2020高考数学(文)一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件

1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.考 纲要2.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否求命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.突破点一命题及其关系抓牢双基自学回扣基本知识1.命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句 叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及相互关系3. 四种命题的真假关系若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.基本能力一、判断题( (对的打，错的打“X”)“x2+ 2x 8V0” 是

2、命题.( () )(2) 一个命题非真即假.( () )(3) 四种形式的命题中，真命题的个数为0 或 2 或 4.()命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”.()答案：( (1)X(2)V(3)V(4)X二、填空题1._命题“若 x24， 则2x 2 或 x0，则方程 x2+ x m = 0 有实根”的逆否命题是答案：若方程 x2+ x m= 0 没有实根，贝 U mw03. 有下列几个命题：1 1“若 ab,则 ab”的否命题；(2) “若 x+ y= 0，则 x, y 互为相反数”的逆命题；(3) “若|x|4，则4VXV4”的逆否命题.其中真命题的序号是_.1 1解析：原

3、命题的否命题为 “若 a0aC .如果 M ? ? N，那么 MUN = M D .在 ABC 中，若 AB -BC 0，贝UB 为锐角解析y= sin2x =1 1；S S 2 2, T =今今= =n,故 A 为假命题；当 M ? ? N 时，MUN 故 C 为假命题；在三角形 ABC 中，当 瓦I BC0 时，向量云S与百？的夹角为锐角， 为钝角，故 D 为假命题，故选 B.答案B方法技巧判断命题真假的思路方法(1) 判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么， 然后联系其他相关的知识进行判断.(2) 当一个命题改写成 “若 p,则 q”的形式之后，判断这个命

4、题真假的方法：1若由 p”经过逻辑推理，得出q”，则可判定“若 P,则 q”是真命题；2判定“若 P,则 q”是假命题，只需举一反例即可.考法二四种命题的关系例 2 (1)(2019 长春质监) )命题“若 x2 1，则 x 1 或 xw12B.若1x1，贝Vx 1 或 x12D .若 x 1 或 xy,则 x|y|”的逆命题B. 命题“若 x1，则 x21 ”的否命题C. 命题“若 x= 1,则 x2+ x 2= 0”的否命题D .命题“若 x20 ,则 x1 ”的逆否命题解析(1)命题的形式是“若 p,则 q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为 “若 綈 q,则綈 p”的形式，所以“若

5、x21，则1x 1 或 xw 1, 则 x2 1”.故选 D.命题“若 xy,则 x|y|”的逆命题为“若 x|y|,则 xy”，是真命题，故 A 正确； 命题“若 x1，则 x21”的否命题为“若 xw1，则 x20,则 x1”的逆否命题为“若 xw1,则 x2w0”，是假命题，故 D 错误.选 A.答案(1)D(2)A方法技巧四种命题的关系及真假判断(1) 判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性.(2) 命题真假的判断方法1直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例.2间接判断法：转化成等价命

6、题，再判断.集训冲关1.考法二命题“若a= n，则 tana=1”的逆否命题是( () )A .若aM n，则 tanaM1B.若a=n，贝ytanaM14nC .右 tanaM1，贝U aM4nD .若 tana丰1,贝 Ua=T4解析：选 C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否 命题，可知 C 正确.2. 考法一、二原命题为“若 Z1, Z2互为共轭复数，则|Zi|=|Z2|”，关于其逆命题,题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( () )A .真，假，真B.假，假，真C .真，真，假D .假，假，假解析：选 B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|

7、Zi|=|z2|,当 Zi= 1,1 时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假.故选+0, Ovxvl,3. 考法一定义“正对数”：ln x =现有四个命题：IJn x, x 1.1若 a0, b0，贝VIn+( (ab) = bln+a ；2若 a0, b0，贝VIn (ab)= In a+ In b;3若 a0, b0，贝 U In+房In+a - In+b;4若 a0, b0，贝VIn (a+ b) 1 时，ab 1,则 In (ab)= In ab= bIn a= bIn a;当 0a1 时，0abq 且 q? pp 是 q 的充要条件p? qp 是 q 的既

8、不充分也不必要条件pq 且 qp2.充分条件与必要条件和集合的关系p 成立的对象构成的集合为 A, q 成立的对象构成的集合为Bp 是 q 的充分条件A? Bp 是 q 的必要条件B? Ap 是 q 的充分不必要条件p 是 q 的必要不充分条件B_Ap 是 q 的充要条件A 三 B基本能力一、判断题( (对的打，错的打“X”)(1) 当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件.( () )(2) 当 p 是 q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当 p 成立.( () )(3) “ x= 1”是“ x2 3x+ 2 = 0”的必要不充分条件.( () )答案：“(2)V(3)X二、

9、填空题1._“x = 3”是“ x2=9”的条件(填“充分不必要”或“必要不充分”_ ).答案：充分不必要2.ab0”是“ a0, b0” 的_ 条件.答案：必要不充分3.xy= 1 是 lg x+ lg y= 0 的_条件.解析：lg x + lg y= lg(xy) = 0,/xy= 1 且 x0, y0.所以“lg x + lg y= 0”成立，xy= 1 必成立，反之无法得到 x0 , y0.因此“xy= 1”是“lg x+ lg y= 0”的必要不充分条件.答案：必要不充分4.设 p, r 都是 q 的充分条件，s 是 q 的充要条件，t 是 s 的必要条件，t 是 r 的充分条件，

10、那么 p 是 t 的_条件，r 是 t 的_ 条件(用“充分不必要”“必要不充分” “充要”填空).解析：由题知 p? q? s? t,又 t? r, r? q,故 p 是 t 的充分不必要条件，r 是 t 的充要条件.答案：充分不必要充要研透高考廉化提能全析考法考法一充分条件与必要条件的判断例 1 (1)(2018 北京高考) )设 a, b, c, d 是非零实数，则“ ad= be”是“ a, b, c, d成等比数列”的( () )A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件11交(2)(2018 天津高考)设 x R，则“ x -寸V；” 是“

11、 x3V1 ”的()A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件解析(1)a, b, e, d 是非零实数，若 a0, d0, e0，且 ad= be,则 a, b , e , d 不成等比数列( (可以假设 a= 2, d=- 3, b= 2 , e= 3).若 a , b , e , d 成等比数列，贝 U 由等比数列的性质可知 ad= be.所以“ad= be”是“a , b , e , d 成等比数列”的必要而不充 分条件.1 1 ,(2)由 X-2V2，得 0VXV1,则 0Vx3v1 ,1 13即“ x-2V2” ? “ x3V1”；1 1由 x3V

12、1 ,得 XV1,当 x -,22即“ x3V1 ” ?/ “ x-2V1”.1 13所以“ x-1V1”是“ x3V1”的充分而不必要条件. 2 2答案(1)B(2)A方法技巧充分、必要条件的判断方法利用定义判断直接判断“若 p,则 q” “若 q，则 p”的真假.在判断时，确定条件是什么、 结论是什么从集合的利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，角度判断即可解决充分必要性的问题A.(1, +m)B. (1,2)利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假考法二根据充分、必要条件求参数范围例 2 （2019 大庆质检）已知 p： x

13、 1+ m, q： |x 4|w6.若 p 是 q 的必要不充分条件，则 m 的取值范围是（）A.（ m,1B.（ 8,9C.1,9D.9,+m）解析由|x 4|W6，解得一 2 x 10, 解得 m9.故选 D.答案D方法技巧根据充分、必要条件求参数范围的思路方法（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式（组）求解.（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易 出现漏解或增解的现象.集训冲关1. 考法一已知

14、m,n 为两个非零向量，贝Umnv0”是m 与 n 的夹角为钝角”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 B 设 m, n 的夹角为0,若才0vn,则 cos00,所以 m n0 ；若0= n则 m n=|m| |n|0.故“ m ng是“ sinasin的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 Da=7n B=寸均为第一象限角，满足ag但 sina=sing因此不满足充33分性；a=5n, 3=；均为第一象限角，满足sinasing,但a0 且 1,若“ a M”是“函数 f（x） =

15、loga|x1|在（0,1）上单调递增”的充分不必要条件，则区间M 可以是（）C （0,1）D. 0,1 2解析：选 D 由函数 f（x）= loga|x 1|在（0,1）上单调递增可知 0a3（x m）是 q： x2+ 3x 40 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为_.解析：p 对应的集合 A= x|xm+ 3, q 对应的集合 B = x| 4x 1 或 m+ 3 1 或 m8” 是“ |x|2”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 A 由 x3 8? x 2? |x| 2，反之不成立， 故“x38”是“ |x|2”的充分

16、而不必要条件.a1 = g：,所以 a0 ,所以 a1 ”是 3a2a”的充分不必要条件，故选A.5.已知下列三个命题：1若一个球的半径缩小到原来的 2,则其体积缩小到原来的 82若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；3直线 x+ y+ 1 = 0 与圆 x2+ y2= 1 相切.其中真命题的序号为( () )A.B.C.D.解析：选 C对于命题，设球的半径为 R，则 4nR3= 1uR3,故体积缩小到原来的3y8 38,命题正确;对于命题，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和 3,3,3 的平均数相同，但标准差不同，命题不正确;半径，所以直线与圆相

17、切，命题正确.26. (2019 咸阳模拟) )已知 p： m= 1, q：直线 x y= 0 与直线 x+ m y= 0 互相垂直,则 p 是 q 的( () )A 充分不必要条件B.必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2一 1解析：选 A 由题意得直线 x+ m2y= 0 的斜率是一 1,所以 冷=一 1, m= 1.所以 p 是q 的充分不必要条件.故选A.7. (2019 重庆调研) )定义在 R 上的可导函数 f(x)，其导函数为 f (x),则“ f (x)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的( () )A 充分不必要条件B.必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不

18、必要条件解析：选 B / f(x)为奇函数， f( x)= f(x). f( x) = f(x) = f (x), f ( x)= f (x) ,即卩 f (x)为偶函数；反之，若f (x)为偶函数，如 f (x)= 3x2, f(x)=x3+ 1 满足条件，但 f(x)不是奇函数，所以“ f( (X)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选 B.解析：选 A因为 y= 2x是增函数,又 a1,所以3ai,对于命题,圆 x2+ /= *的圆心( (0,0)到直线 x+ y+ 1 = 0 的距离 d=吩等于圆的所以 3a2a；若 3a2a,18.(2019 抚州七校联考) )A,

19、 B, C 三个学生参加了一次考试，A, B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65 分.已知命题 p：若及格分低于 70 分，贝UA，B，C 都没有及格.则下列四 个命题中为 p 的逆否命题的是( () )A .若及格分不低于 70 分，则 A, B, C 都及格B.若 A, B, C 都及格，则及格分不低于70 分C .若 A, B, C 至少有一人及格，则及格分不低于70 分D 若 A, B, C 至少有一人及格，则及格分高于70 分解析：选 C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A, B,C 至少有一人及格,则及格分不低于 70 分.故选 C.9.(20

20、19 济南模拟) )原命题：“ a, b 为两个实数，若 a + b2,则 a,b 中至少有一个 不小于 1”,下列说法错误的是 ()A.逆命题为：a, b 为两个实数，若 a, b 中至少有一个不小于1,贝Ua + b2,为假 命题B.否命题为：a, b 为两个实数，若 a + b2，则 a, b 都小于 1,为假命题C .逆否命题为：a, b 为两个实数，若 a, b 都小于 1,则 a + b2”是“ a, b 中至少有一个不小于 1”的必要不充分条 件解析：选 D 原命题：a, b 为两个实数，若 a+ b 2，则 a, b 中至少有一个不小于 1; 逆命题：a, b为两个实数，若 a

21、, b 中至少有一个不小于 1，则 a+ b 2；否命题：a, b 为 两个实数，若 a + b2，则 a,b 都小于 1；逆否命题：a, b 为两个实数，若 a, b 都小于 1, 则 a+ b 2 不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题.所以“ a+ b2”是“a, b 中至少有一个不小于 1 ”的充分不必要条件.故选 D.10. 已知：p： x k, q： (x+ 1)(2 x)0，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围是 ()A.2,+s)B.(2,+)C.1,+)D.( a, 1解析：选 B 由 q： (x + 1)(2 x)0，得 x2，又 p 是 q 的充

22、分不必要条件， 所以 k2，即实数 k 的取值范围是(2, +a) )，故选 B.11. 在原命题“若 AUB 工 B，则 AABMA”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 _ .解析：逆命题为“若 AABMA，贝UAUBMB” ；否命题为“若 AUB= B,贝UAAB = A” ；逆否命题为“若 AAB = A,贝UAUB= B”.全为真命题.答案：412.已知命题若 m ivxvm + 1,贝 U 1x2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是解析：由已知得，若 1xv2 成立，则 m 1xvm+ 1 也成立.m1 2.答案：1,213.条件 p： 1 xa,若 p 是 q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是解析：p： x1,若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p? q,但 q? / p,也就是说，p 对应的 集