D11_7斯托克斯公式 环流量与旋度

1、二、环流量与旋度二、环流量与旋度 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 第七节第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十一章第十一章 yozx一一、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理1. 设光滑曲面设光滑曲面 的边界的边界 是分段光滑曲线是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数个空间域内具有连续一阶偏导数, 的的侧与侧与 的正向符合的正向符合右手法则右手法则, RQP,在包含在包含 在内的一在内的

2、一证证:情形情形1 与平行与平行 z 轴的直线只交于轴的直线只交于 一点一点, 设其方程为设其方程为yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见为确定起见, 不妨设不妨设 取上侧取上侧 (如图如图).yxDC则有则有简介简介 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 因此因此SzPy

3、PxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加三式相加, 即得斯托克斯公式即得斯托克斯公式 ;定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 情形情形2 曲面曲面 与平行与平行 z 轴的直线交点多于一个轴的直线交点多于一个, 则可则可通过作辅助线面把通过作辅助线面把 分成与分成与z 轴只交于一点的几部分轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加然后相加, 由于沿辅助由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消曲线

4、方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果如果 是是 xoy 面上的一块平面区域面上的一块平面区域, 则斯托克斯则斯托克斯公式就是格林公式公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕证毕定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为便于记忆为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 定理定理

5、1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例1. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中其中 为平面为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个被三坐标面所截三角形的整个解解: 记三角形域为记三角形域为 , 取上侧取上侧, 则则边界边界, 方向如图所示方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性利用对称性yxDyxdd323yxD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 为柱面为柱面与平面与平面 y = z 的交线的交线,从从 z

6、 轴正向看为顺时针轴正向看为顺时针, 计算计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 设设 为平面为平面 z = y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域 , 且取下侧且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222公式公式 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、二、 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式斯托克斯公式yxxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd设曲面设曲面 的法向量为的法向量为 曲线曲线 的单位切向

7、量为的单位切向量为则斯托克斯公式可写为则斯托克斯公式可写为 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令 , 引进一个向量引进一个向量),(RQPA Arot)(),(),(yPxQxRzPzQyR记作记作向量向量 rot A 称为向量场称为向量场 A 的的RQPkjizyx称为向量场称为向量场A定义定义: sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的的环流量环流量.sASnAddrot或或sASAndd)(rot于是得斯托克斯公式的向

8、量形式于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ozxyl设某刚体绕定轴设某刚体绕定轴 l 转动转动,M为刚体上任一为刚体上任一点点, 建立坐标系如图建立坐标系如图,M则则),(zyxr 角速度为角速度为 ,r), 0, 0(点点 M 的线速度为的线速度为rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即此即“旋度旋度”一词的来源一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向量场向量场 A 产生的旋度场产生的旋度场 穿过穿过 的通量的通量

9、 注意注意 与与 的方向形成右手系的方向形成右手系! sASAndd)(rot为向量场为向量场 A 沿沿 的环流量的环流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义:例例4. 求电场强度求电场强度 rrqE3zyxkjiErot的旋度的旋度 .解解: )0, 0, 0(除原点外除原点外)这说明这说明, 在除点电荷所在原点外在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋整个电场无旋.3rxq3ryq3rzq机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zyxkjiArot的外法向量的外法向量,计算计算解解: ) 1,0,0(SIdcosyxyxDdd28232zxy, 4:222zyx例例

10、5. 设设),3,2(2zxyA .drotSnAI)cos,cos,(cosn为n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zRyQxPddd在在 内与路径无关内与路径无关在在 内处处有内处处有在在 内处处有内处处有),(rotRQPxQyP,yRzQ,zPxR2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件空间曲线积分与路径无关的充要条件设设 P, Q, R 在在 内具有一阶连续偏导数内具有

11、一阶连续偏导数, 则则RQPkjizyx0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zuyuxu,3. 场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设设, ),(zyxuu , ),(RQPA 梯度梯度:uradgu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotAAdivA机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 散度散度:旋度旋度:则则思考与练习思考与练习,222zyxr设则则.)radg(rot;)radg(divrr提示提示:rradgrzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)radg(rotr三式相加即得三式相加即得)radg(divrrzryrxzyxkji0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家英国数学物理学家. 他是他是19世纪英国世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一数学物理学派的重要代表人物之一, 其其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法的有效且一般的新方法, 在在1845年他导年他导出了著名的粘性流体运动方