极坐标与参数方程题型及解题方法65164

1、参数方程极坐标I复习提问1 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点 0 0 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x x 轴的正半轴。如果点 P P 在直角坐标系下的坐标为（x x，y y），在极坐标系下的坐标为 （PfPf ）, ,则有 下列关系成立：口x.口ycossinpp4 4、 圆（x-ax-a）2+2+（y-by-b）2=r22=r2 的参数方程是什么？5 5、 极坐标系的定义是什么？答：取一个定点 0 0,称为极点，作一水平射线OxOx，称为极轴，在 OxOx 上规定单位

2、长度，这样就组成了一个极坐标系设0P=0P=，又/ xOP=rxOP=r 和二的值确定了，则P P 点的位置就 确定了。 叫做 P P 点的极半径，二二叫做 P P 点的极角，（，二）叫做 P P 点的极坐标（规定 写在前，二写在后）。显然，每一对实数 （:-）决定平面上一个点的位置 6 6、参数方程的意义是什么?n题型与方法归纳极坐标与普通方程的互相转化1 1、 题型与考点（1 1）极坐标与直角坐标的互相转化:参数方程与普通方程互化（2 2）参数方程与直角坐标方程互化/利用参数方程求值域（3 3） 参数方程的几何意义2 2、解题方法及步骤（1 1 ）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通

3、方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数， 即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f t（或y = g（t），再代入普通方程F x,y =0,求得另一关系y二g（t）（或x二f t）. .一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）L二2七_2丄例 1 1、方程（t为参数）表示的曲线是（）y =2 +2A.A.双曲线 B.B. 双曲线的上支C.C. 双曲线的下支 D.D.圆解析：注意到2tt与24互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可2 2消去含

4、t的项，X2- y2= 2七-2飞-2 2二4,即有y2- X2= 4，又注意到2t0,2t2-1-2 2t21=2,即y-2，可见与以上参数方程等价的普通方程为2 2y -x -4（y-2）. .显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B B练习 1 1、与普通方程x2y -0等价的参数方程是（X = tgt BJ2C.y =1 -tg t y =tx2 y1=0等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一（2 2）、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化， 可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1 1）极点与原点重合；（2 2）极轴与x轴正方向重合；

5、（3 3）取相同的单位长度. .设点 P P 的直|92=x2+ y2或y；若把直角tgvtgv L x坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点 P P 所在的象限（即角 二的终边的位置），以便正确地求出角二.一z2日）（t为能数）x =costD.2y =si n21x =si nt2ty =cos t解析：所谓与方程致而且x, y的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解对于 A A 化为普通方程为对于对于B B 化为普通方程为C C 化为普通方程为D D 化为普通方程为2x2xy-仁0, y-仁0,y-1=0,y-仁0,而已知方程为x2y -1 = 0, x R，y （X1-1,1

6、1, y0仁；x R, y （-：,；x 0, ：）, y（：,1; ;x丨-1,11, y：= 01 1.：,1,显然与之等价的为 B.B.练习 2 2、设 P P 是椭圆为分析：注意到变量2x23y2=12上的一个动点，则x 2y的最大值是,最小值x,y的几何意义，故研究二元函数x 2y的最值时，可转化为几（对于t取不同的值，方程表示不x 2t，故点x,y是方程组何问题. .若设x 2y =t，则方程x 2y =t表示一组直线， 同的直线），显然x,y既满足2x23y2-12，又满足2x2+3v2=12r的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一x 2y =t元二次方

7、程的判别式_0问题. .2 2解析：令x 2y =t,对于x,y既满足2x 3y =12，又满足x，2y=t,故点x,y2x23v2=1222x 2y =t&=64t2-4 11 2t2-12 -0，解得：22 t . 22，所以x 2y的最大值为,22,最小值为-、22.X =cos J角坐标为x, y，它的极坐标为，贝U.y = Psin日例 2 2、极坐标方程4，sin 5表示的曲线是（）2A.A. 圆B.B.椭圆 C.C.双曲线的一支D.D.抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断- - 1 1 一cos =解析：由4 sin42 -2 cos二,化为直角坐标系方程为

8、2 222、.x y -2x =5，化简得宀5x晋显然该方程表示抛物线，故选D.D.练习1、已知直线的极坐标方程为sin一=，则极点到该直线的距离是I 4丿2可得.；?sinv COST-1,化为直角坐标方程为x y _1 =0，因此点到直线的距离为练习2、极坐标方程T2COST -?- 0转化成直角坐标方程为（）A.A.x2y2= 0或y=1B B .x=1C C .x2y2=0或X =1D D .y =1分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解解析：COST-1）=0,-.x2y2=0,或COST- x = 1，因此选 C.C.练习3、点M的直角坐标是（-1,、3），则点M的极坐标

9、为（）A.A.（2,）B B .（2,）C C .（2, ）D D .（2,2k）,（k - Z）3 3333” 2兀解析：（2,2k）,（kZ）都是极坐标，因此选 C.C.3（3 3）、参数方程与直角坐标方程互化x = -2 + v10 cos日亠例题 3 3：已知曲线G的参数方程为丿 ，一（。为参数），曲线C2的极坐标方=110 s in B程为=2 cos v 6 sin v.（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;（）曲线G,C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.解析：极点的直角坐标为o 0,0， 对于方程PsinPsin1

10、02sinsin2coscos2，2 2 2 2 2 2解:, x(1(1 )由丿4 4解：直线 C C2化成普通方程是 x+y-2x+y-22-1=0-1=0(x 2)2y2=10曲线G的普通方程为（x 2）2 y2=10二2cosv 6 sin二2= 2cos6sin -2 2 2=x y ,x =cosv,y =sinv x2y2=2x 6y，即(x一1)2(y一3)2=10曲线C2的直角坐标方程为2 2(x -1) (y-3) =10(2 2)v圆G的圆心为(-2,0)，圆C2的圆心为(1,3)CQ2| =J(2 _1)2+(0 _3)2 =3次迈 2航.两圆相交设相交弦长为d，因为两

11、圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2d23122 2(孑() =(10)d = . 22公共弦长为 22练习 1 1、坐标系与参数方程. .已知曲线 C C:XiE+Zcos%为参数，o ow & & 22 冗)，=1 + 2sin日(I)将曲线化为普通方程；(n)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.解：直线 C C2化成普通方程是 x+y-2x+y-22-1=0-1=0解析：(I)x2y2- 2.3x -2y = 0(n)=2 .3 cosv sin)(4)(4)利用参数方程求值域x = 1 + cos日例题 4 4、在曲线C1:丿(日为参数)上

12、求一点，使它到直线C2 y = s in&_ 1x =-2& t!12y =1 tI.2(t为参数)的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。设所求的点为 P P (1+cos,sin)1+cos,sin)则 C C 到直线 C C2的距离 d=d=|1 cosi 2-11=|si=|si n(r+n(r+ )+2|)+2|4 4当竺时，即十生时，d d 取最小值 1 14 42 24 4此时，点 P P 的坐标是(1 1-二,-_?)2 2 2 2练习 1 1、在平面直角坐标系 xOyxOy 中，动圆 x x2+ + y y2- - 8xcosv-8xcosv- 6ysin6ysin v v +

13、 + 7cosS+7cosS+ 8=8= 0 0)的圆心为 P(x,P(x, y)y)，求 2x-2x- y y 的取值范X X 4 4 c c osos解：由题设得 2 2 ( (B B 为参数，日 E E R R)于是. .j j =3=3 s s i i 2x-y=8cos-2x-y=8cos- 3si=n.3si=n.7-37-3 c c o o s s ( () )所以 _ 73W73W 2x_yw.2x_yw. 7373 . .3 3x x t t 2 25 54 4y y t t5 5(t(t 为参数)(I)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程;(n)设直线 L L 与x轴的交

14、点是M,N曲线C上一动点，求MN的最大值. .解：(1 1)曲线C的极坐标方程可化为:P P2 2=2Psin8=2Psin8又x2y2=2,x = Qcosv,y =sinv.所以，曲线C的直角坐标方程为：x2y2-2y =0 .令y=0得x=2即M点的坐标为( (2,0)又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为( (0,1)，半径r= 1,练习 2 2、已知曲线C的极坐标方程是Q=2sinv，设直线 L L 的参数方程是(2(2)将直线L的参数方程化为直角坐标方程得:y - -4(x - 2)3得（1 -t）2（1丄t）2=4,t2（、3 1）t2=0,t& - -2,22则点P到A,B两点的距离之

15、积为2.（t为参数）被曲线：= .2cos（一）所截的弦长43x 4 y 1 = 0,x2y2- x y = 0,圆心 C（1，-1）半径为子圆心到直线的距离d= 弦长2d2二（6 6）、参数方程与极坐标的简单应用 参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某 些函数的最值问题例 6 6、已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A 5, ,B 5,C -4；3, ,判I 6丿I 2丿I 3丿则MC=5MN MC +r = 75 +1（5 5）直线参数方程中的参数的几何意义例 5 5、已知直线丨经过点P（1,1）, ,倾斜角:二写出直线丨的参数方程；设I与圆X2 y2=4

16、相交与两点A, B,求点P到A, B两点的距离之积. .解 （1 1）直线的参数方程为JiX = 1 t cos 6y=1tsi n673X “t21丄y = 1 t 2（2 2）把直线代入x22 /y=4,练习 1 1、求直线“4 +x=1t53 y = -1t54.53y =T t5解：将方程/5t,P= JFcOS（日n-）分别化为普通方程:75x断三角形 ABCABC 的三角形的形状，并计算其面积 分析：判断 ABCABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易,不妨先计算边长解析：D Dxy =1,x取非零实数，而 A A, B B, C C 中的x的范围有各自

17、的限制x - -2 5t2.曲线十玄（讪参数）与坐标轴的交点是（21115A A.(0, )、(，0)B B .(0,-)、(一，0)C C.(0, -4)、(8,0)D D.(0, )、8,0)525291x =t2x二si ntx = cost(1B B.1C.C.1 1 . . 1D.D.y =t2y -si ntycost1)x = tantA A.解析：如图，对于.AOB ,. BOC=生,.AOC=匹,3665, OC|=4j3，由余弦定理得：2一2 OA OCCOSAOC又OA2OB2=OA +|OC=52亠i4 3-2 5 4、3COS6同理，BCBC = = 133133 ,

18、AC二BC, 又ABAB= =OAOA= =OBOB= =5 5, 所以213巧J _ 2，ACT33, ACAC = = 533533,.CABC为等腰三角形，上的高h=J(AC(2一律(AB(S-AB1仔35二65 32练习 1 1、如图，点 A A 在直线 x=5x=5 上移动， 针方向排列），求点 P P 的轨迹方程解析：取 O O 为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则 直线X=5的极坐标方程为?co - 5，设 A A （ :% , - -0 0）, PiPi 匕 v，因点 A A在直线COST- 5上，0cosv0=5 : 1 -7 OPA为 等 腰 三 角形， 且 Z ZOP

19、AOPA = =120120，而 OPOP =乙 OAOA = = % %，以及POA=30.订=计3二，且 - v-302，把弋入 ,P P 的轨迹的极坐标方程为：3cos V - 30 = 5. .等腰OPAOPA 的P,P, A A 按顺时得点yT1 1.把方程xy =1化为以t参数的参数方程是（边ABABP Px211解析：B B 当x=0时，t，而y=12t，即y，得与y轴的交点为(0,-);555111当y = 0时，t，而-2 5t，即X =，得与x轴的交点为（,0）222即为4（x二3sin = 4cos -6.圆的参数方程为sin一3cos”为参数），则此圆的半径为x =3s

20、in二4cos f223 3.直线x;:（t为参数）被圆2 2x y = 9截得的弦长为（解析：B B125D. 9x2x =12t 二=2x = 1川q#5t庚庚，把直线xi+dxi+d 代入1y =2 t5y2二9得(1 2t)2(2 t)2二9,5t28t - 4 = 0E2 =魚上2）2 -4址2已（），弦长为5匕-上2555554 4若点P(3,m)fx - 4t2在以点F为焦点的抛物线厂4为参数）上，则PF等于（B B.3C C.4解析：C C 抛物线为y2=4x,准线为x=1,PF为P （3, m）到准线x = 1的距离,5 5.已知曲线“9x = 2pt畀=2pt（t为参数，p

21、为正常数）上的两点M , N对应的参数分别为询t2,，且t1t2=0，那么MN= =解析：4pl显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。 即x轴，MN =2pt1-1= 2p2t得x+y =25故半径为 5 5=4sin J - 3cos-e）COST化为普通方程:-e_L）sin v2-(eL- e2)2-(eL-e)244解：设直线为x=Ttcos（t为参数），代入曲线并整理得y =tsi n-(1 sin2：)t2(、10 cos：)t3= 0 2321 sin2-7 7 分别在下列两种情况下，把参数方程十：y9(e（1 1）二为参数）二为参数, ,t为常数；（2 2）t为参数,二为常数;解:

22、(1)当t = 0时，y =0, x =cos v即x兰1,且y = 0；当t = 0时，cosr =,sin二二x2而sin v - cos v -1，即i4(2)当 v -k二，k Z时，y = 0,rH当 v -k , k Z时，x21(ete)，即x _1,且y=0；21=0，y(et2_ e），即x = 0；& &过点求PM“iet当，kZ时，得2得2d 2e丄2xecosn丄2y-e2x 2y2d =2x即2ecos：sin v2x 2yCOSTsin v)()cos sin r cossin2-2L12 r _ I。sin -s1022P（ ,0）作倾斜角为:-的直线与曲线x21

23、2y=1交于点2PN的值及相应的a的值M,N，则PM PN9 9参数方程x-cos一.（Si ncos J为参数）表示什么曲线?y =sin （sincos ）2解：显然y= ta n v，则爲1 =2JT所以当sin ? -1时，即:-:23PM PN的最小值为一，此时a4JI-2xx1 2- 1,COS甘2cos二二y21xx =cos2v sin vcos v121 sin 2 v cos :212ta nr一21 tan2rcos2n12yI xx221爲x21爲xy12x,x(1 Zr1 %xx=_yx21，即x1 1.下列在曲线IV温f x = sin 2 -.为参数)上的点是(y二cos sinB.(乞)C C.(2,3)D D.3)31