数列的通项公式与求和的常见方法

1、1常见数列通项公式的求法类型一：公式法1(或定义法)例1.已知数列an满足ai1,an1an2 (n N ), 求数列an的通项公式。例2.已知数列an满足a12，亠3 (n N*)，求an数列an的通项公式。变式练习：1.已知数列an满足a12，an 1an1 0 (n N )， 求数列an的通项公式。2.已知数列an满足a16，an 1an3(n N*)，求数列an的通项公式。13.已知数列an满足a11，a221 1 2(n 2)，求数列an的通项公式。an 1an 1an4.已知数列an满足a11，an 13a.(n N*)，求数列an的通项公式。类型二：(累加法)an 1anf (n

2、)解法：把原递推公式转化为an 1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列an满足an 1an2n 1 (n N )，a11，求数列an的通项公式。变式练习：1*1.已知数列an满足a1，an 1an2n，(n N )求2数列an的通项公式。12.已知数列an满足a11，anan 1n(n1)(n 2)，求数列an的通项公式。_ n*3.已知数列an满足an 1an2 3 1，(n N),a13，求数列an的通项公式。14.已知数列an中，a12，an 1anln(1 )，求数n列an的通项公式。类型三：(叠乘法)an 1f (n)anan商相乘法)求解_n*3.已知数列an满足

3、an 12 5 an(n N )，a13，求数列an的通项公式。类型四：递推公式为Sn与an的关系式Snf (an)解法：这种类型一般利用与anSnSn 1f (a“)fQnJ消去Sn(n 2)或 与Snf(SnSn1)(n 2)消去a.进行求解。例.已知数列an的前n项和为Sn，a12且Sn2an 1(n 2)求数列an的通项公式。1.已知数列an的前n项和为Sn,Sn4an2, 求数列 an的通项公式。22.已知数列an的前n项和为Sn,Snn 5n 1求数列 an的通项公式。3.已知数列an的前n项和为Sn,Sn2“3,求数列an的通项公式。类型五：待定系数法an 1panq(其中p,q

4、均为常数，(pq(p 1)0)o解法：构造新数列bn； 叮p解出 ，可得数列anbnan为等比数列例：已知数列an中，a11, an 12a.1,求数列an的通项公式。变式练习：1.已知数列an满足a13,an 12an1(r已知数列,a 求数足:aan的通项公式。1,求数列an的通项公式3 an 112.已知数列an中，a11,3an 14an6，求数列an的通项公式。3.已知数列an的前n项和为Sn,且2Sn3an2n(n N*)求数列an的通项公式。类型六：交叉项问题解法：把原递推公式转化为an 1f (n)，利用累乘法(逐例：在数列an中，已知a11,nan 1(n 1)an,(n 2

5、)，求数列an的通项公式。变式练习：21.已知数列an满足a1,an 1n*an,(n N ),3n 1求数列an的通项公式。3n 12.已知a13,an 1an(n1)，求数列an的3n 2通项公式。例：已知数列an满足a11,an 12an(n N*),an2求数列an的通项公式。变式练习：1.已 知 数 列an满足a11,anbn1an 1bn2 bn 1bn0,令CnJ求数列Cn的通bn项公式。类型七：(公式法2)(an 1panpn)p0；2n3n 2,an2n 3n，求Sn.前n项的和.1.求数列又bn2anan 1，求数列bn的前n项的和.1解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一

6、个新的等差数 列。nan 1(n 1)ann(n 1)，(n N )，求数列an的通项公式。2.已知首项都为1的两个数列an、bn(bnOn N*)，满足解法：将其变形为an-n 1p为公差的等差数列；annpp,即数列annp为以一p例.已知数列an满足an12an3 2n,a12,求数列an的通项公式。变式练习：1.已知数列an满足an 15an5n1,a11,求数列an的通项公式2.已知数列an满足an 13an4 3n,31,求数列an的通项公式。数列求和的常用方法类型一：公式法1例.已知log3x -，求x x2x3xn的log23前n项和.变式练习1.数列an中，an2n 1,求S

7、n.2.等比数列an的前n项和Sn2n1,求22 22a1a?a3a*.类型二：分组求和法例.求数列的前n项和:111 1,：4,存7,22变式练习1.已知数列an中,12.已知数列an中，an(2n1)n，求Sn.类型三：倒序相加法 例.求sin21 sin22 sin23 sin288sin289的值.11.已知f (x)，求f(1) f (2) f (3)1 x类型四：错位相减法：例.数列an中，an(2n 1) 2n 1，求Sn.变式练习2 4 62n1.求数列- 23n2 2 2 22.数列an的前n项和为Sn2n2,bn为等比数列,且a1b|,b2(a2a1) b|.(1)求数列a

8、n和bn的通项公式;a(2)设Cn2，求数列Cn的前门项和Tn.bn类型五：裂项相消法1例.已知数列an中，an-，求Sn.n(n 2)的前n项和.2.在数列an中，an3.求和求数列的通项与求和作业1.已知数列an的首项a11(若an 1an2，贝V an _(2)若an 12an，则an _1(3)若an 1ann 1,则an;(4) 若an 12nan,则an(5)若nan(n1)an 1，则an;(6)若an3an 12(n2)，则an(7)若an 1an，则an。an13.24.5.等比数列的前n项和Sn2n1，求6.求和：7.求和：8.设务是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且印bi1,a3b521