工程有限元方法接触非线性讲义PPT30页

1、有限元方法与应用有限元方法与应用接触接触非线性非线性张有为张有为 工程力学系工程力学系接触非线性要点接触非线性要点 接触非线性概述接触非线性概述 接触界面条件接触界面条件 接触问题的求解方案接触问题的求解方案 接触问题的有限元方程接触问题的有限元方程 有限元方程的求解方法有限元方程的求解方法1 接触非线性概述接触非线性概述接触接触非非线线性的来源：性的来源：由由随时间发生变化的接触状态引随时间发生变化的接触状态引起，主要起，主要包括包括(1)接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态不仅事先未知，且都随时接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态不仅事先未知，且都随时间发生变化，需要在求解过程中确

2、定间发生变化，需要在求解过程中确定(2)接接触条件的非线性，包括触条件的非线性，包括接触物体不可相互侵入，接触力的法向分接触物体不可相互侵入，接触力的法向分量只能是压力，切向接触的摩擦条件，其主要特点是单边性的不等式量只能是压力，切向接触的摩擦条件，其主要特点是单边性的不等式约束，具有强烈的非线性约束，具有强烈的非线性轮轨接触轮轨接触 汽车接触碰撞汽车接触碰撞 1 接触非线性概述接触非线性概述引例：引例：解：由缆绳变形很小，故预紧力可以假定不随变形发生变化，则解：由缆绳变形很小，故预紧力可以假定不随变形发生变化，则2 接触界面条件接触界面条件 2.1 概况概况 基本符号定义基本符号定义接触体目

3、标体2 接触界面条件接触界面条件 接接触触面法向面法向 接触力接触力 瞬时速度瞬时速度法向分量法向分量切向分量切向分量2 接触界面条件接触界面条件 2.2 法向接触条件法向接触条件 不可贯穿性不可贯穿性 法向接触力为压力法向接触力为压力接触面间运动学方面的条件，即两物体的位形接触面间运动学方面的条件，即两物体的位形在运动过程中不允许相互贯穿在运动过程中不允许相互贯穿(侵入或覆盖侵入或覆盖)接触面间动力学方面的条件，即在不考虑粘附接触面间动力学方面的条件，即在不考虑粘附等情况，法向接触力只可能是压力等情况，法向接触力只可能是压力2 接触界面条件接触界面条件 2.3 切向接触条件切向接触条件 (1

4、) 无摩擦模型无摩擦模型若两个物体的接触面是绝对光滑的，或若两个物体的接触面是绝对光滑的，或者相互间的摩擦可以忽略，则采用无摩者相互间的摩擦可以忽略，则采用无摩擦模型擦模型两个物体的接触面的切向可以自由的相两个物体的接触面的切向可以自由的相对滑动对滑动2 接触界面条件接触界面条件 (2) Coulomb摩擦模型摩擦模型库仑摩擦模型因其简单和适用性而广泛应用于工程分析中，其认为切向接触库仑摩擦模型因其简单和适用性而广泛应用于工程分析中，其认为切向接触力的数值不能超过它的极限值，即力的数值不能超过它的极限值，即摩擦系数摩擦系数且且表明切向相对滑动速度表明切向相对滑动速度与摩擦力的方向相反与摩擦力的

5、方向相反3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案 3.1 接触问题求解的一般过程接触问题求解的一般过程试探校核迭代求解方法：试探校核迭代求解方法：1.根据前一步结果和本步给定的载荷条件，通过接触条件的检查和根据前一步结果和本步给定的载荷条件，通过接触条件的检查和搜寻，假设此步第搜寻，假设此步第1次迭代求解时的接触面的区域和状态次迭代求解时的接触面的区域和状态2.根据上述关于接触面区域和状态所作的假设，对于接触面上的每根据上述关于接触面区域和状态所作的假设，对于接触面上的每一点，将运动学或动力学上的不等式约束改为等式约束作为定解一点，将运动学或动力学上的不等式约束改为等式约束作为定解条件引入方程

6、并进行求解条件引入方程并进行求解3.利用接触面上和上述等式约束所对应的动力学或运动学的不等式利用接触面上和上述等式约束所对应的动力学或运动学的不等式约束条件作为校核条件对解的结果进行检查约束条件作为校核条件对解的结果进行检查若不违反接触条件，则完成本步求解并转入下一增量步若不违反接触条件，则完成本步求解并转入下一增量步否则转入否则转入1再次进行搜寻和迭代求解，直到每一点的解都满足再次进行搜寻和迭代求解，直到每一点的解都满足校核条件校核条件3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案 3.2 接触面的定解条件和校核条件接触面的定解条件和校核条件接触状态接触状态定解条件定解条件校核条件校核条件接接触触

7、粘粘结结滑滑动动分分离离3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案 3.3 接触问题的虚位移原理接触问题的虚位移原理其中其中接触力虚功，具体形式接触力虚功，具体形式待定待定(拉格朗日乘子法和拉格朗日乘子法和罚函数法中不同罚函数法中不同)惯性力惯性力虚功虚功外力虚外力虚功功内力虚内力虚功功3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案 3.4 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法拉格朗日乘子拉格朗日乘子原问题原问题22,22186z x yxxyyxy0 xy等式约束等式约束简单求解方法简单求解方法xy224zxx0zx12x 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法*22, .22186zx yxxyyxyxy*4218

8、0zxyx*2260zxyy *0zxy12 ;6xy 3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案原问题中不包含原问题中不包含接触约束条件的接触约束条件的总位能总位能拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法引入约束条件的引入约束条件的附加泛函附加泛函3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案(1) 粘结接触状态粘结接触状态拉格朗日乘子拉格朗日乘子拉格朗日乘子的意义拉格朗日乘子的意义拉格朗日乘子与拉格朗日乘子与接触力相对应接触力相对应粘结状态时的接触力虚功粘结状态时的接触力虚功3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案接触力虚功接触力虚功(2) 无摩擦状态无摩擦状态拉格朗日乘子的关系拉格朗日乘子的关系接触力虚功接

9、触力虚功(3) 滑动摩擦状态滑动摩擦状态3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案拉格朗日乘子法的优缺点：拉格朗日乘子法的优缺点：1. 可使得约束条件得到精确满足可使得约束条件得到精确满足2. 增加了方程的自由度数增加了方程的自由度数3. 求解方程的系数矩阵中包含零对角元素求解方程的系数矩阵中包含零对角元素3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案惩罚因子惩罚因子原问题原问题22,22186z x yxxyyxy0 xy等式约束等式约束罚函数法罚函数法2*22, .22186zx yxxyyxyxy*421820zxyxyx*22620zxyxyy 12 15/12 ;1 1/xy 3.5 罚函数

10、法罚函数法 12y 3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案原问题中不包含原问题中不包含接触约束条件的接触约束条件的总位能总位能罚函数法引入约罚函数法引入约束条件的附加泛束条件的附加泛函函3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案(1) 粘结接触状态粘结接触状态惩罚因子惩罚因子接触力与惩罚因子的关系接触力与惩罚因子的关系粘结状态时的接触力虚功粘结状态时的接触力虚功3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案(2) 无摩擦状态时的接触力及接触力虚功无摩擦状态时的接触力及接触力虚功(3) 滑动摩擦状态时的接触力及接触力虚功滑动摩擦状态时的接触力及接触力虚功3 接触问题的求解方案接触问题的求解方案罚函数法

11、的优缺点：罚函数法的优缺点：1. 不增加方程的自由度数不增加方程的自由度数2. 求解方程的系数矩阵保持正定求解方程的系数矩阵保持正定3. 只能使得约束条件得到近似满足只能使得约束条件得到近似满足4. 罚函数太大将导致显式解法的时间步长临界值降低罚函数太大将导致显式解法的时间步长临界值降低5. 罚函数太大可能导致两个接触体的相对运动发生虚假罚函数太大可能导致两个接触体的相对运动发生虚假反向，使得解的过程不稳定反向，使得解的过程不稳定4 接触问题的有限元方程接触问题的有限元方程 4.1 接触界面的离散处理接触界面的离散处理 接触块接触块 接触点对接触点对接触块接触块(或线或线)：单元上处于接触面上

12、的面单元上处于接触面上的面(或边或边)二维问题的主被动接触线二维问题的主被动接触线一被动接触块与多个主动接触块相接触一被动接触块与多个主动接触块相接触4 接触问题的有限元方程接触问题的有限元方程 例例：二维四节点等参单元接触点对相对位移：二维四节点等参单元接触点对相对位移等参插值：等参插值：坐标更新：坐标更新：相对位移：相对位移：(全局坐标系全局坐标系)相对位移：相对位移：(局部坐标系局部坐标系)4 接触问题的有限元方程接触问题的有限元方程 等效节点接触力等效节点接触力接触力虚功：接触力虚功：每一接触对上等每一接触对上等效接触力的虚功效接触力的虚功接触点对数接触点对数4 接触问题的有限元方程接触问题的有限元方程 4.2 拉格朗日乘子法求解拉格朗日乘子法求解T.L.格式有限元方程格式有限元方程U.L.格式有限元方程格式有限元方程等效节点接触力向量等效节点接触力向量等效节点接触力向量等效节点接触力向量4 接触问题的有限元方程接触问题的有限元方程分离形式分离形式T.L.格式有限元方程格式有限元方程U.L.格式有限元方程格式有限元方程4 接触问题的有限元方程接触问题的有