第5章常用随机变量的分布

1、应用概率统计应用概率统计应用概率统计1两点分布与二项分布两点分布与二项分布2泊松（泊松（Poisson）分布）分布3均匀分布均匀分布4指数分布指数分布5正态分布正态分布第第5章习题课章习题课第第5章章 常用随机变量的分布常用随机变量的分布应用概率统计应用概率统计第第5章章 常用随机变量的分布常用随机变量的分布应用概率统计应用概率统计1两点分布与二项分布两点分布与二项分布1.1两点分布两点分布应用概率统计应用概率统计10.95P X 010.950.05P X ( )F xP Xx0,00.05,011,1xxx应用概率统计应用概率统计1.2二项分布二项分布应用概率统计应用概率统计888(2)(

2、0)(1)(2)P XPPP622871880084 . 06 . 04 . 06 . 04 . 06 . 0CCC0498. 0应用概率统计应用概率统计1.3二项分布与（二项分布与（0-1）分布之间的关系）分布之间的关系应用概率统计应用概率统计12nXXXX，否则发生次试验中，第01AiXi应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计1.4二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望和方差证明证明 ()E Xp()(1)D Xpp应用概率统计应用概率统计而且而且 nXXXX21( )()E XE X1(),()(1),1,2,iiE Xp D Xppin1()()D XD X()()nE

3、XE X2np2()()nD XD X(1)npp应用概率统计应用概率统计. ),()(,.10,20旅客是否下车相互独立旅客是否下车相互独立并设各并设各下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客在各个车站设每位旅客在各个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以客下车就不停车客下车就不停车如到达一个车站没有旅如到达一个车站没有旅个车站可以下车个车站可以下车客有客有旅旅位旅客自机场开出位旅客自机场开出一机场班车载有一机场班车载有XEX解解,iX引入随机变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第.1021XXXX 则则例例应

4、用概率统计应用概率统计,109020 iXP则则有有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i(), ,.iE Xi1 2由此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEXE 20109110).(784. 8次次 209110应用概率统计应用概率统计解解 ( ,1/2),( ,1/2),XB nYB nXYn()( )/2,()( )/4E XE YnD XD Yn)()(),(YEYXEXEYXCov)()(XnEXnXEXE21()()4E XE XD Xn 1)()(),(YDXDYXCovXY应用概率统计应用概率统计2泊松（泊松（Poisson）分布）分布2.

5、1泊松（泊松（Poisson）分布）分布应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计) 1()0(1)2(XPXPXP06666611 70.98260!1!eee 应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计解解 （1） (3)P X 35551253!6ee（2） (3)(1)(3)(31)(1)(1)PXXP XP XXP XP X551(2)1 371(0)1P XeP Xe应用概率统计应用概率统计解解 400400(0.02) (0.98),0,1,2,400kkkP XkCk则所求概率为则所求概率为4001101(0.98)0.9997P XP X 2.2泊松定理泊松定理应

6、用概率统计应用概率统计(1)limlime!kkn knnnknnnP XkCkpp(0)kn应用概率统计应用概率统计解解 212P XP X 6000 0.0016np 11P X 666161 7eee 应用概率统计应用概率统计2.3泊松分布的数字特征泊松分布的数字特征证明证明 ,0,1,2,!kP Xkekk1()!kkE Xkek11 0(1)!kkeeek 应用概率统计应用概率统计220()kE Xk P Xk21!kkkek1(1)!kkekk22()()()D XE XEX00!kkkkekekk121 00(1)!kkkkeekk 2()E X22应用概率统计应用概率统计解解

7、P ZnP XYn0 nkP Xk P Ynk12120!()!kn knkeeknk12()1201!()!nkn kknenk nk 12()12()!nen12()ZP, 2 , 1 , 0n应用概率统计应用概率统计( )(32)E ZEX3 ()2E X32244应用概率统计应用概率统计3均匀分布均匀分布3.1均匀分布均匀分布应用概率统计应用概率统计均匀分布的密度函数均匀分布的密度函数 应用概率统计应用概率统计1( )c lc lcclP cXclp x dxdxbaba应用概率统计应用概率统计0,1( )(),1,xaF xxaaxbbaxb应用概率统计应用概率统计均匀分布的分布函数

8、均匀分布的分布函数 应用概率统计应用概率统计解解 1,23,( )50,xp x 其他，1 145PXdx 1340.85应用概率统计应用概率统计3.2均匀分布的数字特征均匀分布的数字特征()2abE X12)()(2abXD应用概率统计应用概率统计证明证明1( )( )baEp x dxdXxxb ax222211()()3baEdxbababXxa222)(121)()()(abXEXEXDbabxaabxp其他, 0,1)(211()22baxabba应用概率统计应用概率统计解解 1,0,( )0,vap va其他,2()()E WE kV2( )p v dvkv 202 113advk

9、avak应用概率统计应用概率统计/()22S4P XY1SO方D应用概率统计应用概率统计max,1XPY 1,1P XY1133SS1/9应用概率统计应用概率统计4指数分布指数分布4.1指数分布指数分布应用概率统计应用概率统计指数分布的概率密度指数分布的概率密度 应用概率统计应用概率统计1,0( )0,0 xexF xx 应用概率统计应用概率统计解解（1） ) 15 . 0( XP（2） )2(XP35 . 115 . 0315 . 033eeedxexx623233eedxexx应用概率统计应用概率统计（3） )(XXP33)(3eee)()(XPXP)(),(XPXXP)(1)(1FF应用

10、概率统计应用概率统计4.2指数分布的数字特征指数分布的数字特征1()E X21)(XD应用概率统计应用概率统计证明证明0( )( )xE Xxp x dxxedx01dttextt1)(100dtetett20222)(dxexXEx22222112)()()(XEXEXD应用概率统计应用概率统计,0( )0,0 xXexpxx44,0( )0,0yYeypyy(4 )4,0,0( , )0,xyexyp x y其他()()x 4y0 xP XY4edy dxA应用概率统计应用概率统计22()()()XXE XeE XE e21()XE e 201xxee dx 301xedx 301133x

11、edx 113 4/3应用概率统计应用概率统计5正态分布正态分布5.1正态分布正态分布应用概率统计应用概率统计2211( )xxp xe2(1)1122xe22(1)1221122xe11/2应用概率统计应用概率统计正态分布的密度函数正态分布的密度函数 应用概率统计应用概率统计正态分布的密度函数的性质正态分布的密度函数的性质 应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计概率密度概率密度 221( ),()2xxex 分布函数分布函数 1( )( ),()2xxxt dtdtx 22te应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计()1x

12、P Xx2 ( ) 1x ( )x应用概率统计应用概率统计5.2正态分布与标准正态分布的关系正态分布与标准正态分布的关系( ) xF x应用概率统计应用概率统计证明证明 22()21( )2txF xedt2212xyxedy 应用概率统计应用概率统计P aXbba （2）应用概率统计应用概率统计解解 5.8P X (1.2)0.8849 06PX (1.3)( 1.7) (1.3)1 (10.9554)5.83.4263.4203.42(1.7)0.90320.8586查表查表计算出三位小数，保留二位小数应用概率统计应用概率统计9.9510.05PX10.05109.95100.020.02

13、 2.52.5 22.51 20.9938 10.9876应用概率统计应用概率统计解解 111()P XxF x 1 1400.866x 查表得查表得 1406x 11.08 64046.48x 1406x 0.141.08应用概率统计应用概率统计解解 22()P XxF x 由标准正态分布的对称性知由标准正态分布的对称性知 0.55查表得查表得 2406x 20.13 64039.22x 2406x 0.452406x 0.13应用概率统计应用概率统计5.3正态分布的数字特征正态分布的数字特征证明证明 2()E X22212xxedx221()2xxd e 222211122xxxeedx

14、321)(2442dxexXEx类似可得类似可得 221()02xE Xxedx应用概率统计应用概率统计()E X2()D X证明证明 令令 XY(0,1)YN( )0E Y ( )1D Y XY()E X()EY( )E Y()D X()DY2( )D Y2应用概率统计应用概率统计解解 ( )XYFyP YyP ey2ln21ln 2xyP Xyedx2(ln )21,0( )( )20,0yYYeypyFyyy应用概率统计应用概率统计5.5二维正态分布二维正态分布22112222112212()()11( , )exp()2() 2(1)21xxyyp x y 应用概率统计应用概率统计应用

15、概率统计应用概率统计解解 ( )( , )Xpxp x y dy2211222111()2 ()11exp2(1)21xxttdt22yt222211222111()2 ()11exp(1)2(1)21xxttdt应用概率统计应用概率统计2121()2212211()111exp 2(1)221xxetdt=12121()211( )2xXpxe211(,)XN 222(,)YN 2222()221( )2xYpye应用概率统计应用概率统计解解 211(,)XN 1)(XE21)(XD222(,)YN 2)(YE22)(YD 12 (, )()() ( , )Cov X Yxyp x y dx

16、dy应用概率统计应用概率统计 122 121(, )()()21Cov X Yxy 2212122121()1expexp() 22(1)xyxdydx212211()1yxt11xu22222212121(1)2uttuu edtdu 应用概率统计应用概率统计12 222221211(, )()()22utCov X Yu eduedt 22212221()()2utuedutedt (, )()( )XYCov X YD XD Y=0=121122122C 应用概率统计应用概率统计证明证明 ( , )( )( )XYp x ypxpy2212121211exp()() 22xy 22112

17、222112212()()11( , )exp()2() 2(1)21xxyyp x y 应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计解解 2221( )()()( )( )2z xxyZXYx y zFzP ZzP XYzpx fy dxdydxedy 2222()2211( )( )()22z xxyxz xZZddpzFzdxedyedxdzdz22()4212zzxeedx22212()122441111222222zxzzeedxe应用概率统计应用概率统计()( )aE XbE Yc22()( )2(, )a D Xb D YabCov X Y1122nnaaab22222211

18、22nnaaa应用概率统计应用概率统计21( ,)niiia XbN 1niiiEa Xb21niiiDa Xb其中其中 应用概率统计应用概率统计()( )aE XbE Yc22()( )2(, )a D Xb D YabCov X Y1122nnaaab2222221122nnaaa22()212ze应用概率统计应用概率统计解解 ( )()2 ( )12E ZE XE Y ( )()4( )40D ZD XD Y(2,40)ZN22(2)(2)2 408011( )24080zzp zee应用概率统计应用概率统计( )(21)2 ()11E YEXE X ( )(21)2 ()11E YEX

19、E XD应用概率统计应用概率统计第第5章习题课章习题课离离 散散 型型随机变量随机变量连连 续续 型型随机变量随机变量均均匀匀分分布布指指数数分分布布正正态态分分布布两两点点分分布布二二项项分分布布泊泊松松分分布布定定义义记记号号概概率率密密度度数数学学期期望望方方差差特特性性定定义义记记号号分分布布律律数数学学期期望望方方差差特特性性应用概率统计应用概率统计二项分布二项分布( , )XB n p, 0,1,2,P Xkkn()E X ()D X (1)kkn knC ppnp(1)npp应用概率统计应用概率统计泊松分布泊松分布( )( )XP ,0,1,2,P Xkk()E X()D X (

20、1lie!)mkkn knknnnC ppklimnnnp!kek应用概率统计应用概率统计均匀分布均匀分布( , )XU a b,( )0 ,axbp x其他()E X 1ba2ab()D X 2()12ba应用概率统计应用概率统计指数分布指数分布( )( )XEExp,0( )0,0 xp xx()E X xe1()D X 21应用概率统计应用概率统计正态分布正态分布2( ,)XN ( )p x ()E X ()D X 22()212xe2应用概率统计应用概率统计概率密度概率密度 221( ),()2xxex 分布函数分布函数 221( )( ),()2txxxt dtedtx 应用概率统计

21、应用概率统计应用概率统计应用概率统计()1x P Xx2 ( ) 1x ( )x应用概率统计应用概率统计()P XxF xx 应用概率统计应用概率统计21( ,)niiia XbN 11nniiiiiiEa Xbab22211nniiiiiiDa Xba其中其中 应用概率统计应用概率统计典型例题典型例题解解 10.10.10.10.1(2)1(0)(1)11 1.11!P XP XP Xeee 应用概率统计应用概率统计应用概率统计应用概率统计解解 （1）对应于中午）对应于中午12时至下午时至下午3时的时的t=3，则，则 2tXP01.51.51.5(0)0!P Xee（2）对应于中午）对应于中午12时至下午时至下午5时的时的t=5，则，则 (2)1(0)(1)P XP XP X 012.52.52.52.52.5113.50!1!eee /2/2()!kttP Xkek应用概率统计应用概率统计解解 1( )()(21)()2YyFyP YyPXyP X 12012yydx1( )( )2YYpyFy1,13( )20,Yypy其它应用概率统计应用概率统计解解 ( )YFy2PXy2( )22yXXyyP Xpt dtF 210( )200yYYd