第八章动静法

1、第八章第八章 动静法动静法第八章第八章 动静法动静法第八章第八章 动静法（动静法（达朗贝尔原理达朗贝尔原理 ）主要研究内容主要研究内容惯性力与质点的达朗贝尔原理惯性力与质点的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 用动静法解质点系统动力学用动静法解质点系统动力学 问题的问题的应用举例应用举例 定轴转动刚体轴承的附加动反力定轴转动刚体轴承的附加动反力 第八章第八章 动静法动静法8 81 1 惯性力与质点的达朗贝尔原理惯性力与质点的达朗贝尔原理动静法的原理是应用静力学研究平衡问题的方法去求解动力学问题。动静法的原理是应用静力学研究平衡问题的方法去求解动力学问题。 惯性力的概念惯性力的概

2、念 当质点受力改变其运动状态时，由于质点的惯性当质点受力改变其运动状态时，由于质点的惯性, ,质点必将给施力质点必将给施力体一反作用力体一反作用力, ,这个反作用力称为质点的惯性力。惯性力方向与质这个反作用力称为质点的惯性力。惯性力方向与质点加速度的方向相反，作用在使质点改变运动状态的施力物体上。点加速度的方向相反，作用在使质点改变运动状态的施力物体上。 小车获得加速度小车获得加速度a的惯性力的惯性力Fg 球球M在水平面内作匀速圆周运动的惯性力在水平面内作匀速圆周运动的惯性力 只有当质点的运动状态发只有当质点的运动状态发生改变时才会有惯性力。生改变时才会有惯性力。第八章第八章 动静法动静法8

3、81 1 惯性力与质点的达朗贝尔原理惯性力与质点的达朗贝尔原理 质点的动静法质点的动静法 设一非自由质点的质量为设一非自由质点的质量为m，加速度为，加速度为a，作用在这个质点上的主动，作用在这个质点上的主动力为力为F、约束反力为、约束反力为FN，如图所示。由质点动力学基本方程得，如图所示。由质点动力学基本方程得上式移项后，得上式移项后，得 令令 Fg=-m a 则得则得 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理: :质点在运动的每一瞬时，作用质点在运动的每一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上的惯性力，在形式上构成一平衡力系。的惯性力，在形式上

4、构成一平衡力系。第八章第八章 动静法动静法8 81 1 惯性力与质点的达朗贝尔原理惯性力与质点的达朗贝尔原理 动静法：动静法：质点的达朗伯原理是用静力学的方法来研究动质点的达朗伯原理是用静力学的方法来研究动力学问题力学问题, ,故又称为动静法故又称为动静法 式中，式中，Fg=-ma，称为切向惯性力，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）称为法向惯性力（也称离心力）负号负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。 若质点沿已知平面曲线运动，则可将式若质点沿已知平面曲线运动，则可将式 投影到自然轴上，得投影到自然轴上，得

5、 第八章第八章 动静法动静法8 81 1 惯性力与质点的达朗贝尔原理惯性力与质点的达朗贝尔原理 质点质点系系的动静法的动静法 对由对由n个质点组成的非自由质点系个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量设其中任一质点的质量为为mi,某瞬时加速度为某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力，作用其上的主动力F，约束反力，约束反力Fni，假想在该质点上加上惯性力，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝，由质点达朗贝尔原理，则尔原理，则如果假想地把相应的惯性力加在每一个质点上，则质点如果假想地把相应的惯性力加在每一个质点上，则质点系的主动力、约束反力和惯性力在形式上组成平衡力系。系的主

6、动力、约束反力和惯性力在形式上组成平衡力系。就是就是质点系动静法质点系动静法，也称，也称质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理。第八章第八章 动静法动静法8 82 2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 刚体平移时惯性力系的简化刚体平移时惯性力系的简化 当刚体平移时当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬时刚体质心加速度为时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为，则该瞬时体内任一质量为m的质点的质点的加速度的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。刚体内每一点都加上相应的惯性力，由

7、静力学知刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平该空间平行力系可简化为过质心的合力，即行力系可简化为过质心的合力，即结论结论 对平移的刚体，惯性力系可简化为通过质对平移的刚体，惯性力系可简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与质心加速度心的合力，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，合力的方向与质心加速度的方向相反。的乘积，合力的方向与质心加速度的方向相反。第八章第八章 动静法动静法8 82 2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 刚体绕固定轴转动时惯性力系的简化刚体绕固定轴转动时惯性力系的简化 设定轴转动刚体的质量对称面为设定轴转动刚体的质量对称面为S,与转轴的与转轴的交

8、点记为交点记为O，某瞬时角速度和角加速度分别，某瞬时角速度和角加速度分别为为和和，转向如图所示，转向如图所示,质心为点质心为点C。取。取S内内任一质量为任一质量为mi的点的点,记该点加速度为记该点加速度为ai,则该则该点的惯性力为点的惯性力为Fgi=-miai,则则Fgi= Fgi Fngi，其中其中Fgi=-mi ai， Fngi=-mi ani。对对S内所有点内所有点,组成平面一般力系。由静力学知组成平面一般力系。由静力学知,向点向点O进行简化进行简化,可得到一个可得到一个力和一个力偶，该力为原力系的主矢量，即惯性力系的主矢为力和一个力偶，该力为原力系的主矢量，即惯性力系的主矢为该力偶的力

9、偶矩等于惯性力系对点该力偶的力偶矩等于惯性力系对点O的主矩为的主矩为 = maC= Jz第八章第八章 动静法动静法8 82 2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化结论结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，且力的作用线通过转轴；度方向相反，且力的作用线通过转轴；该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘该

10、力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结简化的结果如图果如图b)b)所示。所示。第八章第八章 动静法动静法8 82 2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 将惯性力系向将惯性力系向S上的质心上的质心C简化简化,由于由于主矢与简化主心的位置无关主矢与简化主心的位置无关,而而主矩与简化中心的位置有关主矩与简化中心的位置有关。其结果。其结果 FgR的大小和方向不变，只是其作用线通过质心的大小和方向不变，只是其作用线通过质心C。主矩与简化中心位置有关主矩与简化中心位置有关,大小发生了变化，转向仍与

11、角加速度大小发生了变化，转向仍与角加速度转向相反，以转向相反，以MgC表示。表示。简化结果如图简化结果如图c)所示。所示。JC为刚体对过质心且与转轴为刚体对过质心且与转轴z平行的轴的转动惯量平行的轴的转动惯量第八章第八章 动静法动静法8 82 2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化若转轴过质心，即刚体绕过质心的轴作匀若转轴过质心，即刚体绕过质心的轴作匀速转动，惯性力系向速转动，惯性力系向S内任一点简化的主矢内任一点简化的主矢和主矩都等于零和主矩都等于零,则惯性力系是一平衡力系。则惯性力系是一平衡力系。当转轴当转轴z通过质心，惯性力系的简化结果为一力偶，该力通过质心，惯性力系的简化结果为一力偶

12、，该力偶的力偶矩偶的力偶矩当刚体匀速转动当刚体匀速转动,转轴不通过质心转轴不通过质心C时时,惯性力系简化为过惯性力系简化为过简化中心的力。即简化中心的力。即其大小为其大小为m rC2，其中，其中rC为质心到简化中心为质心到简化中心O的距离，方的距离，方向与质心向与质心C的法向加速度方向相反。的法向加速度方向相反。第八章第八章 动静法动静法8 82 2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 刚体作平面运动时惯性力系的简化刚体作平面运动时惯性力系的简化 取质量对称面取质量对称面S，如图所示。取质心，如图所示。取质心C作为基点，设作为基点，设某瞬时质心加速度为某瞬时质心加速度为aC，平面图形的角加速

13、度为，平面图形的角加速度为，转向如图。将平面内的惯性力系向质心转向如图。将平面内的惯性力系向质心C简化，由简化，由两部分组成：一是随质心平动而产生的惯性力系，两部分组成：一是随质心平动而产生的惯性力系，可简化为过质心的一个力；二是绕质心转动而产生可简化为过质心的一个力；二是绕质心转动而产生的惯性力系，可简化一个力偶。即的惯性力系，可简化一个力偶。即MgC = JC 结论结论 对有质量对称面的刚体，且该刚体平行于质量对称面作平面运动对有质量对称面的刚体，且该刚体平行于质量对称面作平面运动时，其惯性力系可以简化为在质量对称面内的一个力和一个力偶。时，其惯性力系可以简化为在质量对称面内的一个力和一个

14、力偶。该力该力作用线通过质心作用线通过质心, ,大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积, ,方向与质心方向与质心加速度的方向相反；加速度的方向相反；该力偶的力偶矩等于对通过质心且垂直于质量对称该力偶的力偶矩等于对通过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积面的轴的转动惯量与角加速度的乘积, ,转向与角加速度的转向相反。转向与角加速度的转向相反。第八章第八章 动静法动静法8 83 3 用动静法解质点系统动力学问题的用动静法解质点系统动力学问题的应用举例应用举例 用动静法求解系统的动力学问题的解题步骤为：用动静法求解系统的动力学问题的解题步骤为： 明确

15、指出研究对象；明确指出研究对象； 正确地进行受力分析，画出所有主动力和外约束反力；正确地进行受力分析，画出所有主动力和外约束反力； 正确地画出惯性力系的等效力系；正确地画出惯性力系的等效力系； 根据平衡条件列出研究对象在此瞬时的平衡方程；根据平衡条件列出研究对象在此瞬时的平衡方程； 求解平衡方程求解平衡方程第八章第八章 动静法动静法8 83 3 用动静法解质点系统动力学问题的用动静法解质点系统动力学问题的应用举例应用举例例例8-1 测定列车的加速度测定列车的加速度,采用一种称为加速度测定摆采用一种称为加速度测定摆的装置。这种装置就是在车厢顶上用绳悬挂一重球的装置。这种装置就是在车厢顶上用绳悬挂

16、一重球,如如图所示。当车厢作匀加速直线运动时图所示。当车厢作匀加速直线运动时,摆将偏向一方，摆将偏向一方，与铅垂线成不变的角与铅垂线成不变的角,求车厢加速度求车厢加速度与与的关系。的关系。第八章第八章 动静法动静法8 83 3 用动静法解质点系统动力学问题的用动静法解质点系统动力学问题的应用举例应用举例 解解 (1)选取研究对象，画受力图选取研究对象，画受力图 以摆球以摆球M为研究对象为研究对象,并视为质点。它受有并视为质点。它受有重力重力P和绳的拉力和绳的拉力T的作用。的作用。 (3) (3)列平衡方程，求未知量。由汇交力系的平衡方程得列平衡方程，求未知量。由汇交力系的平衡方程得 第八章第八

17、章 动静法动静法8 83 3 用动静法解质点系统动力学问题的用动静法解质点系统动力学问题的应用举例应用举例例例8-2 质量为质量为m的汽车以加速度的汽车以加速度a作水平直线运动，如图所作水平直线运动，如图所示。汽车的重心离地面的高度为示。汽车的重心离地面的高度为h，汽车的前后轮到重心垂，汽车的前后轮到重心垂线的距离分别等于线的距离分别等于b和和c，试求汽车前后轮的正压力以及欲，试求汽车前后轮的正压力以及欲保证前后轮正压力相等时汽车的加速度。保证前后轮正压力相等时汽车的加速度。第八章第八章 动静法动静法8 83 3 用动静法解质点系统动力学问题的用动静法解质点系统动力学问题的应用举例应用举例Fg

18、R= =ma , , 方向与加速度方向相反，如图所示。方向与加速度方向相反，如图所示。 由动静法可知以上这些力在形式上组由动静法可知以上这些力在形式上组成平衡力系，列平衡方程，即有成平衡力系，列平衡方程，即有欲保证汽车前后轮的压力相等，即欲保证汽车前后轮的压力相等，即FNA=FNB，由此求得汽车的加速度为，由此求得汽车的加速度为 第八章第八章 动静法动静法8 83 3 用动静法解质点系统动力学问题的用动静法解质点系统动力学问题的应用举例应用举例例例8-3 一圆锥摆，如图所示。质量一圆锥摆，如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的另一端系在固定点的绳上，绳的另一端系在固定点O，并与铅垂线成，并与铅垂线成=60角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度与绳子的张力大小。速度与绳子的张力大小。 第八章第八章 动静法动静法8 83 3 用动静法解质点系统动力学问题的用动静法解质点系统动力学问题的应用举例应用举例解解