Chapter 15 结构弹性稳定

1、第十五章第十五章 结构弹性稳定结构弹性稳定15-1 概述概述设计结构要考虑的因素：强度、刚度、稳定性、抗风荷能力、设计结构要考虑的因素：强度、刚度、稳定性、抗风荷能力、抗地震能力、舒适度等。抗地震能力、舒适度等。其中强度、稳定性、抗风荷能力、抗地震能力属于结构保持安其中强度、稳定性、抗风荷能力、抗地震能力属于结构保持安全的能力。全的能力。稳定性是结构重要的安全指标。稳定性是结构重要的安全指标。历史上曾出现因结构失稳而造成的重大事故。如历史上曾出现因结构失稳而造成的重大事故。如70年代英国北年代英国北海油田海上石油钻井平台因巨浪冲击造成结构失稳导致钻井海油田海上石油钻井平台因巨浪冲击造成结构失稳

2、导致钻井平台坍塌，造成重大损失。平台坍塌，造成重大损失。航空、航天结构大量采用高强材料和薄壁结构，如空间站、太航空、航天结构大量采用高强材料和薄壁结构，如空间站、太阳能帆板、机械手等，稳定性问题是一个重要问题。阳能帆板、机械手等，稳定性问题是一个重要问题。土木结构中，大跨度、高层、尤其高耸结构，也日益采用高强土木结构中，大跨度、高层、尤其高耸结构，也日益采用高强材料和薄壁结构，稳定性问题开始突出。材料和薄壁结构，稳定性问题开始突出。国际空间站照片国际空间站照片美国美国“奋进奋进”号号(Endeavour)航天飞航天飞机在美国肯尼迪航天机在美国肯尼迪航天中心中心 金茂大厦东方明珠电视塔 华盛顿纪

3、念塔两类结构失稳现象：两类结构失稳现象：第一类失稳现象和第二类失稳现象。第一类失稳现象和第二类失稳现象。第一类失稳现象可由熟知的理想中心受压直杆的失稳来说明。第一类失稳现象可由熟知的理想中心受压直杆的失稳来说明。首先由首先由Euler提出并解决。提出并解决。轴向压力轴向压力P较小时，微小水平干扰力使压较小时，微小水平干扰力使压杆弯曲；干扰消失，恢复原来直线状态平杆弯曲；干扰消失，恢复原来直线状态平衡。衡。P达到某一特定值，如有微小水平干扰力，达到某一特定值，如有微小水平干扰力，使压杆弯曲，干扰消失后，不能回到原来使压杆弯曲，干扰消失后，不能回到原来直线状态平衡。直线状态平衡。此时直线平衡形式不

4、稳定，平衡形式的分此时直线平衡形式不稳定，平衡形式的分支：可以直线平衡，也可以弯曲平衡。支：可以直线平衡，也可以弯曲平衡。压杆丧失了第一类失稳性，或分支点失稳。压杆丧失了第一类失稳性，或分支点失稳。此时荷载临界荷载此时荷载临界荷载Pcr（critical）承受荷载的抛物线拱和刚架，轴向受压状态，当荷载达到临界承受荷载的抛物线拱和刚架，轴向受压状态，当荷载达到临界值时，出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。值时，出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。薄壁工字梁，荷载达到临界值前，仅在其腹板平面内弯曲；达薄壁工字梁，荷载达到临界值前，仅在其腹板平面内弯曲；达到临界值时，原来的平面弯曲不再稳

5、定，发生斜弯曲和扭转。到临界值时，原来的平面弯曲不再稳定，发生斜弯曲和扭转。其他结构，如承受均布水压力的圆环（潜水艇），当压力达到其他结构，如承受均布水压力的圆环（潜水艇），当压力达到临界值临界值qcr时，原有圆形平衡形式称为不稳定的。时，原有圆形平衡形式称为不稳定的。丧失第一类稳定性的特征：平衡形式发生本质上的突变，原有丧失第一类稳定性的特征：平衡形式发生本质上的突变，原有的平衡形式不稳定（出现新的有本质区别的平衡形式）。的平衡形式不稳定（出现新的有本质区别的平衡形式）。丧失第二类稳定性：塑性材料制成的偏心压杆，同时受压和受弯。丧失第二类稳定性：塑性材料制成的偏心压杆，同时受压和受弯。在一定

6、范围内，荷载不增加，挠度也不增大。当在一定范围内，荷载不增加，挠度也不增大。当P达到临界值达到临界值Pcr，挠度迅速增大，即使荷载减小。结构丧失第二类稳定性，挠度迅速增大，即使荷载减小。结构丧失第二类稳定性极值点失稳极值点失稳。丧失第二类稳定性的特征：结构的平衡形式不发生本质丧失第二类稳定性的特征：结构的平衡形式不发生本质上的突变，失稳时变形迅速增加，结构丧失承载能力。上的突变，失稳时变形迅速增加，结构丧失承载能力。由于制造、装配误差，工程结构不可能处于理想的中心由于制造、装配误差，工程结构不可能处于理想的中心受压状态，实际都属于第二类稳定性问题。受压状态，实际都属于第二类稳定性问题。第二类稳

7、定性的问题远比第一类稳定性的问题复杂。一第二类稳定性的问题远比第一类稳定性的问题复杂。一般把第二类稳定性的问题化简为第一类稳定性的问题，般把第二类稳定性的问题化简为第一类稳定性的问题，偏心等影响用系数来代替。偏心等影响用系数来代替。稳定计算的中心问题是稳定计算的中心问题是确定临界荷载。确定临界荷载。确定临界荷载的两种方法：确定临界荷载的两种方法：静力法和能量法静力法和能量法共同特点：结构失稳时可以具有原来和新的两种平衡形共同特点：结构失稳时可以具有原来和新的两种平衡形式（平衡的二重性），寻找式（平衡的二重性），寻找结构在新的形式下可以维结构在新的形式下可以维持平衡的荷载持平衡的荷载临界荷载临界

8、荷载。静力法直接通过力的平衡条件。能量法通过平衡时静力法直接通过力的平衡条件。能量法通过平衡时能量之间关系。能量之间关系。结构稳定的自由度：确定结构失稳时所有可能的变形状态所结构稳定的自由度：确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数数目。需的独立参数数目。a)支承在抗转弹簧上的刚性压杆，一个自由度支承在抗转弹簧上的刚性压杆，一个自由度。b)两个自由度两个自由度c) 无限自由度无限自由度15-2 静力法确定临界荷载静力法确定临界荷载以结构失稳时平衡的二重性为依据，由静力平衡条件，以结构失稳时平衡的二重性为依据，由静力平衡条件，寻找结构在新的平衡形式下能维持的最小荷载寻找结构在新的平衡形式下

9、能维持的最小荷载单自由度结构，刚杆，平衡条件sin0Pl()0Pl P=Pcr时，时，无法确定。无法确定。可以为任意值，结构处于随遇平衡状态。（小位移假设）可以为任意值，结构处于随遇平衡状态。（小位移假设）精确方程为精确方程为0对应结构原来平衡形式对应结构原来平衡形式0Pl对应结构新的平衡形式，也可以对应原来平衡形式。反映对应结构新的平衡形式，也可以对应原来平衡形式。反映失稳时平衡形式的二重性失稳时平衡形式的二重性特征方程特征方程crPl临界荷载临界荷载sinPl两抗移弹性支座的刚度为两抗移弹性支座的刚度为，由平衡条，由平衡条件件0,0BCMM1212()0(2)0lP yPylP yPy齐次

10、线性方程组，y1,y2不全为零系数行列式=002lPPlPl结构失稳的形式结构失稳的形式不能由齐次线性方程组求出不能由齐次线性方程组求出y1,y2的确定值，但可以求的确定值，但可以求得它们的比值，类似振动的振型得它们的比值，类似振动的振型223()0PlPl解得2.618350.3822lPll临界荷载350.3822crPll2121150.61835151.61835yyyy 352352PlPl无限自由度结构的例子无限自由度结构的例子一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆任一截面的弯距()MPyQ lx 挠曲线近似微分方程()EIyMPyQ

11、lx ()PQyylxEIEI令令2PnEI22()Qyn ynlxP微分方程通解为微分方程通解为cossin()QyAnxBnxlxPA,B为积分常数，为积分常数，Q/P也是未知，由边界条件也是未知，由边界条件x=0,y=0,y=0;x=l,y=0得到得到A,B,Q/P的齐次线性方程组的齐次线性方程组00cossin0QAlPQBnPAnlBnlA=B=Q/P=0，对应原有的直线平衡形式。，对应原有的直线平衡形式。对于新的弯曲平衡形式，要求对于新的弯曲平衡形式，要求A,B,Q/P不全为零，系数行列不全为零，系数行列式式010010cossin0lnnlnltan nlnl得到特征方程（超越方

12、程）得到特征方程（超越方程）解得解得4.493nl 临界荷载临界荷载2220.19crPn EIEIltanynlynl采用图解法或迭代法求解采用图解法或迭代法求解15-3 具有弹性支座压杆的稳定具有弹性支座压杆的稳定弹性支座的压杆：在刚架中，将某根压杆取出，而以弹性支弹性支座的压杆：在刚架中，将某根压杆取出，而以弹性支座代替其余部分对它的约束作用。座代替其余部分对它的约束作用。BC杆对杆对AB压杆的约束，可以用一个抗转弹簧来代替。压杆的约束，可以用一个抗转弹簧来代替。抗转弹簧的刚度抗转弹簧的刚度1113EIl由平衡条件由平衡条件0BM 压杆挠曲线的平衡方程压杆挠曲线的平衡方程()EIyPy

13、Ql x同样令同样令2PnEI21 1()yn yl xEIl微分方程通解微分方程通解1 1cossin()yAnx Bnxl xPl三个未知常数：三个未知常数：A,B,1,边界条件：边界条件：x=0,y=0,y=0;x=l,y=0得到得到A,B, 1的齐次线性方程组的齐次线性方程组1111010cossin0APBnPlAnlBnlA,B,1不全为零，系数行列式不全为零，系数行列式01110010cossin0PnPnlnl21tan1()nlnlEInll1给定时，解此超越方程，可解出给定时，解此超越方程，可解出nl的最小正根，求的最小正根，求Pcr。特别地特别地10（两端铰支）（两端铰支

14、）sin0n l 1 （一端铰支，一端固定）（一端铰支，一端固定）tan n ln la)一端弹性固定另一端自由的压杆一端弹性固定另一端自由的压杆b)一端固定另一端有抗移支座弹一端固定另一端有抗移支座弹簧的压杆簧的压杆1tanlnlnlEI333()tanEI nlnlnllc)两端都有抗转弹簧，上端有抗移弹簧，特征方程两端都有抗转弹簧，上端有抗移弹簧，特征方程3223321113101cossin000sincos1lPPnlnlPlPnPnnlnnlP弹性支座压杆的稳定方程的一般形式。弹性支座压杆的稳定方程的一般形式。图图15-8b230, 图图15-9a230图图15-9b210, 求刚

15、架的临界荷载求刚架的临界荷载对称刚架承受对称荷载，失稳形式为正对称或反对称变形对称刚架承受对称荷载，失稳形式为正对称或反对称变形正对称失稳时，压杆下端铰支上端弹性固定，同图正对称失稳时，压杆下端铰支上端弹性固定，同图15-8b，弹，弹性固定端的抗弯刚度性固定端的抗弯刚度11222EIil得特征方程得特征方程2tan()14nlnlnl解得超越方程的最小正根解得超越方程的最小正根nl=3.83临界荷载为临界荷载为2214.67crEIPn EIl反对称失稳时，压杆下端铰支上端弹性固定，上下两端有相反对称失稳时，压杆下端铰支上端弹性固定，上下两端有相对侧移，无水平反力，同图对侧移，无水平反力，同图

16、15-9a，弹性固定端的抗弯刚度，弹性固定端的抗弯刚度1121266EIEIill得特征方程得特征方程tan12nlnl 解得超越方程的最小正根解得超越方程的最小正根nl=1.45，临界荷载为，临界荷载为222.10crEIPn EIl反对称失稳的反对称失稳的Pcr较小，为实际的临界荷载较小，为实际的临界荷载15-4 用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载静力法确定临界荷载，结构复杂或边界条件复杂时，求解静力法确定临界荷载，结构复杂或边界条件复杂时，求解困难。困难。能量法是另外一种确定临界荷载的方法，有时简便。能量法是另外一种确定临界荷载的方法，有时简便。能量法确定临界荷载，依据是结构失稳时

17、平衡的二重性，能量法确定临界荷载，依据是结构失稳时平衡的二重性，即用能量形式表示平衡条件，寻求结构在新的形式下即用能量形式表示平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载，最小者为临界荷载。能维持平衡的荷载，最小者为临界荷载。能量形式表示平衡条件能量形式表示平衡条件势能驻值原理势能驻值原理。弹性结构，在满。弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移，使结构的势能为驻值，即结构满足平衡条件的位移，使结构的势能为驻值，即结构势能的一阶变分为零势能的一阶变分为零0 结构势能应变能U外力势能V应变能应变能U按材料力学公

18、式，外力势能按材料力学公式，外力势能1niiiVP Pi外力，外力，I相应位移。相应位移。外力势能外力所做虚功的负值外力势能外力所做虚功的负值有限自由度结构，所有可能的位移状态用有限个独有限自由度结构，所有可能的位移状态用有限个独立参数表示，立参数表示， (a1,a2,an)1212nnaaaaaa 0， a1, a2, an是任意是任意的的12000naaa可以获得一组关于可以获得一组关于a1,a2,an的齐次线性方程的齐次线性方程组，组， a1,a2,an不全为零，此方程组的系数行不全为零，此方程组的系数行列式列式0，建立特征方程，建立特征方程例题，压杆例题，压杆EI为无穷大，弹簧刚度为无

19、穷大，弹簧刚度122222211112211122yyyllylllllll 弹簧的应变能弹簧的应变能2112Uy外力势能外力势能212PVPyl 结构势能结构势能212lPUVyl 在新的位置平衡在新的位置平衡110dlPydyl0lPPl两个自由度两个自由度22121122Uyy22222yyVPPll 21（-y）结构的势能：结构的势能：22222122211221122221222yyUVyyPlllPyPy ylPyl 21（-y）（）（）此时此时是两个独立参数是两个独立参数y1、y2的函数，结构处于平衡时，由的函数，结构处于平衡时，由式（式（15-11）有：）有：121122101

20、20lPyPyylPylPyyl（）+（）而而y1、y2不能全为零，故应有：不能全为零，故应有：02lPPPlP（）（）展开并整理得：展开并整理得：22 230PlPl解方程得：解方程得：2.618350.3822lPll其中最小值为临界载荷：其中最小值为临界载荷：0.382crPl无限自由度结构无限自由度结构弹性压杆的应变能弹性压杆的应变能220011d( ) d22llMUlEI ylEI201( ) d2lyx 外力势能外力势能20() d2lPVPyx 22001( ) d( ) d22llPUVEI ylyx 结构势能结构势能挠曲函数挠曲函数y未知，结构势能未知，结构势能是是y的函数

21、，泛函。的函数，泛函。0为求为求泛函极值问题，变分问题。泛函极值问题，变分问题。将无限自由度将无限自由度有限自由度，瑞利李兹法。有限自由度，瑞利李兹法。假设假设挠曲函数挠曲函数y为有限个已知函数的线性组合为有限个已知函数的线性组合11221( )( )( )( )nnniiiyaxaxaxaxi(x)是满足位移边界条件的已知函数，是满足位移边界条件的已知函数，ai是任意参数。结构的是任意参数。结构的变形由变形由n个独立参数个独立参数a1,a2,an确定，原来的无限自由度确定，原来的无限自由度n个个自由度。得到临界荷载为近似解。自由度。得到临界荷载为近似解。15-6 剪力对临界荷载的影响剪力对临

22、界荷载的影响建立挠曲线微分方程，除了弯距，建立挠曲线微分方程，除了弯距，也考虑剪力对变形的影响。也考虑剪力对变形的影响。弯距和剪力产生的挠度分别为弯距和剪力产生的挠度分别为yM和和yQ，MQyyy222222QMd yd yd ydxdxdx剪力引起的杆轴切线的附加转角QdyQkdMkdxGAGA dx 2222d yMkd MdxEIGA dx两端铰支的等截面杆两端铰支的等截面杆MPy MPy (1) 0kPEIyPyGA同时考虑弯距和剪力影响的同时考虑弯距和剪力影响的挠曲线微分方程挠曲线微分方程令令21PmkPEIGA微分方程的通解微分方程的通解cossinyAmxBmx边界条件边界条件0

23、,0;,0 xyxl y得特征方程得特征方程sin0ml 最小正根为最小正根为ml临界荷载临界荷载222211creEIPPkEIlGAl22eEIPlEuler临界荷载临界荷载修正系数修正系数22111111eekPkkEIGAGGAl在实体杆件中，剪力影响很小，通常可略去。在实体杆件中，剪力影响很小，通常可略去。但在薄壁杆件中，剪力较大，需加以考虑。但在薄壁杆件中，剪力较大，需加以考虑。15-7 组合压杆的稳定组合压杆的稳定组合压杆由两个型钢通过若干联结件联结组合压杆由两个型钢通过若干联结件联结构成。构成。联结件的形式有：缀条式和缀板式两种。联结件的形式有：缀条式和缀板式两种。组合压杆中剪

24、力影响较大，它比同样截面组合压杆中剪力影响较大，它比同样截面和柔度的实体压杆的临界荷载小。和柔度的实体压杆的临界荷载小。当节间数比较多时，组合压杆的临界荷载当节间数比较多时，组合压杆的临界荷载用考虑剪力影响的实体压杆的临界荷用考虑剪力影响的实体压杆的临界荷载公式计算，式中载公式计算，式中k/GA需要修改，以需要修改，以反映联结件的影响。反映联结件的影响。kG A是单位剪力作用下的剪切角需要求出组合压杆在单位剪力作用下的剪切角 ,代替式中的k/GA1.缀条式组合压杆缀条式组合压杆主要杆件采用型钢，缀条通常采用单根角钢，截面较小，两主要杆件采用型钢，缀条通常采用单根角钢，截面较小，两端可视为铰接（

25、即使杆件通过焊接联结）。取出一个节间，端可视为铰接（即使杆件通过焊接联结）。取出一个节间，在单位剪力Q=1作用下的剪切角11tand主要杆件的截面比缀条大的多，所以只考虑缀条的影响。2111N lEA缀条的横杆缀条的横杆11N 杆长杆长tandb截面积为截面积为Ap缀条的斜杆缀条的斜杆11cosN杆长杆长sind截面积为截面积为Aq11211sincostanqpdEAA2111sincostanqpEAAkGA12111sincostanecreeqpPPPPEAA式中惯性矩式中惯性矩I为两根主要杆件的截面对整个截面形心轴为两根主要杆件的截面对整个截面形心轴z的惯的惯性矩。性矩。Ad一根主要杆件的截面积，一根主