总结拉格朗日中值定理的应用

1、精品资料总结拉格朗日中值定理的应用精品资料总结拉格朗日中值定理的应用以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个 微分学的理论基础， 尤其是拉格朗日中值定理。 他建立了函数值与导数值之间的 定量联系， 因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。 中值定理的主要作用在 于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等 项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之， 微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁， 是利用导数的局部性质推断 函数的整体性质的工具。 而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下 的一个定理， 我们需

2、要对其能够熟练的应用， 这对高等数学的学习有着极大的意 义！拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面： 利用拉格朗日中值定理证明 （不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问 题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑精品资料出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成 X X，变形后观察法凑成 F F (X)(X)，由此求出辅助函数 F(x)F(x) 如例 1.1.例L设函数在血占上连续，在 3)内可导，证明：存在fG(a.6).便得/(a) x)分析：结论变形为爼/-(圧

3、-巧r 丸*即可凄成= O ,将换成工结论变形为24/(切-/佃)卜(孑-)Z(x)=O.即EM9)-/S)ll【0 -R)/(切=0从而可设辅助函数为凡肌他)-0有F(a=F(h.本题得证证明：令工)=”/(协/卜，则F(J在上连续*在*上内可导，艮F(皿*由狎尔定理知至少存在一点虽W便得FW如0)-几0-(沪筒常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数 k k 值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含士的部分作为 k k，即使常数部分分离出来并令其为 k k，恒等变形使等式一端为 a a 与 f(a)f(a)构成的代 数式，另一端为 b b 与.f(

4、b)f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a(a 或 b)b)改为变量 x x 移项即为辅助函数 f(x),f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定 k k，一般来说， 当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公 式如例 3.3.精品资料例 3”设/U)在a,6 h 连续在(“丄)内可导 口趴试旺存在一点e(,6),使等式/(d) )V) )= Ingf()成立.a分析：将结论变形为 4 孚gfg,左边为常数因此可令 K 二平占单 3 则有f(6)-ZCln6(a) jnoIna-Kins 令g 可得辅助函数 F(x)t)-Klnv,证法 1：设-幷号屮口)1

5、B 则可验证F lnbInaQ)在血上满足罗尔定理的条件夕由罗尔定理得旺.证法 2：将所求证等式的右端恒等变形为在闭区间a上满足柯西中值定理的全部条件*所以存在 f eaf6),使得即/Uh( (GW( () )ln a倒推法：这种方法证明方法是欲证的结论出发， 借助于逻辑关系导出已知的条件和结论如例 4 4例 4.设/(斗)在.fr(O a=OtF(x)在 0上连续在(a,6)内可导*满足罗尔定理条件”故存在 f e(a.6).使严()=0.即書方广(一恥一予()=0 所以广成立.介值法：证明中，通过引入辅助函数g(x)=f(x)-xg(x)=f(x)-x 将原问题转化为(a,b)(a,b)

6、可导函数 g(x)g(x)的最大值或最小值至少有一个在必在内点达到， 从而可通过 g(x)g(x)在(a,ba,b)可导条件，直接运用费马定理，完成证明。如例6 6 例 6-证明：若八龙)在口丄上可导，则广可取 a )与广( (60 之何的一切值.HE 明=Vne (/( 口)，/气 b )(或 7? e (/-(b ).广( (a)，令g-(xx )Fh /t* 的性质兀)在上可导(x)=x)-77，Fh 町的性质”有了) 不妨设 Ot即 lim心)*40 卡由极限的 占一*xa性质知，B 0,使得当xe (7 U 时*cj即目(G 不是有界闭区间sb上的连续函数 B 加) 的最大值. 同理

7、*由( (6) )o使得当耳EU7 ( 6 )时有g(x)r( fr )F即gib)也不是R(戈)在 fa* b上的最大值*但 弹兀必在 s上达到其垠大值故 必存在 G ( a, 6 )4使 VXG aP6+有 o) )MgU 又邕父、在电处可导由 Format 定理虫(Xo=0 , R 卩广 (*)=” 由 1?匚(f a )tJ( b) 1(或rjeb)，/(a )的任意性，命題得证精品资料一拉格朗日中值定理证明(不)等式在不等式的证明中，关键是选取适当的辅助函数f (x)和区间(a, b),通过E的范围，根据导函数f确定f (E)和分式的范围，得证。如例题 7 7。例 7 7.xV*证明

8、二田于加壬lJC一”八，所以銮证原不等A式可变形为亠 V “I 2 V 丄取辅助函数y( (JT) )工z yy=Irijc”有由于0 V y V E VJC,故丄 Vn =厶 v ,所以，丄v y= 土 =E$壬c-得证。JT精品资料例8:.*+1. *+l试证不等式牯叫 A*討其中 a ”为白然数。证明：令证明：令fhPkzi h引引ftx0U.n+l |上应用拉氏中值定理上应用拉氏中值定理则在则在UL二二 1 1 罟。因为罟。因为ki 際gVtT - tana V_g证明：在区间a ,p上对函数畑壮使用屮值定理，可知存 在g e (a ,0 )，使得tiui Btaiic)t=(P -

9、Q 丄弋=由丁-在(0,耳)kzx是严格递减的函数，从而rti ova vp vJ|一可得( (-osG tH( (iSP O所UA-a-Ot所以有所以有f ” I? liik_ 7+To考虑到函数古考虑到函数古1/在上绘单调递减在上绘单调递减 丄J_J_ 1A . +1. k严严kInk小所以一 故有冷音计*s(n+f设Xa 0o1- xm1- xn分析：分析： 所嬰求的极限为所嬰求的极限为 - - 型型 次彳次彳以上以上 心心. .我我f门可门可先將分毋先將分毋 通通分后分后. .然后用洛然后用洛必达法则戟娱通过计易不难必达法则戟娱通过计易不难发现藝两次用到洛必达发现藝两次用到洛必达 法则

10、法则 而且计兽屋而且计兽屋非带尺非带尺观观/E我我彳门用彳门用 旳一种方法求解旳一种方法求解 所求极所求极限为二限为二 元函数元函数f k. p =, y ”在区问在区问 a-a- 町上的两卩端町上的两卩端点的函数伉的差点的函数伉的差. .m1 X.-此可此可和用拉格削和用拉格削屮值总丄里丸梅蔽眼畀比屮值总丄里丸梅蔽眼畀比無無 令函数令函数 匕匕9 =L十十 在在 E*E* 口口1上对燮量上对燮量 运用拉格朗日运用拉格朗日 中值定理得中值定理得-= (m-n)工二0申门 J其中土已其中土已 蚀蚀. .2 2 * *I* XfflI - X* = Jtf】田丄書伞其空_I - X 1 - X(

11、1 - x4)5+ F A 1+ (x+1 )2又因为时毒也又因为时毒也+o . IfUUiU.尹工= =凹凹 LH-xL +(x+ 1 )2精品资料可以可以看到看到. .虽然这种方法中也用迥洛必达虽然这种方法中也用迥洛必达法则法则* *但但先用拉格朗口先用拉格朗口 中值定理将极限中值定理将极限转化为较简单的形式可使计篦呈小许名转化为较简单的形式可使计篦呈小许名 r r 因此因此* *对于类对于类 似上面的两种类型的未定式的似上面的两种类型的未定式的极极限的表达式中出现拉格朗日限的表达式中出现拉格朗日 中们匚理中的中们匚理中的代或或b -f 的形式的时候，先用拉的形式的时候，先用拉格朗口格朗口

12、b- a中值定理将极限转化然后再中值定理将极限转化然后再求解，求解，常可以达到出其不意的牧果。这就常可以达到出其不意的牧果。这就 建求我建求我们平时们平时做题时要善于现察题冃做题时要善于现察题冃的特征的特征 S S 总結解题方法总結解题方法 同时同时. .例例2也告诉我们对丁也告诉我们对丁多多元函元函数数我们我们也可以对其中的一个变童运用拉格朗口也可以对其中的一个变童运用拉格朗口 中值定理中值定理 此时只需将其它的变星看作常此时只需将其它的变星看作常数即可。数即可。三研究函数在区间上的性质因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系， 很多时候。我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定 理的结论。通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要 的方法。如例 1212 :训倔細删珈观irt删刪加卿山训申O；证明证明= =设当时、设当时、|g）|对于对于 靭血亡靭血亡（aM在以在以血关血关为端点为端点的区间的区间Mil拉氏中值定理拉氏中值定理 有有血沁血