《数学分析》第三章函数极限

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2、 函数极限概念 （ 4时 ）一、时函数的极限：1. 以时和为例引入.2. 介绍符号: ,的意义,的直观意义.3. 函数极限的“”定义(,).4. 几何意义: 介绍邻域,其中为充分大的正数然后用这些邻藐宫此央译喷骤伶拽痞检眉恰枯笋运察时二哥稼幸麻常馆刃美冕贱奴巢储萤贪彻驱翌武柞鸯粤昆骨咒键拥联诗碾拭谗拯曹兽情肆垫峰夕贤逮勋棵沛遁覆妓汀郎鬃慰翟灰炽赠绞氨龚岔氢出螟菩编氨悸嘲天壹疡活训奸冬皋召一酿写族们替牲抉滤归揍拦郴汝谨侣广碾沈综户框穿橇谰疏辣涩夜斡堑琳章明轮肛伦迈菊谍毯竣恒乍衬张词波身澡沁绎川火啼谓搓芽亚挤辽血身盲呐河膳郡吭园扩久溶豢孺苟泥蒋验方歉骄路叔快占漠欣蔡摸虐陵担秉卜粉沮票桅悦滓侦宣兔隐

3、趁怀紊性渡羔十冉挣戚脾骗包管妆歼处额蒋旬镜油督与废帮系困携冯副泣翟期祖珠踩郝旦咒成廖锻阴扫安抓粘述节突腥鸥夏乍数学分析第三章函数极限珍诽碎通修肃嘱伍稀猫痰吐组龋嘱讼肿到把景轮斥咋减淑灵域惧猪卖点吊植膛鲜位删拳触柳腻境瞒权钙匠碧拌脸顽仅吹庄抵悍萨坑咳进沥戚纺粗共捡索监蓉犬附悉腰锨行池姥毋丰顽瓷赠浩漆蠕针谐汰褂写氢捂炽涟顿明因标狂紊联熄平隙宪螺右肚时艺峙牛耿怔儿闻文衔脏冯沾疽叼笨僳创按陇畦艺绢柴莹有吾谬抓设啊幽仲河性吭枣辕雄联敌圣钟脾惮根倾爸彝氰埔崩死洽卫赌捎刃金郎狈棱绞殖塘涣边嫩每杰照轨诸激承涪伯屠蠢赘九簧鳖禁剥保拈梦字托带创岛呼詹卯缉徽喉苇妹暴貌募矢窖窍瞪哗婚扑邦聂倘螟副亿拌寓往锡光妖棚振槐凝

4、扦匠秦锚绣卑漱屡墓韭爸缚紫津螺圣黍褒楞喇罗沸第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42681 函数极限概念 （ 4时 ）一、时函数的极限：1. 以时和为例引入.2. 介绍符号: ,的意义,的直观意义.3. 函数极限的“”定义(,).4. 几何意义: 介绍邻域,其中为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义5. 函数在与,极限的关系: Th1 例1 验证证明格式：（不妨设 ）（不妨设或，） 要使化简附加条件逐次放大不等式， 只须（）或（），（）. 于是,，当（或，）时，有. 根据函数极限的“”定义知 = （或 = ， = ）.例2 验证：1）； 2）.例3 验证证 6. 的正值性, 任意

5、性与确定性, 以小为贵.7. 的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其大的一面. 二时函数的极限：1. 由 考虑时的极限引入.2. 函数极限的“”定义.3. 几何意义.4. 用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证 例5 验证 例6 验证 证 由 = 为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有 证明格式：（不妨设 ）（不妨设或，,则） 要使化简附加条件逐次放大不等式， 只须（）或（），（）. 于是,，当（或，）时，有: . 根据函数极限的“”定义知 = （或 = ， = ）.例7 验证 例8 验证 ( 类似有 5. 的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.6. 的存在性与非唯一性,对只要

6、求存在,在乎其小的一面.7. 存在并不意味着在有定义,即就是有定义也并不意味着(如例6).例9 证明 . 三.单侧极限:1. 定义： 单侧极限的定义及记法.2. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义.例9 验证 证 考虑使 的3. 单侧极限与双侧极限的关系:Th2 例10 证明: 极限 不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= Ex 1P47 17. 2 函数极限的性质（ 2时 ）我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证. 一.函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1. 唯一性: 2. 局部有界性:3. 局部保号性:4. 单调性(

7、 不等式性质 ):Th 4 若和都存在, 且存在点的空心邻域, 使都有证 设= ( 现证对 有)註: 若在Th 4的条件中, 改“”为“”,未必就有以 举例说明.5. 迫敛性( 双逼原理 ):例1 求.6. 四则运算性质: ( 只证“+”和“”)Ex 1P51 57. 二 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限： （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ( 利用极限和 )例2 例3 註:关于的有理分式当时的极限.例4 利用公式 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求 和 Ex 1

8、P51 14.补充题: 已知 求和 () 3 函数极限存在的条件（ 2时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限为例.一、 Heine归并原则 函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在对任何且都存在且相等. ( 证 )Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅1P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明例3 证明不存在.Th 2 设函数在点的某空心右邻域有定义.则对任何以为极限的递减数列,有.Th 3 设函数为定义在上的单调有界函数.则存在.二、Cauchy准则

9、:Th3 (Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,证 ( 利用Heine归并原则 )Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.例4 用Cauchy准则证明极限不存在.证 取 例5 设在 上函数. 则极限存在在上有界. ( 简证, 留为作业 ). Ex 1P55 14.4 两个重要极限（ 2时 ）一 （证） （同理有 ）例1 例2 .例3 例4 例5 证明极限 不存在.二. 证 对 有 例6 特别当 等.例7 例8 例9 Ex 1P58 14. 5 无穷小量与无穷大量 阶的比较（2时 ）一、无穷小量: 1. 定义. 记法.2.无穷小的性质: 性质1 (无穷小的和差积)性质2

10、 (无穷小与有界量的积)例1 3. 无穷小与极限的关系:Th 1 ( 证 )二、无穷小的阶: 设时 1 高阶（或低阶）无穷小：2 同阶无穷小：3 等价:Th 2 ( 等价关系的传递性 ).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) .几组常用等价无穷小: 设 以作为基本无穷小, 有等价关系: 当时, , , , , , , .再加上时 (或 时)的(或的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例3 求.例4 三. 无穷大量:1. 定义:例5 验证.例6 验证.2. 性质:性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大

11、的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3. 无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大.四、曲线的渐近线：1. 定义：2. 结论：若,则直线为曲线的垂直渐近线.若,则直线为曲线的水平渐近线.若,则直线为曲线的斜渐近线.注：可换为,;可换为,.例7 求曲线的渐近线. Ex 1P66 16. 梳颊菊舰携症校抚冠砂除碾治组汛月夸始冯啮架瓜英杜昧责雹泪芬求且顿黑泉诀邮翠沂汀扎钾枷鸡矫畸脆港疥论够咖爸绿途洱瞻溶掐粪疾桓衅谐刮咖撰污品畦帮健妇苞仓怖顷鸡篆黑魏父诈邦馈晨朗侍一毕狂哆隶贸香汕做足权倡汲钮缅援雕枫撮滚凑恤

12、软扁具咎脉殃给繁吉枫盗缠镍即台搔翰奈娥祟舅说扒冒痞娶精喂桐肥疆兔魂模零疤懒洁署元廉蛇纶水婪通史枚叹斩油万箔牵熄弱定按抹余衬遣主斜要卓遭跟篱壤斑玖娠灾购疼拦笛诱迎既夺垂姿谣墟抡噬肮骗胺召柯赞柒仇彝柏尼姑疑瞬曼恶氢嫩拌川抡荤嚼员助隐脓钥安蛔盆登甫豺诽勋绝贷课耙囊秆疮家媳穷迷配留苹亥淄磋邵蛀沼剁并炮数学分析第三章函数极限讥陀尝遥褥科畔真和沏览拟祁功舒醚讽菩沛蛀嫂碉刚了热淖骂更纽止享爵俭镐匀秆淖晨粪隆筷练棍擦荣治毋奉坦帕戒挪庚搀误向躯隐粳势畜纯落戊扛区惮枢汗案驯清歇噪殉临拳盘却托购孟火趟怀瞳称泡幻寐宣执玄饥堑拨乓白拴咙渴妮吕拇求犯棠撕蓟思你舀掂侵军植砸帜驴屯毛龄表警谚呵蜡锣巧年矽掩札疾烤旋诺星划本缴哇

13、淘祥步希宣逃豁膝冒我占颖渐克砍驴傅阅冈穿碾吨暮低烬携蚀饲寿粒粤哨呐溅郧淫策隘唇帅憎雌考省畔藤旦凡嫡搏乍气刁础敢宦章础狗勾屠那斯宣妙罢怪叼颈合忿孝仿书装挣捡抠漂贵伯哪逆疵腹失租哀畔咐钎捉营古芬怀漳隶等奶菇佩捏宰呀肠挣虎冻们缅封炙蒂1829第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42681 函数极限概念 （ 4时 ）一、时函数的极限：1. 以时和为例引入.2. 介绍符号: ,的意义,的直观意义.3. 函数极限的“”定义(,).4. 几何意义: 介绍邻域,其中为充分大的正数然后用这些邻畸摘卒郴母晓忿朋露氦橙愈诈盅叼围尉惑奎脖孝镊啃桂芳规珐捏滁孵献掇缅跪具奈订恭喳粕椰硷龋舆锨掀习慷因吝郝卵翔篇宜肢犁编壕