复变函数积分变换

1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第六章第六章 积分变换积分变换 一一. Fourier变换变换 二二. Laplace变换变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 一 Fourier变换 1 从Fourier级数到Fourier积分 2 Fourier变换 3 单位脉冲函数及其傅氏变换 4 性质 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换在在一一定定条条件件下下，当当l

2、越越大大，式式（6-1）和和式式（6-2）两两式式右右边边近近似似程程度度越越高高，进进一一步步把把式式（6-1）改改写写成成一一个个0,上上的的积积分分和和： 112xnf xf t dtFnl（6-3） 其其中中l, 而而 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换在式（在式（6-3）两边令）两边令l ，注意到当，注意到当l 时，时，0，由式（，由式（6-5） ，得到：） ，得到： 0101()0limlimlimlimxnNxAnNAAxAfxFnFnFd （6-6） 式（式（6-6）的右边相当于

3、一个无穷限积分的定义，从而有：）的右边相当于一个无穷限积分的定义，从而有： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换

4、复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换故定义故定义 Fourier 逆变换为逆变换为 -11( )2i xGGedf xF F。 例例 6-3 求函数求函数0,0;( ),0ttf tet 的傅氏变换及积分表达的傅氏变换及积分表达式，其中式，其中0. 这个这个( )f t叫做指数衰减函数，叫做指数衰减函数， 是无线电技是无线电技术中常见的一个函数。术中常见的一个函数。 解：根据解：根据( )( ),j tGf t

5、 edt 有有 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与

6、积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换4 性质性质 (1) 线性性质线性性质 设设1122( )( ),( )( ),GF f tGF f t 是常数。则是常数。则 1212( )( )( )( ).Ff tf tGG 这个性质的作用是很显然的， 表明了函数线性组合的傅氏

7、变换等于各函这个性质的作用是很显然的， 表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合。它的证明只需根据定义就可推出。数傅氏变换的线性组合。它的证明只需根据定义就可推出。 同样，傅氏逆变换的线性组合亦具有类似的线性性质，即同样，傅氏逆变换的线性组合亦具有类似的线性性质，即 11212( )( )( ).FGGf tft (2) 位移性质位移性质 00 () ( ).j tF f tteF f t 它表明时间函数它表明时间函数( )f t沿沿0,tt轴位移相当于它的傅氏变换相当于它的傅氏变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换乘以因子乘以因子0j te。

8、 证证 由傅氏变换的定义，可知由傅氏变换的定义，可知 000000() ()()(,) ( ) ( ) ( ).j tju tj tj uj tF f ttf tt edtttu dtduf u eduef u edueF f t令 同样，傅氏逆变换亦具有类似的位移性质，即同样，傅氏逆变换亦具有类似的位移性质，即 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大

9、学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1( ) ( )tFf t dtF f tj 它它表表明明一一个个函函数数积积分分后后的的傅傅氏氏变变换换等等于于这这个个函函数数的的傅傅氏氏变变换换除除以以因因子子j。 例例 6-6 求求微微分分积积分分方方程程 ( )( )( )( )tax tbx tcx t dth t 的的解解，其其中中, ,a b c均均为为常常数数。 解解：根根据据傅傅氏氏变变换换的的微微分分性性质质和和积积分分性性质质，且且记记 ( )( ), ( )( ).F x tXF h tH 哈尔滨

10、工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换在方就可以得到此微分方程的解。在方就可以得到此微分方程的解。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换二 Laplace 变换 1 从Fourier变换到Laplace 变换 2 拉氏变换的性质 3 拉氏逆变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学

11、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔

12、滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨

13、工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分

14、变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复

15、变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学哈