湖南省届高三数学总复习一轮第单元简单递推数列精品课件理新课标

1、231.了解递推公式也是给出数列的一种方法，并能根据递推公式求出满足条件的项.2.掌握简单递推数列的通项公式的求法.3.熟悉递推公式模型，灵活应用求解通项及前n项和.4 1,2,2,3,3,3, 1 .(20104,4,4,4,50)10平数列， 的第顶山模拟项是( )A.14 B.12 C.13 D.15A解析1 1313123137 1391.210014. 因为故第项必为5 2 2. (2010) 1nnanSn若数列的福建厦门高三月前考项和为，则( )CA21B21CnnnananaD2nan63.数列an中,a1=1，对所有的n2都有a1a2a3an=n2,则a3+a5= .6116

2、 因为a1a2a3=32,a1a2=22,所以a3= .因为a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,所以a5= ,所以a3+a5= + = .942516251636166116解析74.(2010长郡中学)已知对任意正整数n，a1+a2+a3+an=2n-1,则a12+a22+a32+an2等于( )CA.(2n-1)2 B. (2n-1)C. (4n-1) D.4n-11313 易知a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1，a1也适合，故an是以2为公比的等比数列，则an2是以1为首项，以4为公比的等比数列，故S= = (4n-1).131(1 4 )1 4n解析85

3、.已知a1=3,f(x)=x2,且an+1=f(an),则an= .由a1=3,a2=a12=32,a3=a22=34,知an= .解析123n123n9常见递推数列的通项公式的求法(1)若an-an-1=f(n),求an可用 法.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2).(2)若 =f(n),求an可用 法.an= a1(n2).(3)已知a1a2an=f(n),求an,用 法 f(1) (n=1) (n2).迭加1nnaa累乘1nnaa12nnaa21aaan=作商( )(1)f nf n10(4)若an+1=f(an),求an可用 法.(5)若an+

4、1=kan+b,则可化成(an+1+x)=k(an+x),从而an+x是 数列，其中x可以由 求出.(6)若an=kan-1+bn(k,b为常数)，可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列，再求an.(7)若数列an满足a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan,则可化为(an+2-xan+1)=y(an+1-xan),其中x,y可用待定系数法求得,从而an+1-xan构成 数列.迭代等比待定系数法等比11(8)若an+1an+pan+qan+1=0,可化成 1+ + =0,令 =bn，从而上式变成bn+1=kbn+b型.(9)已知Sn的递推关系，先求出Sn，再求an，用作差法： S1

5、(n=1) Sn-Sn-1 (n2).1npanpa1naan=12题型一 根据递推公式求通项公式例1 11 (201 111(1).02)nnnnnnnaaaanabbnn在数列中，设，求数列的通芜湖模拟项公式分析 111,112nnnnnnnnabnaaaannnnb 因为是计算，所以首先由递推公式，得到与的关系式；再借助于累加的方法求出的通项公式13解析1111121121*111111212111 12221 12 22(2)21.nnnnnnnnnnnnnaabannbbbbbbbbbnnb N由已知得，且，即，从而有，又，故所求通项公式321121nnnaaaaaaaa 求通项公式

6、时除了运用累加法之外，还可根据题目的特点，利用这种累乘法求解评析14 *11*11 021 () 1(2) (2011 1)12nnnnaaannnaaannnNN分别求出满足下列条件的数列的通项公式：，；，素材1淮北月考解析 12132122 0132523 11.1 nnnnaaaaaaannaann 所以该数列的通项公式为15 *32112112 2321 112321 1.2 .nnnnnnaaaaaaaanannnnnnna N，时， 又也符合上式，所以该数列的通项公式为16 已知数列an,bn满足a1=2,b1=1,且an= an-1+ bn-1+1 bn= an-1+ bn-1+

7、1(n2).(1)令cn=an+bn,求数列cn的通项公式；(2)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn.34141434题型二 直接转化为等差、等比数列型例217 (1)由题设得an+bn=(an-1+bn-1)+2(n2),即cn=cn-1+2(n2).易知cn是首项为a1+b1=3,公差为2的等差数列,所以通项公式为cn=2n+1(nN*).解析18(2)由题设得,an-bn= (an-1-bn-1)(n2).令dn=an-bn,则dn= dn-1(n2).易知dn是首项为a1-b1=1,公比为 的等比数列，通项公式为dn= . an+bn=2n+1 an-bn= ,解得an= +n+

8、.求和得Sn=- + +n+1.121212112n由112n12n1212n22n19 评析 本题考查等差、等比数列的基础知识考查基本运算能力，解答关键是将原问题转化为熟知的等差、等比数列问题求解 20 1122*1 1122.2 2nnnnnnnnnaaaaaanbaabaN 已知数列满足，令，证明：是等比数列；求的通素材项公式解析 12111111112 2221 11 2nnnnnnnnnnbaaaanbaaaaabb 证明：，当时，所以是以 为首项，为公比的等比数列21 111213212111 1111()2211 1 1()()22111212 111()13212521 ()3

9、325211()1521(.332)3322nnnnnnnnnnnnbaanaaaaaaaannaa 由知， 当时， ， 当时，所以*1()nN 22 (1)已知数列an，其中a1=10，且当n2时，an= ，求数列an的通项公式an；(2)在正项数列an中，a1=10，an+12=an3，求数列an的通项公式及前5项之和.11565nnaa题型三 变形、构造转化为等差、等比数列例323 (1)将an= 两边取倒数得 - = (n2)， 即 是以 = 为首项，以 为公差的等差数列，所以 = +(n-1) = ,即an= .n=1也适合上式.11565nnaa1na11na651na11a110

10、651na11065121110n101211n 解析24(2)因为an+12=an3，即2lgan+1=3lgan,所以 = ,即lgan是以lga1=1为首项，以 为公比的等比数列.所以lgan=1( )n-1,即an=10( )n-1,所以a1a2a3a4a5=10( )010( )110( )210( )310( )4=10( )0+( )1+( )2+( )3+( )4= .1lglgnnaa32323232323232323232323232211161025 形如an+1= ，去分母后变为an+1an+pan+qan+1=0, 再化为 + =0，令 =bn，从而上式可变为bk+1

11、=kbn+b型；形如an+1p=anq型，两边取对数，从而直接转换，但应注意大前提“为正”.nnmanka1npanqa1na评析26 11*122 (2)2 1 2nnnnnnnaaaannaaN已知数列满足，且，且求证：数列是等差素材3数列；求数列的通 项公式27解析 *111*1111 22 (2)11221(2)2211.2221111121(222.)22nnnnnnnnnnnnnnnnnaannaaaannaadannan NN证明：因为且， 所以， 即且， 所以数列是等差数列，且公差，首项由得， 所以28 已知数列an中，其中a1= ，且an+1=-2an+5，求an的前n项和S

12、n.83 由题意，原递推式可变形为an+1+=-2(an+)，即an+1=-2an-3,与原递推式比较得=- ,53题型四 待定系数构造法 例4解析29所以有an+1- =-2(an- ),故数列an- 是以a1- =1为首项，-2为公比的等比数列.则an- =1(-2)n-1，即an= +(-2)n-1,所以Sn=a1+a2+an= +(-2)0+ +(-2)1+ +(-2)n-1= n+= n- (-2)n+ .535353535353535353531 1 ( 2) 1 ( 2)n 53131330 待定系数法是从数列递推式特征规范、构造一个新数列，变换形式如下：(1)an+1=Aan+

13、B(A、B为常数)型，可化为an + 1+=A(an+)的形式；( 2 ) an + 1= A an+ B cn型 ， 可 化 为an+1+cn+1=A(an+cn)的形式；(3)an + 2=Aan + 1+Ban型，可转化为an+2+an+1=A(an+1+an)的形式；(4)an + 1=Aan+Bn+C型，可化为an+1+1(n+1)+2=A(an+1n+2)的形式（其中A、B、C均为常数). 评析31解析1111112 3231132(3)11332213212322 .nnnnnnnnnnnnaaaaaaaanaaa由，得，则所以数列是首项为，公比为 的等比数列所以所以 *111(

14、)23.nnnnnaaaanaa N已知数列，其中，求其通项 公式素材432 设数列an的前n项和为Sn.已知ban-2n=(b-1)Sn(nN*). (1)证明：当b=2时，数列an-n2n-1是等比数列； (2)求数列an的通项公式. 33 由题设，得a1=2.又ban-2n=(b-1)Sn,则ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,即an+1=ban+2n. (*) (1)证明：当b=2时，由(*)式得an+1=2an+2n, 于是有an+1-(n+1)2n=2(an-n2n-1), 且a1-20=10，所以an-n2n-1是

15、以1为首 项，2为公比的等比数列.解析34(2)当b=2时，由(1)知,an=(n+1)2n-1.当b2时，由(*)式知, = + , 所以 + = ( + )(nN*)， 所以 + 是以 + =1+ = 为首项， 为公比的等比数列. 所以 + = ( )n-1, 即an= (2b-2)bn-1-2n(nN*).112nna2b2nna12112nna12b2b2nna12b2nna12b12a12b12b12bb2b2nna12b12bb2b12b 351.一是要熟练掌握常见的递推数列的通项公式的求法.如迭加型，累乘型等.二是会将问题转化为等差、等比数列，而转化的方法在于合理构造，常用的手段

16、有：(1)构造an+x,x为常数；(2)构造an+1-xan，x为常数；36(3)构造 ;(4)构造 ;(5)构造an+f(n).2.不等式与递推关系综合问题，方法与相等关系中类似，常有放缩法化归为等比数列求和或易求和型，从而证得不等式.1nanna37 112321 2.() 1 2nnnnnnaaaaaaba xxbnR 已知数列是等差数列，且，求数列的通项公式；令，求数列的前 项和错解 123111232313312.222122 .12246212nnnnnnnnnnadaaaadadannSbbbbba xSxxxnxnx设等差数列的公差为 ， 则又， 所以，所以令， 则由， 得，382341234111224621212()21 22 12 12.11nnnnnnnnnnnxSxxxnxnxx SxxxxxnxxxnxxxxnxSxx ， 由得，所以错解分析 2100010,1nxxSxxx 上述的解答，在式中使用等比数列的求和公式时，没有考虑公比的情形另外，当时，是显然的因此，正确解答要分、与三种情况39正解 123111232313312.2