应用概率统计之随机变量数字特征

1、应用概率统计之随机变量数字特征第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的全部概率特性也就知道了的全部概率特性也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的较难确定的. 而且在一些实际应用中，人们而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了要知道它的某些数字特征就够了.例如例如考察考察某型号电视机

2、的质量：某型号电视机的质量： 平均寿命平均寿命1800018000小时小时200200小时小时. . 考察一射手的水平考察一射手的水平: 既要看他的平均环数是既要看他的平均环数是否高否高, 还要看他弹着点的范围是否小还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的即数据的波动是否小波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征描述随机变量在某些方面的重要特征, , 这些数这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义字特征在理论和实践上都具有重要意义. .q

3、r.v.的平均取值 数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况 方差本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性 都可用数字数字来描写4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望例.,100：乙击中的环数：甲击中的环数下：次，他们的射击结果如甲、乙两人各射击YX平较高？试问哪一个人的射击水为甲、乙的平均环数可写5 . 96 . 0103 . 091 . 0810060103091081 . 93 . 0105 . 092 . 081003010509208的好，甲的射击水平要比乙因此，从平均环数上看5 . 96 . 0103 . 091 . 08EX1 . 93 . 0105 . 092 .

4、08EYX8910P0.10.30.6Y8910P0.20.50.3用分布列表示设 X 为离散 r.v. 其分布列为, 2 , 1,)(kpxXPkk若无穷级数1kkkpx其和为 X 的数学期望，记作 E( X ), 即1)(kkkpxXE1. 数学期望的定义数学期望的定义绝对收敛,则称定义定义1设连续 r.v. X 的 d.f. 为)(xf若广义积分dxxxf)(绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望记作 E( X ), 即dxxxfXE)()(定义定义22 0.40 0.32 0.30.2EX P86.1 设随机变量 X 的分布律为()E X求例例 X B ( n , p ), 求 E(

5、 X ) .解解nkknkknppkCXE0)1 ()(nkknkppknknnp1)1()1(1)1 ()!()!1()!1(10) 1(1)1 (nkknkknppCnpnp特例 若X B ( 1 , p ), 则 E(X) p例例 X P (), 求 E( X ) .)(PX, 0, 2 , 1 , 0,!)(kekkXPk00!)(kkkkekkkpXE11)!1(kkke0!kkkeee例例3 设设r.v X服从几何分布，服从几何分布，P(X=k)=p(1- -p)k-1, k=1,2,，其中其中0p1,求求E(X)解：解：记记q=1- -p11)(kkkpqXE1)(kkqp1)(

6、kkqp)1(qqpp1求和与求导求和与求导交换次序交换次序等比级数等比级数求和公式求和公式0, 00,)(xxexfx0)(dxexXEx例例 X E () , 求 E( X ) .|00dxexexx1|10 xe例例 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .解解dxexXEx222)(21)(dueuuux2221）（令常见分布的数学期望常见分布的数学期望分布期望概率分布0-1分布pXPpXP1)0() 1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPk分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布其它,

7、 0,1)(bxaabxf2ba E()其它, 0, 0,)(xexfx1N(, 2)222)(21)(xexf注意注意 不是所有的不是所有的 r.v.都有数学期望都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为xxxf,)1 (1)(2dxxxdxxfx)1 (|)(|2但发散它的数学期望不存在!2.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的的分布，我们需要计算的不是不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比的某个函数的期望，比如说如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？如何计算随机变量函数的

8、数学期望如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是一种方法是: 因为因为g(X)也是随机变量，故应也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由有概率分布，它的分布可以由X的分布求出来的分布求出来. 一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，就可的分布，就可以按照期望的定义把以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的 .是否可以不求是否可以不求g(X)的分布而只的分布而只根据根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的下面的基本公式

9、指出，答案是肯定的. 公式的重要性在于公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就的分布就可以了可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很这给求随机变量函数的期望带来很大方便大方便.q 设离散 r.v. X 的概率分布为, 2 , 1,)(ipxXPii 若无穷级数1)(iiipxg绝对收敛，则1)()(iiipxgYE (1) Y = g(X ) 的数学期望的数学期望q 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x)dxxfxg)()(绝对收敛, 则dxxfxgYE)()()(若广义积分4 .13P86.1 设

10、随机变量 X 的分布律为)53(2XE求3 . 05233 . 05034 . 05)2(3)53(2222XE 0,00,)(xxexfx220( )( )xxxE Yef x dxee dx310313 xe例 设随机变量 X 的概率密度为求Y = e2X 的数学期望. 市场上对某种产品每年需求量为 X (t)，X U (2000,4000), 每出售1t可赚3万元 , 若售不出去，则每台需保管费1万元，问应该组织多少货源, 才能使平均利润最大？最大期望值为多少？ 解解其它, 0,40002000,20001)(xxfX设组织n t货源, 利润为 Y 显然，2000 n 0，引入新的随机变量)()(*XDXEXX验证E (X* )=0，D (X* )=10)()()(1)()(*)(XEXEXDXDXEXEXE1)(1)()(1XDDXXEXDXD*)(XD标准化随机变量标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X) 0, 则称)()(XDXEXX为 X 的标准化随