工程力学04综述

1、工程力学学习目标了解力在空间坐标系的投影熟悉空间汇交力系的平衡条件和平衡方程熟悉力对点之矩矢、力对轴之矩矢了解空间力偶系的平衡条件和平衡方程了解空间任意力系力的合成熟悉空间任意力系的平衡条件和平衡方程了解重心2022-4-73 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。迎 面风 力侧 面风 力b2022-4-74cosyFFcoszFF1、直接投影法、直接投影法一、力在直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影cosFFx2022-4-752、二次投影法（间接

2、投影法）、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将确定时，可先将 F 投影到投影到xy面上，然后再投影到面上，然后再投影到x、y轴上，轴上，即即coscoscoscossinFFFXxysincossinsinsinFFFYxysincosFFZ2022-4-76例：求图示手柄上的力F 在三个坐标轴上的投影coscosFYsinFZsincos FXcos FFxy73 3、力沿坐标轴分解、力沿坐标轴分解： 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： zyxFFF,zyxFFFF222ZYXFFZFYFXcos,cos,coskZFjYFiXFzyx,

3、而：kZjYiXF所以：F Fx xF Fy yF Fz z2022-4-78RiFF空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 4、空间汇交力系的合力解析式、空间汇交力系的合力解析式合力的大小合力的大小222()()()RxyzFFFFcos(, )xRRFF iF 方向余弦方向余弦cos(, )yRRFFjFcos(, )zRRFF kF ( (由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采用几何法合成）由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采用几何法合成） 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点的作用线通过汇交点.

4、.2022-4-79空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程称为空间汇交力系的平衡方程. .0 xF 0yF 0zF 0RF 该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. .2022-4-710求：三根杆所受力. 例例66已知：已知：P P=1000N ,=1000N ,各杆重不计各杆重不计. .解：各杆均为二力杆，取球铰O O， 画受力图。0 xF 045sin45sinOCO

5、BFF0yF 045cos45cos45cosOAOCOBFFF0zF 045sinPFOAN1414OAF（拉）N707OCOBFF例例7 空间构架由空间构架由 3 根无重直杆组成，在根无重直杆组成，在 D 端用球铰链连接，端用球铰链连接，如图所示。如图所示。A，B 和和C 端则用球铰链固定在水平地板上。如果端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在挂在 D 端的物重端的物重P =10 kN，求铰链，求铰链 A，B 和和C 的约束力。的约束力。2022-4-7132022-4-713 1 1、力对点的矩以矢量表示、力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢3 3）转向：即使刚体绕转轴转动的方向）转向：即

6、使刚体绕转轴转动的方向2 2）转动轴方位：力的作用线与矩心所）转动轴方位：力的作用线与矩心所决定的平面的法线方位决定的平面的法线方位1 1）大小：力）大小：力F F与力臂的乘积与力臂的乘积三要素：三要素：一、力对点之矩矢一、力对点之矩矢 FrFMdFFrFrFmO),sin()(FOMO（F）dyzx|MO( F ) |= F.d =2SOABAB定义矢量定义矢量 rOAMO( F ) = rOAF 空间力系中，力对点的矩空间力系中，力对点的矩矢量等于矢量等于力始点相对于矩心的力始点相对于矩心的矢量矢量与与力矢量力矢量的的矢量积矢量积rOA投影（投影（A点坐标）：点坐标）：x、y、zF 投影：

7、投影：Fx、Fy、Fz rOA = x i +y j +z k F =Fx i +Fy j +Fz kMO( F ) = rOAFzyxFFFzyxkjirOAMO( F ) = rOAFzyxFFFzyxkjikjixyzxyzyFxFxFzFzFyF力对点矩矢量的力对点矩矢量的解析表达式解析表达式力对点的矩矢量在力对点的矩矢量在 x、y、z 轴上的轴上的投影投影MO( F )x = yFz - zFyMO( F )y = zFx - xFzMO( F )z = xFy - yFx2022-4-7162022-4-716( )()zOxyxyM FM FFh二、力对轴之矩二、力对轴之矩202

8、2-4-717 力对轴的矩矢力力对轴的矩矢力使刚体绕该轴转动效果的度量，是使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。 正负号规定：从正负号规定：从z z轴正端来看，若力的这个投影使轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动，则为正，反之为负。可用右手物体绕该轴逆时针转动，则为正，反之为负。可用右手螺旋法则确定。螺旋法则确定。 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零力对该

9、轴的矩为零. .定义：定义：它是代数量，方向规定它是代数量，方向规定 + + 的面积2)()(BOAdFFmFmxyxyOz2022-4-7182022-4-718力对轴的矩的解析式)()()()(yOxOxyOzFmFmFmFmxyzyFxFFm)(由合力矩定理：由合力矩定理：即同理可得其余两式，即有：xyzzxyyzxyFxFFmxFzFFmzFyFFm)()()(力对轴的矩的解析式力对轴的矩的解析式FxFyFzFxyFOyzxAByxzOA点坐标：点坐标：x、y、zF 投影：投影：Fx、Fy、FzMz ( F ) = MO ( Fxy )= MO ( Fx ) + MO ( Fy ) =

10、 -Fx.y + Fy .x 力力F 对对 oz 轴的矩为轴的矩为同理力同理力F 对对 ox 轴的矩为轴的矩为= -Fy.z + Fz .y 力力F 对对 oy 轴的矩为轴的矩为= -Fz.x + Fx .z 三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系FxFyFzFxyFOyzxAByxzOA点坐标：点坐标：x、y、zF 投影：投影：Fx、Fy、FzMx (F )= yFz zFyMy (F )= zFx - xFzMz (F )= xFy - yFx.MO (F )=( yFz zFy) i + ( zFx xFz) j +( yFz zFy) k

11、力力F 对对 O 点之矩矢量的解析表达式点之矩矢量的解析表达式力对某点矩矢量在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴的矩力对某点矩矢量在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴的矩2022-4-7212022-4-721 例例44：求图示手柄上的力：求图示手柄上的力F F 对三个坐标轴之矩对三个坐标轴之矩coscosFYsinFZsincos FXF作用点: F在坐标轴上的投影：lxly20zsin2)(lFzYyZMxFsin)(lFxZzXMyF)sin2(coscos)(lFyXxYMzF2022-4-7222022-4-722一、力偶矩以矢量表示力偶矩矢一、力偶矩以矢量表示力偶矩矢( ,)(

12、 )()OOOABMF FMFMFrFrF ( ,)()OABMF FrrFM FFBAMrF 空间力偶对刚体的作用效应，可用力偶矩矢来度量，即用力偶中空间力偶对刚体的作用效应，可用力偶矩矢来度量，即用力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。2022-4-7232022-4-723BAMrF+ 由此可得出，由此可得出，它有三个要素：，它有三个要素： 力偶矩的大小力偶矩的大小= 力偶矩作用面的方位力偶矩作用面的方位与力偶作用面法线方向相同与力偶作用面法线方向相同 在作用面内的转向在作用面内的转向遵循右手螺旋规则。遵循右手螺旋规则。M24 证证 作II/，

13、cd / ab 作一对平衡力R, R (在E点,且 使-R=R) 由反向平行力合成得： F1与R合成得F2，作用在d点 F1与R合成得F2，作用在c点 且R-F1=F2 ，R- F1= F2 在I内的力偶（F1，F1）等效变成II内的（ F2， F2 ） 二、空间力偶的等效定理二、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则两个作用在同一刚体的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则两个力偶等效。力偶等效。2022-4-725三、空间力偶系的合成与平衡条件三、空间力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF=iMMM为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的

14、矢量和为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .2022-4-726222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xxyyzzMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程称为空间力偶系的平衡方程. .000 xyzMMM0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合力偶矩矢等于零，即合力偶矩矢等于零，即 cosxMMcosyMMcoszMM27, ,x y z,xyzMMM求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影轴上的投影 . . 例例 已知：在工件四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5 5个孔，每个孔所受切削

15、力偶矩均个孔，每个孔所受切削力偶矩均为为8080Nm.解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A A .mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz2022-4-728求求: :轴承轴承A,BA,B处的约束力处的约束力. . 例例 已知：两圆盘半径均为已知：两圆盘半径均为200mm200mm，AB AB =800mm=800mm，圆盘面，圆盘面O O1 1垂直于垂直于z z轴，圆盘面轴，圆盘面O O2 2垂直于垂直于x x轴，两盘面上作用有力偶，轴，两盘面上作用有力偶，F F1 1=3N=3N，F F2

16、2=5N=5N，构件自重不计构件自重不计. .解：取整体，受力图如图所示.0 xM24008000AzFF0zM14008000AxFFN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF2022-4-729 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。 nFFFF321, 设作用在刚体上有设作用在刚体上有空间一般力系空间一般力系向向O点简化点简化（O点任选）点任选）一、空间任意力系向一点的简化一、空间任意力系向一点的简化2022-4-730根据力线平移定

17、理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系： 和附加力偶系 注意 分别是各力对O点的矩。由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。, , 321nFFFFnmmm,21nmmm,212022-4-731合成 得主矢即（主矢 过简化中心O， 且与O点的选择无关）合成 得主矩即： （主矩 与简化中心O有关）,321nFFFFRiiFFRRnmmm,21OM)(iOiOFmmmOM2022-4-732结论：结论： 空间力系向任一点简化，可得到一力和一力偶。该力空间力系向任一点简化，可得到一力和一力偶。该力通过简化中心，其力矢称为力系的主矢，它等于力系诸力通过简化中心，其力矢称为力系的主矢，它等于力系诸力

18、的矢量和，并于简化中心无关；这个力偶的力偶矩矢称为的矢量和，并于简化中心无关；这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，它等于力系诸力对简化中心之矩力系对简化中心的主矩，它等于力系诸力对简化中心之矩矢的矢量和，并与简化中心的选择有关。矢的矢量和，并与简化中心的选择有关。33 空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。矢、主矩的不同情况分别加以讨论。1 1、若 , 则该力系平衡平衡（下节专门讨论）。0, 0OMR2 2、若 则力系可合成一个合力偶合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心

19、的位置无关此时主矩与简化中心的位置无关。0, 0OMR3 3、若 则力系可合成为一个合力合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。 （此时（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）0, 0OMRRRR34 4 4、若 此时分两种情况讨论。即： OMR OMR / 0, 0OMR由于做iOOOFRRMRMddRM合力,若时OMR )(dRMO可进一步简化，将MO变成( R, ,R)使R与R抵消只剩下R。35若 时，为力螺旋的情形为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）例例 拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺线OMR /R不平行也不垂直M0，最一般

20、的成任意角 在此种情况下，首先把MO 分解为M/和M 将M/和M 分别按、处理。主矢R在直角坐标系oxyz的投影：主矢的大小和方向余弦：222zyxRRRR222zyxFFF , ,cosRFxxR , ,cosRFyyRRFzz,cos R, xxFR, yyFRzzFR三、主矢、主矩的计算三、主矢、主矩的计算1 1、主矢的计算、主矢的计算：2、主矩的计算：、主矩的计算：主矩主矩LO在直角坐标系在直角坐标系oxyz的投影：的投影：主矩的大小和方向余弦：主矩的大小和方向余弦： Fxoxml Fyoyml Fzozml 222FFFzyxommmL , ,cosoxoLmFiL , ,cosoy

21、oLmFjL ozoLmFkL ,cos第六章第六章 空间任意力系空间任意力系2022-4-739四、空间任意力系的平衡条件四、空间任意力系的平衡条件 如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三三轴移动，也不能绕轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动。三轴转动。 即满足：0)( , 00)( , 00)( , 0FmZFmYFmXzyx空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件是：空间任意力系平衡的充要条件是： 各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个轴各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个轴力矩的代数和都必须

22、分别等于零。力矩的代数和都必须分别等于零。 共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。2022-4-740还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。 对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点）则0)(0)(0)(iziyixFmFmFm成为恒等式成为恒等式000ZYX2022-4-741 对于空间平行于对于空间平行于 z 轴的平行力系：轴的平行力系：则000)(YXFmiz成为恒等式成为恒等式故空间平行于故空间平行于 z 轴的平行力系的平衡方程为：轴的平行力系的平衡方程为：0)(0)(0FmFmZyixOxyzF

23、1F2F3Fn2022-4-742例例 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。(Q力作用在C轮的最低点）解解：选研究对象 作受力图 选坐标列方程2022-4-743)N(746,010050;0)N(352,0;0由QQPmPYPYYzzyyAyA)N(385 , 020sin ; 0)N(2040 , 020sin 50300200 ; 0)N(729 , 020cos ; 0)N(437 , 020cos 5020050300 ; 0

24、0000AzBABzBxAxBABByxzZQPZZZZQPZmXQPXXXXQXPPmAA方法方法(二二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。2022-4-745例例 已知：AB杆, AD,CB为绳, A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、B的反力。解：解：思路：要巧选投影轴和取思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未矩轴，使一个方程解出一个未知数。知数

25、。2022-4-7460N8 , 0PNZB由02160cos, 0 CEPACTmBDDN)( 1 .23806333260ctg260cos60ctg2160cos PPTACPACTBBCEAC 60cos60ctg又2022-4-747)N( 5 .1121806360cos060cos , 0BABATTTTX)N( 20238063060sin , 0ABANTNY48【例】已知：F F、P P及各尺寸 求： 杆内力解：研究对象，长方板受力图如图列平衡方程026PaaF 0ABMF 26PF 0AEMF 05F 0ACMF 04F 0EFMF 022216baabFPaaF01F

26、0FGMF 022bFPbFbPF5 . 12 0BCMF 045cos232bFPbbFPF2232022-4-749已知： P=8kN,101kNP各尺寸如图求：A、B、C 处约束力解：研究对象：小车受力：受力：1,ABDP P FFF 列平衡方程0zF01DBAFFFPP 0FMx022 . 02 . 11DFPP 0FMy06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP结果：kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5ABDFFF例例6 6 空间平行力系空间平行力系45 重重 心心 （自学）（自学） 空间平行力系，当它有合空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点力时，合力的作用点C 就是此就是此空间平行力系的中心空间平行力系的中心。而物体。而物体重心问题可以看成是空间平行重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。力系中心的一个特例。 一、空间平行力系的中心、物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心1 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC 如果把物体的重力都如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重看成