第四章 随机变量的数字特征

1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵第一节第一节 数学期望数学期望:1定定义义kkkkkkpxpx 11绝绝对对收收敛敛，则则称称级级数数若若级级数数为随机变量为随机变量X的数学期望，简称期望，记为的数学期望，简称期望，记为E(X)，即，即 kkkpxXE 1)(.21 X ，的的分分布布律律为为设设离离散散型型随随机机变变量量 kpxPXkk dxxxfXEXEXdxxxfdxxfxxfX)()( )()(,)()( ，即即数数学学期期望望

2、，记记为为的的为为则则称称积积分分绝绝对对收收敛敛若若，具具有有概概率率密密度度设设连连续续型型随随机机变变量量上一页上一页下一页下一页返回返回 E(X)是一个实数，形式上是是一个实数，形式上是X的可能值的加权的可能值的加权平均数，实质上它体现了平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称取值的真正平均。又称E(X)为为X的平均值，简称均值。它完全由的平均值，简称均值。它完全由X的分布的分布所决定，又称为分布的均值所决定，又称为分布的均值.上一页上一页下一页下一页返回返回例例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有产品有60%的把握按定价

3、售出，的把握按定价售出，20%的把握打折售出的把握打折售出及及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为的利润分别为5元，元，2元和元和-4元。问厂家对每件产品可元。问厂家对每件产品可期望获利多少？期望获利多少？解解: 设设X表示一件产品的利润表示一件产品的利润(单位：元单位：元),X的分布的分布率为率为X的数的数学期望学期望:（元）（元）（6 . 22 . 042 . 026 . 05)( XE虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的

4、。元，还是有利可图的。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2： 设设X服从参数为服从参数为p的（的（0-1）分布，求）分布，求E(X)。解：解： X的分布律为的分布律为0p1,q=1-pppqXE 10）（则则常用随机变量的数学期望：常用随机变量的数学期望：上一页上一页下一页下一页返回返回例例3： 设设Xb(n，p)，求，求E(X)。解解 ： X的分布律为的分布律为qqnkqpCkXPknkkn 1.10 ，则：则：knknkknkknknqpknknkqpkCXE 10）！（！）（knknkqpknknnp 1111）！）！（）！（npqpnpqpCnpnknknkkn 11111）（上一页

5、上一页下一页下一页返回返回。的的泊泊松松分分布布，求求服服从从参参数数为为设设例例)(:4XEX eekekekekXEkkekXPXkkkkkkk*11.10:1100）！（）！（！）（则则，！的的分分布布律律为为解解上一页上一页下一页下一页返回返回例例5 设设XU(a，b)，求，求E(X)。 其其他他的的概概率率密密度度为为解解 01)(:bxaabxfX21)(badxabxXEba 上一页上一页下一页下一页返回返回).()(:62XENX，求，求，设设例例 dxexXEx22221)(: ）（解解 dtetXEtxt 2221)(）（，得得换换元元， dtedttett2222221上

6、一页上一页下一页下一页返回返回定理定理1: 设设Y是随机变量是随机变量X的函数，即的函数，即Y=g(X),g(x)是是连续函数。连续函数。.21 )1(，分布律为分布律为是离散型随机变量，且是离散型随机变量，且设设， kpxXPXkkkkkpxgXgEYE 1)()()(绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若kkkpxg 1)()()2(xfX概概率率密密度度是是连连续续型型随随机机变变量量，有有设设绝绝对对收收敛敛，则则有有若若dxxfxg)()( dxxfxgxgEYE)()()()(随机变量函数的数学期望：随机变量函数的数学期望：上一页上一页下一页下一页返回返回设设X是连续型随机变量，且是连续

7、型随机变量，且y= =g(x)满足第二章中定满足第二章中定理的条件。则由定理的结论知理的条件。则由定理的结论知Y Y的概率密度为的概率密度为 其其它它 0 )()()( yyhyhfyfXY证明证明dyyhyhyfdyyyfYEXY)()()()( 于是于是)(0)(yhxyh 令令时，时，当当时时当当0)( yh dxxfxgdyyhyhyfYEX)()()()()( dxxfxgYE)()()(综综合合以以上上两两式式，即即得得证证上一页上一页下一页下一页返回返回推广推广： 设设Z是随机向量（是随机向量（X,Y）的函数，即）的函数，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）是连续函数）

8、.21 ),()1(，分分布布律律为为是是离离散散型型随随机机向向量量，且且若若， jipyYxXPYXijji时时，有有则则当当， ijjijipyxg11)(ijjijipyxgYXgEZE 11)(),()(，有有概概率率密密度度为为连连续续型型随随机机向向量量且且具具若若),(),()2(yxfYX 时时，），（），（则则当当dxdyyxfyxg dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(有有：上一页上一页下一页下一页返回返回例例7： 设圆的直径设圆的直径XU(a,b)，求圆的面积的期望。，求圆的面积的期望。，则则设设圆圆的的面面积积为为解解24:XAA 式有式有则由定理则

9、由定理1 其其他他）（的的概概率率密密度度为为 01bxaabxfXX）（222212 14)4()(aabbdxabxXEAEba 上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理2： 设随机变量设随机变量X,Y的数学期望的数学期望E(X),E(Y)存在存在.；为为常常数数，则则设设ccEc )(；)()(XcEcXE )()()(YEXEYXE )()()( YEXEXYEYX ，则则有有是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量与与若若随机变量数学期望的性质：随机变量数学期望的性质：上一页上一页下一页下一页返回返回niiiXi，否否则则个个信信封封匹匹配配成成对对张张信信笺笺与与第第第第解解：引引

10、入入随随即即变变量量.21 0 1 例例8：将将n封不同的信的封不同的信的n张信笺与张信笺与n个信封进行随个信封进行随机匹配，记机匹配，记X表示匹配成对数，求表示匹配成对数，求E（X）。ninXPXXinii，而而则则有有，.21111 1:1 niiXEXE）（）（所所以以上一页上一页下一页下一页返回返回:1定定义义第二节第二节 方差方差的的偏偏离离程程度度。的的取取值值与与其其期期望望值值表表达达了了的的偏偏差差平平方方的的平平均均。与与其其“中中心心”方方差差是是随随机机变变量量)()(XEXXEX较较大大。取取值值比比较较分分散散，则则若若较较小小，取取值值比比较较集集中中，则则若若)

11、()(XDXXDX的的数数学学期期望望的的函函数数是是随随机机变变量量方方差差2)()()(XEXXgXXD ).()()()( )()(,)()( 222XXXDXEXEXDxVarXDXXEXEXEXEX 为为的标准差或均方差，记的标准差或均方差，记为随机变量为随机变量称称，即，即或或记为记为的方差的方差为为存在，则称存在，则称为随机变量，若为随机变量，若设设 上一页上一页下一页下一页返回返回为为离离散散型型随随机机变变量量，则则若若 X22)()()(:XEXEXD 计计算算方方差差时时，用用公公式式)(xfX率率密密度度为为为为连连续续型型随随机机变变量量且且概概若若kkkpXExXD

12、 12)()(的的分分布布律律为为，其其中中XkpxXPkk.21 dxxfXExXD)()()(:2 则则2222222)()()()()(2)()()(2)()(:XEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXD证明上一页上一页下一页下一页返回返回）。（的的方方差差求求其其它它）（的的密密度度函函数数为为设设随随机机变变量量例例XDXxxxxxfX: 010 101- 1:1 dxxxfXE）（）（解解：dxxfxXE）（）（ 2261:22 ）（）（）（所所以以XEXEXD6111102012 dxxxdxxx）（）（ 0110011dxxxdxxx）（）（上一页上一页下一页下一页返回

13、返回方差的性质方差的性质设随机变量设随机变量X与与Y的方差存在，则的方差存在，则；为为常常数数，则则若若0)()1( cDc；为为常常数数，设设)()()2(2XDccXDc )()()( ,)4(YDXDYXDYX 则则是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量与与若若)()(2)()()()3(YEYEXEXEYDXDYXD )()( ),()5(2cXEXDXEc有对任意的常数上一页上一页下一页下一页返回返回几种重要随机变量的数学期望与方差几种重要随机变量的数学期望与方差分分布布10. 1 分分布布，分分布布律律为为的的服服从从参参数数为为设设10 pXX 0 1P 1-p p).1()(

14、,)(ppXDpXE 二二项项分分布布. 2的的二二项项分分布布，分分布布律律为为服服从从参参数数为为设设pnX,).1()(,)(pnpXDnpXE 10 , 1 , 0 )1( pnkppCkXPknkkn上一页上一页下一页下一页返回返回泊泊松松分分布布. 3的的泊泊松松分分布布，分分布布律律为为服服从从参参数数为为设设 X eekekekXEkkkk010)!1(!)( 0, 2 , 1 , 0! kkekXPk 2222202 )!2(!)1( )()1()1()(eekekekkXEXXEXXXEXEkkkk 2222)()()(XEXEXD上一页上一页下一页下一页返回返回 其其他他

15、 01)(bxaabxf21)(badxabxXEba 均均匀匀分分布布. 4密密度度为为服服从从均均匀匀分分布布，其其概概率率，在在区区间间设设baX12)(21 )()()(22222abbadxabxXEXEXDba 上一页上一页下一页下一页返回返回正正态态分分布布. 5度度为为的的正正态态分分布布，其其概概率率密密，服服从从参参数数为为设设 X xexfx, 021)(222)( 22()ed22x2D X Exx=x - x 1()2- E（），得得令令tx 222222)( dtetXDt )()(XDX标标准准差差上一页上一页下一页下一页返回返回 1)()( dxxxfXE指指数

16、数分分布布. 6密度为密度为服从指数分布，其概率服从指数分布，其概率设设X22222112)()()( XEXEXD0)0(00e)(xxxfx2222)()( dxxfxXE上一页上一页下一页下一页返回返回nnnXEnNX ）！（）（为为偶偶数数时时，），证证明明当当，（设设例例10:42 22212 2 ）！（）（时时证证明明：当当 XEnkkkXEkn ）！（）（为为偶偶数数时时，有有设设1 dxexXExkk2222221 ）（则则122222221dxexkexxkxk ）（）（）（）（kXEk21 kkk ）！（）（112 21 kk ）！（01, ）（为为奇奇数数时时当当）！（）

17、（为为偶偶数数时时，有有当当由由归归纳纳法法知知nnnXEnnXEn 上一页上一页下一页下一页返回返回第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数:3定定义义的的协协方方差差（无无量量纲纲量量）与与正正是是)()()()(YDYEYXDXEXXY 的的相相关关系系数数与与为为称称时时，而而当当，即即记记为为的的协协方方差差与与为为为为二二维维随随机机变变量量，称称设设YXYDXDYXYDXDYEYXEXEYXYXYXYEYXEXEYXXY )()(),(Cov0)(0)()()(),(Cov ),(Cov,)()( ),( 上一页上一页下一页下一页返回返回），（）（）（）（YXYDXDYXD

18、Cov2 ）（）（）（），（YEXEXYEYX Cov 若若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为为二维离散型随机变量，其联合分布律为 PX=xi，Y=yj=pij， i, j=1,2,ijijjipYEyXExYX)()(),(Cov若若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y) yxyxfYEyXExYXdd),()()(),(Cov上一页上一页下一页下一页返回返回1 ,1)3(1)2(0)1(, 0)(, 0)( baXYPbaYXYXYDXDXYXYXYXY使使得得的的充充要要条条件件为为存存在在常常数数相相互互独独立立，则则，如

19、如果果相相关关系系数数，则则的的与与为为设设 :3定定理理:协方差性质协方差性质），（），（），（）；）；，（），（）；）；，（），（相互独立，则相互独立，则与与若若ZYZXZYXYXabbYaXXYYXYXYXCovCovCov)4(CovCov)3(CovCov)2(0),(Cov)1( 上一页上一页下一页下一页返回返回1 Cov21111 XYYDXDYXYXYEYYXEXX 所所以以）（）（），（许许瓦瓦兹兹不不等等式式，有有应应用用柯柯西西对对），（），（证证明明：令令1:1 ）（）（，使使得得存存在在常常数数）的的充充要要条条件件是是（即即可可知知上上式式中中等等号号成成立立XEX

20、aYEYPaXY ）（）（取取）（）（从从而而XaEYEbYEXaEaXYP 1为为常常数数），（的的充充要要条条件件为为于于是是知知babaXYPXY1:1 上一页上一页下一页下一页返回返回独独立立？是是否否不不相相关关？是是否否相相互互与与上上服服从从均均匀匀分分布布，问问），（）在在区区域域，设设（例例YXxyxyxDYX, 10:1 不不相相关关与与，称称的的相相关关系系数数与与若若YXYXXY0 其其它它），（）的的概概率率密密度度为为，因因此此（的的面面积积为为解解：区区域域 0, 10 11xyxyxfYXD上一页上一页下一页下一页返回返回61dd21dd0dd32dd10221

21、0221010 xyyYExyxXExyyYExyxXExxxxxxxx）（，）（）（，）（611813221 2 ）（，）（）（所以所以YDXD由此可知：由此可知：X,YX,Y相互独立相互独立 X,YX,Y不相关；但反之不成立不相关；但反之不成立. .不相关。不相关。与与即即）（）（），（因此因此YXYDXDYXXY 0Cov 0Cov010 ）（）（）（），（所以所以）（而而YEXEXYEYXxydydxXYExx上一页上一页下一页下一页返回返回 其其他他），（）（其其他他，），（）（的的边边缘缘密密度度和和关关于于于于）的的联联合合概概率率密密度度得得关关，由由（ 011 1 010 2

22、yydxyxfyfxxdyyxfxfYXYXYX）的的连连续续点点（），（），（）是是，可可见见（yfxfyxfYX041不不相相互互独独立立。与与所所以以）（）（），（但但YXfffYX 041041 上一页上一页下一页下一页返回返回。），求求，（），设设（例例XYNYX 222121:2222121222211 ）（，）（，）（，）（），故故，（），（解解：YDXDYEXENYNX 21Cov YXEYX），（dxdyeyxyyxx2121221212222212121212121 ）（）（）（）（）（）（ 上一页上一页下一页下一页返回返回dxexdyeyyxy22211212222212

23、121122212121）（）（）（）（）（ ，得，得令令tx 1 dtyte2221)1(21)(212 Cov），（YX 21222121212222 tdyeyy）（）（上一页上一页下一页下一页返回返回 2121)()(),(Cov :YDXDYXxy所所以以 dyeyy22222)(22212)(21 dyeyy22222)(2222121)( 212221 由此可知：若（由此可知：若（X,YX,Y）服从二维正态分布，则）服从二维正态分布，则X X，Y Y相相互独立互独立 X X，Y Y不相关不相关. . 上一页上一页下一页下一页返回返回第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵:4定义定义阶阶中中心心矩矩。的的称称它它为为存存在在，）（若若kXkXEXEk,.2 , 1, 阶混