浙江大学1998攻读硕士学位研究生入学考试试题

1、浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学、1写出玻尔-索末菲量子化条件的形式；2求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径;二、1假设一质量为的粒子在势场 V x0,0 x a中运动，求粒子的可能能级;,x a, x 0x2假设某一时刻加上了形如esi n,(e1)的势场，求其基态能级至二级修正;3假设势能V X变为V x12,xx,x 0求粒子的可能能级。三、氢原子处于基态，其波函数形如rce a,a为玻尔半径,1利用归一化条件，求出c ；2设几率密度为P r ，试求出r的形式，并求出最可几半径;34求出基态势能及动能在基态中的平均值 用何种定理可把 7】及联系起来

2、?四、一转子，其哈密顿量H?虫笛虫，转子的轨道角动量量子数是2Ix 2Iy 2IZ1试在角动量表象中，求出 LX, ?y, LZ的形式;2求出H?的本征值。五、假设基态氢原子处于平行板电场中，电场按以下形式变化 E0,t0°e t ,t， 为大于0零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P态的几率。设H?为微扰哈密顿，8tH?2=譬*0。100,210Jn35100,21 1r六、1用玻恩近似法，求粒子处于势场V xV0e a, a 0中散射的微分截面。2从该问题中讨论玻恩近似成立的条件。浙江大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学一、1试求出100 eV eV、质

3、量为1克的质点的德布罗意波长。 1 eV 10 19J,h 6.6 10 34J s。I 2证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度Vg即为其运动速度。10分二、I 1证明定态中几率密度与时间无关；2求一维无限深势阱中运动的粒子在第n个能级时的几率流密度。10分三、粒子处于一维势阱,x 0,V xU0,0 x a.中运动，0, x a1画出势能V x的示意图；2求能级所满足的方程。1 2四、一一维振子，其势能为 V x -kx2，假设该振子又受一恒力F的作用，试求其本征2能量和本征函数。五、1写出线性、厄密算符的定义；2判断以下算符中，哪一个是线性厄密算符？a.f?卉 ；bF2 a?x

4、b? a,b为恒定实常数xC.F3 eiA? A为厄密算符，i为虚宗量。3证明厄密算符对应有实的本符值；4假设B?C?为厄密算符，B?,?B?0，假设b,c分别为g,C?的本征值，证明 bc 0,2、C?21,那么 C 必取 C 1。 20 分六、设哈密顿算符在能量表象中e100aW 0E20b 其中E10, E20 , E30远大于a,b,且a,b,为实数，试abE301写出未受微扰哈密顿量H?0的合理形式；2证明H?为厄密算符；3假设 E10 E20 E30 ，用微扰论求出其本征能量;4假设 巳°E20e3，试求其本征能量至一级。七、用玻恩近似计算粒子被形如V rB r的势场散射

5、时的微分截面，并说明其特点。浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试试题：量子力学、20分1以下说法哪个是正确的？对不正确的说法给予修正。a. 量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。b. 电子是粒子，又是波。c. 电子是粒子，不是波。d. 电子是波，还是粒子。d口 f 一亠(2) a.厄密算符的定义是什么？算符X是否厄密？dxe? ee" 是否成立？何时成立？3假设太阳为黑体，人所感受的太阳光最大波长 m 0.48 m,太阳半径R 7.0 108m,太阳质量m 2 1030kg,试估算太阳质量由于热辐射而损耗1%所需要的时间。斯特藩常数二、20分假设有一粒子，

6、质量为 m，在有限深势阱 V x0V。XXaa中运动，Vo为正常数。(1)试推出其能量本征值所满足的方程。(2)如何求能量本征值？试作出求解本征值的草图。(3)假设粒子不是一维运动，而是三维运动，00 r aV r，试求出至少存在一个本征能的条件。V r a三、20分1量子力学中，假设 H?不显含时间，那么力学量 A为守恒量的定义是什么？ 守恒量的本征态有何特点？2本征值简并的概念是如何表述的？ 一维运动的粒子势场V X丨，其能级是否简并？3在一维势场V X中运动的粒子，其动量 pX是否守恒?4试说出氢原子问题中的量跃迁的选择定那么的内容。四、25分一二维振子的哈密顿为H?HoHH? 2 xy

7、,为一小量。(1) 用微扰论，求其基态的能量修正至二级及第一激发态的能量修正 至一级。(2) 如何求出非微扰论的本征能量？试求之，并同微扰论的结果比拟。(3) 相干态的定义是：I 2n)e 2n),R0为一谐振子之哈密顿量， 试证明，相干态是测不准关系取n 0 Jn!最小值的状态。a五、15分质量为m的粒子势能为V 的场的散射，在入射粒子能量极低的条件下,r计算其微分散射截面。球贝塞尔函数jl x1sin x 2,xx。浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题、15分1试确定在3K温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长2此时对应的光子能量为多少？3光电效应中如何测定某金属板的

8、脱出功?、20分设氢原子处于状态r,r Y10R31r Y31(1) 问测量氢原子的能量所得的可能值及相应的几率为多少？(2) 问测量氢原子的角动量平方所得的可能值及相应的几率为多少?(3) 问测量氢原子的角动分量 Lz所得的可能值及相应的几率为多少？x 0三、20分1一质量为 m的粒子处于势场 V x中运动V x 0 Oxa求该粒子的能级及对应的波函数。2假设一质量为 m粒子处于势场V x 程。V。x0 x0中运动，求束缚态能级所满足的方a3假设一质量为 m粒子处于三维势场 V r中运动，V rVo00 rr aV。0a那么假设欲得二个束缚态，其势能值 V0至少应为多少？四、15分1何谓厄密

9、算符，试写出其定义，及判断算符A 是否厄密?dx2计算对易子 x, p；的值。3证明厄密算符的本征值为实数。4试说明为何要力学量对应为厄密算符？下面两组试题五、六与七、八五、15分证明对任何束缚态，粒子动量px的平均值为零。六、15分如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0的外表分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正。七、15分一质量为 m的高能粒子被势场2re1.125 -散射，V°较小，k为入射波矢。八、15分试写出定态微扰论中对非简并态微扰的能量修正至二级浙江大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题、从下面四题中任选三题15分1试说明光电效应实验中的红

10、限现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概 念？2如何人从Plank公式中推出Stefan公式？3你认为玻尔的量子理论理论有哪些成功之处？有哪些不成功之处？试举一例说 明。4你能从固体与分子的比热问题中得出量子力学的概念？、20分设氢原子处于状态：r,1测得该原子的能量的可能值为多少？相应的几率又为多少?2测得的角动量平方的可能值和相应几率为多少？3测得的角动量分量 Lz的可能值和相应几率为多少？20分一质量为 m的粒子处于势场 V x中运动，假设xa1V x那么该粒子的本征能量不多少？0xa2V xa x,a0为一常数，那么该粒子的本征能量为多少？特征长度为多少？V0 x , x 03V

11、x，Vo 0，是一个给定的常数，那么该粒子满足的方程为,x a何？4能量为E的平行粒子束，以入射角射向平面x 0,在区域x 0,V 0,在区域x 0,VV。.试人量子力学的观点，分析粒子束的反射及折射规律。用 及1V 2n 10 表示反射几率 R及折射几率D.E四、15分1如何证明一个算符为厄密算符？算符 A x是否为厄密算符？dx2 假设x, px 说,计算对易子 ？，P；。3证明厄密算符对应不同本征值的本征函数相互正交。4为何物理量要用厄密算符来表示？ 下面两组试题五、六与七、八，任选一组解答。五、15分在一维谐振子问题中，相互作用势为V x m 2x22x e来表示,2x 0Px0,问其

12、位移x的平均值与时间的关系如何？六、15分如果有一二能级系统 1,2其相应的能量分别为 E1,E2，哈密顿算符的矩阵元 为1 H? E b,2|H?2E2 b,1|H?22|H?1 a其中E1,E2,a,b为常 数，满足一切近似条件，求修正能量至二级。七、15分假设有一质量为 m的低能粒子被一强势场散射，假设散射时的有效质量为V r a假设势场为 V x'V00 , a为常数。问0,r a(1) 是用波恩近似不是用分波法比拟适宜?(2) 试问相移的正弦与散射势能及散射波函数的关系如何？(3) 求出零能近似下的微分散射截面。(4) 假设不知道V r的具体形式，能否利用散射实验来确定八、1

13、5分试证固体物理中常用的托马斯求和规那么:EnEn胪2m中n), '为系统的二个任意能态，En, E为任意二个能级， m为粒子的质量。浙江大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题、35 分1、如果,和2是某一体系含时薛定谔方程的解1)它们的线性组合a ! b 2是否满足同样的含时薛定谔方程？2 )假设令1 2,，你认为是否满足同样的含时薛定谔方程？2、 质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱中，试问窄势阱中粒子基 态能量低，还是宽势阱中的基态能量低？3、1你是否认识这三个矩阵o 10 i 1010，i 0 ，01在量子力学中它们叫什么？3) 写出£,£,£之间的对易关系。4) 计算 ?x,L?y ,?zLy,LZ ,£Lz,£ ,Ly、20分有一个双势阱V0x00xaV x0ax2aV02ax3a1、，3axV02这