程一维热传导方程（一）齐次方程（柏松公式） 37)(,00222xuxtxuatut定解问题的提出 detatxutax224)()(21),(解：（柏松公式） 38物理意义物理意义 设细杆在设细杆在x轴上，在杆上取一点轴上，在杆上取一点x0，现假设初始温，现假设初始温度分布为度分布为

21、 而根据柏松公式，细杆温度分布为而根据柏松公式，细杆温度分布为),(, 0),(,)(00000 xxxxxxux02ucQ则初始时刻所需热量cQu20则detatxutax224)()(21),(xx0-x0+x039 根据当前条件，可以写为根据当前条件，可以写为00224)(021),(xxtaxdeutatxu00224)(4xxtaxdetacQ 由积分中值定理，有由积分中值定理，有taxetacQtxu2204)(42),()(20004)(220 xxetacQtax)(),)()(baabfdxxfba积分中值定理：40点，量只作用于时，作用于小段上的热当00 xtaxxetac

22、Qtxu2204)(2),(此时温度分布taxxetacQtxu2204)(2),(则温度分布00, 0,)(xxxxx）（当初始条件为dcQ)(初始时刻所需热量41taxetadtxu224)(2),(）（即 故无穷长杆可以看成由无穷多个点组成，故无穷长杆可以看成由无穷多个点组成，每个点有一个发出热量为每个点有一个发出热量为Q的初始点热源。的初始点热源。（二）半无限长细杆问题的求解 42)(00 ,000222xuxuxtxuatutx一端绝热的细杆 延拓法求解延拓法求解第二类边界条件，作偶延拓第二类边界条件，作偶延拓令令430),(0),()(xxxxx其满足其满足)(,00222xuxtxuatut44此问题可直接由泊松公式求解此问题可直接由泊松公式求解detatxutax224)()(21),( )()(2104)(04)(2222dedetataxtax)()(2104)(04)(2222dedetataxtax04)(4)()(212222deetataxtax45而当而当x=0 x=0时时方程及初始条件的解满足原定解问题的大于 0),( tx