16动静法和动能定理2

1、1第十六章第十六章 动静法和动能定理动静法和动能定理 课题课题161 161 质点的动静法质点的动静法 课题课题162 162 动能定理动能定理 课题课题163 163 功率方程与机械效率功率方程与机械效率 2 课题课题161 161 质点的动静法质点的动静法一、惯性力的概念一、惯性力的概念 人推小车,由于惯性,小车对人手有反作用力amFFamFg 质点运动时，由于质点本身的惯性而引质点运动时，由于质点本身的惯性而引起的对施力物体的反作用力，称为该质点的起的对施力物体的反作用力，称为该质点的惯性力。惯性力。 小球作匀速圆周运动，由于惯性，小球对绳子有反作用力nTTamFF 质点的惯性力是质点给

2、施力物体反作用力的合力。大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。若用 表示质点的惯性力，则gFFTFTvm（16-1）3二、质点的动静法二、质点的动静法amFFN0gNFFFvmanFFNFg 设一质量为m的质点，在主动力 、约束力 作用下，沿其轨迹曲线运动。FNF 由质点动力学基本方程得（16-2）0amFFN此式表明: 作用于质点的主动力、约束力及惯性力，在形式上构作用于质点的主动力、约束力及惯性力，在形式上构成一平衡力系。成一平衡力系。此式即为质点的达朗伯原理。 注意：注意：惯性力并不作用于质点，其“平衡力系”是虚拟的。1.自然坐标式0gNFFF0gnNnnFFF（16-3）2

3、.直角坐标式0gxNxxFFF0gyNyyFFF（16-4）4例例16-1 图示列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一质量为m的单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求吊绳拉力和车厢的加速度 。解：解：1. 以摆锤为研究对象画受力图mgFgFT mg、FN、Fg构成形式上的平衡力系。2.列平衡方程求解 : 0 xF0singTFF :0yF0conmgFTconmgFTsinTgFmaFtansinconsingmmgmFaT 由此可见： 角角 随着加速度随着加速度a的变化而变化，当的变化而变化，当a不变时，不变时， 角角也不变。只要测出也不变。只要测出 角，就能知道列车

4、的加速度角，就能知道列车的加速度a 。这就是摆式。这就是摆式加速计的原理。加速计的原理。5vl例例16-2 图示重为G的小球系于绳子的下端，并与铅垂线成夹角，在水平平面内作匀速圆周运动。已知小球质量m=1kg，l=300mm，=60。求小球的速度v及绳子所受的拉力FT。 解：解：1. 以摆锤为研究对象画受力图 G、FN、Fg构成形式上的平衡力系。2.建立坐标系列平衡方程求解 : 0nF0singTFF :0yF0conGFTN6 .1960con8 . 91conGFTsinsin2TngFglGvagGFm/s1 . 28 . 9160sin3 . 08 . 96 .19sin22GglFv

5、TxynanGFgFT6例例16-3 图示矿石球磨机的力学简图。转筒绕轴O旋转，依靠摩擦力带动筒内许多钢球一起转动，钢球转到一定角度时，开始脱离筒壁而沿抛物线下落，以此打击矿石，打击力与角有关。设圆筒的半径为r，试求钢球脱离筒壁时的角与圆筒角速度的关系。解：解：1. 取最外层钢球画受力图G 2.列平衡方程求解 :0nF0congNFGFOrFfaFNFggGrmaFng2)con(2grGFNFN=0时，可得脱离角为)arccon(2gr工程中，一般=5040左右，则钢球具有最大的打击力lj 。若对于离心浇铸机来说，则要求lj。可以看出，当r2/g=1时，有=0，钢球不脱离筒壁。此时角速度lj

6、= ，称为临界转速临界转速。对于球磨机而言，应要求其lj。 rG7课节小结课节小结一、惯性力的概念一、惯性力的概念二、质点的动静法二、质点的动静法课后作业：课后作业：工程力学练习册工程力学练习册练习四十七练习四十七amFg 质点的惯性力是质点给施力物体反作用力的合力。大小等于质点的惯性力是质点给施力物体反作用力的合力。大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。0gNFFF（16-2）（16-1） 作用于质点的主动力、约束力及惯性力，在形式上构成一平作用于质点的主动力、约束力及惯性力，在形式上构成一平衡力系。衡力系。此式即为质点的达朗伯原理。1.

7、自然坐标式0gNFFF0gnNnnFFF（16-3）2.直角坐标式0gxNxxFFF0gyNyyFFF（16-4）8vms2s1v1v2 课题课题162 162 动能定理动能定理 设质量为m的质点 ，在力系合力作用下作平面曲线运动，由质点动力学基本方程的自然坐标式知 在上式两边同乘以微段路程ds得即得质点动能定理的微分形式 一、质点的动能定理一、质点的动能定理aFFtvmmaddstvmdddsF dvmvd)21d(2mvWdWmvd)21d(2式中 为质点m的动能； 为外力的元功。上式表明: 质点动能的微分等于作用于质点上的外力的元功质点动能的微分等于作用于质点上的外力的元功。221mvW

8、sFddaF对（16-5）式进行积分（16-5）2121d)21(2ssvvsFmvd1221222121Wmvmv积分形式（16-6） 在任一段路程中质点在任一段路程中质点动能的改变量，等于质点动能的改变量，等于质点上的作用力在同一路程上上的作用力在同一路程上所作的功。所作的功。9 动能是描述质点运动强弱的物理量。功是力在一段路程中对物体的积累效应。正功使物体动能增加，运动增强；负功使物体动能减小，运动变弱。动能的改变是用功来度量的。 二、力的功二、力的功 1.常力的功（16-7） 常力的功等于常力的功等于F在位移方向的投影与在位移方向的投影与位移的乘积。位移的乘积。ss1s2mFconco

9、nFssFW2.重力的功（16-8） 重力的功等于质点的重量与起始位置重力的功等于质点的重量与起始位置和终了位置高度差的乘积。和终了位置高度差的乘积。与质点的运与质点的运动路程无关。动路程无关。 GhyyGGdyWyy)(2121s1Gs2yxOy1y2103.弹性力的功 （16-9） 弹性力的功等于弹簧始末位置变形量弹性力的功等于弹簧始末位置变形量的平方差与刚度系数乘积的一半。的平方差与刚度系数乘积的一半。 当初变形大于末变形时，弹性力作正功；反之弹性力作负功。 （16-10） 作用于构件上常力矩的功等于常力矩与作用于构件上常力矩的功等于常力矩与转角的乘积。转角的乘积。当力矩与转角同向，常力

10、矩作正功；反之作负功。 zzMFMRFW2121d)(d4常力矩的功 力F在其作用点轨迹曲线上所作的元为dW=Fcosds=Fds=FRd=Mz(F)d。若Mz(F)为常力矩，因此常力矩的功为)(2dd22212121kxkxxFWs1s2mxO21xl0 F12xydsdR11三、动能的计算三、动能的计算 （16-11） 质点的动能等于质点质量与速度乘积的一半。质点的动能等于质点质量与速度乘积的一半。（16-12）平动构件的动能等于构件的质量与质心速度平方之积的一半。平动构件的动能等于构件的质量与质心速度平方之积的一半。 2.平动构件的动能 221mvE 1质点的动能 222121ciimv

11、vmE（16-13） 定轴转动构件的动能，等于构件对转轴的转动惯量与角速度平定轴转动构件的动能，等于构件对转轴的转动惯量与角速度平方之积的一半。方之积的一半。3.定轴转动构件的动能 222221)(2121ziiiiJrmvmE 设构件转动的某瞬时角速度为。构件上一质点的质量为mi，其速度为vi，该点距转轴的距离为ri，则任一质点的速度vi= ri。 12四、四、 构件的动能定理构件的动能定理（16-14）构件系统在某段路程上动能的改变量，等于所有外力和内力在该构件系统在某段路程上动能的改变量，等于所有外力和内力在该段路程上所作的总功。段路程上所作的总功。 设构件或构件系统由n个质点组成，任一

12、质点的质量为mi，某瞬时的速度为vi，所受合外力为Fie，合内力为Fii。将质系内各质点的动能定理相加得 dE=die+ dii ，再积分得：iieiWWEE12（16-15） 在理想约束条件下，构件系统在某段路程上动能的改变量，等构件系统在某段路程上动能的改变量，等于作用于构件上所有外力在该段路程上所作的功之和。于作用于构件上所有外力在该段路程上所作的功之和。 一般情况下，构件系统内力的功不一定等于零。如，内燃机中燃气对活塞的推力；又如车辆刹车块与刹车轮间的摩擦力的功。构件为一不变质点系（刚体），其内力必然等值、反向、共线。所以内力作功之和为零。对这类构件时，只须考虑其外力的功。 WEE12

13、13例例16-4 图示均质鼓轮的转动惯量为J，半径为R，在两边分别悬吊质重mA、 mB 的重物 ，自由释放后，求重物的加速度a。 解解:1.取系统为研究对象 设任一瞬时鼓轮的角速度,重物的速度为v=R 。2.求系统的动能222212121JvmvmEBA3.求系统外力作的功ghmghmWBA4.由动能定理求加速度hvhvBAaas222)(21JRmRmBARgmgmBA)(JRmRmgRmmAABA222)(2JRmRmgRmmRaAABA222)(mBgmAg222)(21JRmRmBARgmgmBA)(14例例16-5图示轮系轴总质量为m1，回转半径1。轴总质量为m2，回转半径2，起动时

14、轴作用力矩M1，轴作用阻力矩M2。已知1、2轮半径为r1、r2，i= r2/r1。求轴所获得的角加速度2。解解:取系统为研究对象 1=i2, 1=i22222112121JJE2.求系统外力作的功2211MMW3.由动能定理求角加速度222222211)(21mim222222112122)(2mimMiM1.求系统的动能221)(MiM 222222211)(21mim221)(MiM 2222211212)(mimMiM15课节小结课节小结一、质点的动能定理一、质点的动能定理二、力的功二、力的功 质点动能的微分等于作用于质点质点动能的微分等于作用于质点上的外力的元功上的外力的元功。（16-

15、5）Wmvd)21d(21221222121Wmvmv（16-6） 在任一段路程中质点动能的改在任一段路程中质点动能的改变量，等于质点上的作用力在同一路变量，等于质点上的作用力在同一路程上所作的功。程上所作的功。1.常力的功 常力的功等于常力的功等于F在位移方向的投影与位移的乘积。在位移方向的投影与位移的乘积。2.重力的功 重力的功等于质点的重量与起始位置和终了位置高重力的功等于质点的重量与起始位置和终了位置高度差的乘积。度差的乘积。与质点的运动路程无关。与质点的运动路程无关。 3.弹性力的功 弹性力的功等于弹簧始末位置变形量的平方差与弹性力的功等于弹簧始末位置变形量的平方差与刚度系数乘积的一

16、半。刚度系数乘积的一半。 作用于构件上常力矩的功等于常力矩与转角的作用于构件上常力矩的功等于常力矩与转角的乘积。乘积。4.常力矩的功 16四、四、构件的动能定理构件的动能定理课后作业：课后作业：工程力学练习册工程力学练习册练习四十八练习四十八三、动能的计算三、动能的计算 （16-11）221mvE 1质点的动能 （16-12）2.平动构件的动能 222121ciimvvmE（16-13）3.定轴转动构件的动能 222221)(2121ziiiiJrmvmE（16-15） 在理想约束条件下，构件系统在某段路程上动能的改变量，构件系统在某段路程上动能的改变量，等于作用于构件上所有外力在该段路程上所

17、作的功之和。等于作用于构件上所有外力在该段路程上所作的功之和。 WEE1217课题课题163 163 功率方程与机械效率功率方程与机械效率 （16-16）一、功率一、功率 vFtsFtWpdddd 2.设作用于定轴转动构件上某瞬时的常力矩为M，其元功dW=Md,若该瞬时构件的角速度为，则力矩M在该瞬时的功率为力在单位时间内作的功称为功率功率。单位W，1W=1J/s。 1.设作用于运动质点上的力为F，某瞬时的速度为v，力F的元功dW=FdS, 即力F在该瞬时的功率为（16-17）MtMtWpdddd 3.若传动轮系用功率为P（kW）、转速为n（r/min）的电机拖动。由上式可知，电机作用于轮系的

18、力矩M（Nm）为 （16-18）npnppM954960/2100018（16-19）二二、功率方程功率方程ptWtWdddd物系动能随时间的变化率等于作用于物系的所有力功率的代数和。物系动能随时间的变化率等于作用于物系的所有力功率的代数和。取构件系统动能定理的微分形式dE=d，两端除以dt，得（16-20）机器起动或加速时 ,一般机器此时不消耗有用功率，即P1=0 （16-21）01pp 若将式中所有力的功率之和分为输入功率P0，有用功率P1，无用功率P2。则上式可表示为 210ddppptW210ddpptWp机器正常运转（匀速运动）时，系统动能不变化， 在制动过程中，一般切断动力，即P0=0， 0ddtE0ddtE0ddtE三三、机械效率机械效率用功率P1与输入功率P0的比值称为机械效率机械效率。19例例16-6 图示车床车削直径d=18mm的工件，已知主轴的转速n=960r/min，主轴的转矩M=27Nm，车床的机械效率=0.8。试求车床的切削力F和电动机的输出功率。 解解:N30018. 02722dMF2.由16-18求切削力消耗的有用功率为 kW71. 295499602795491Mnp3.求电动机的输出功率（车床的输入功率）为1.取