理论力学第三章空间力系

1、第三章第三章空间力系空间力系空间平行力系空间平行力系空间任意力系空间任意力系空间汇交力系空间汇交力系cosyFFcoszFF直接投影法直接投影法1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影cosFFx31 空间汇交力系空间汇交力系,ABCDFGE已知：间接（二次）投影法间接（二次）投影法sinxyFFsincosxFFsinsinyFFcoszFFABCDEFG,已知：RxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF2 2、空间汇交力系的合成与平衡条件、空间汇交力系的合成与平衡条件RiFF空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理合力的大小合力的大

2、小222()()()RxyzFFFFcos(, )xRRFF iF 方向余弦方向余弦cos(, )yRRFFjFcos(, )zRRFF kF空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点过汇交点.空间汇交力系空间汇交力系平衡平衡的充分必要条件是：的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程称为空间汇交力系的平衡方程. .0 xF 0yF 0zF 0RF 该力系的合力等于零，该力系的合力等于零，即空间汇交力系平衡的充要条件：空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零标

3、轴上的投影的代数和分别为零.合力的大小合力的大小222()()()RxyzFFFFW例例三角支架由三杆三角支架由三杆AB、AC、AD用球铰用球铰A连接而成，并用球铰支座连接而成，并用球铰支座B、C、D固定在地面上，如图所示。设固定在地面上，如图所示。设A铰上悬挂一重物，已知其重量铰上悬挂一重物，已知其重量W=500N。结构尺寸为结构尺寸为a=2m，b=3m，c=1.5m，h=2.5m。若杆的自重均忽略不计，求。若杆的自重均忽略不计，求各杆所受的力。各杆所受的力。取研究对象取研究对象:A铰铰解题步骤：1.取研究对象，画受力图；2.列平衡方程；3.解未知量。解：各杆均为二力杆解：各杆均为二力杆FX

4、=0FCAcos FDAcos=0FY=0FCAsincosFDAsin cos FBAcos=0FZ=0FCAsinsinFDAsinsin FBAsin W=0列平衡方程列平衡方程WDAFCAFBAF ACBEFxyzW已知：CE=ED=c=1.5m, EB=a=2m, EF=b=3m, AF=h=2.5m5 .3325.31)()(sin22222chbahbaADAE25.155 . 2sin22hbhABAF25.315 . 2)(sin22hbahAEAFACBxyzEFccbah联立求解求得：拉力）(86525.33150NFFDACA（压力）NFBA195325.15500W求

5、：三根杆所受力.已知：G=P=1000N ,各杆重不计.解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。0 xF 由045cos45cosOCOBFF0yF 045sin45sin45sinOAOCOBFFF0zF 045cos PFOA解得 （压）N1414OAF（拉）N707OCOBFF1 1、 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢32 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩( )OMFrF O力对点O的矩 在三个坐标轴上的投影为( )OMF( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF xyzFF iF jF krxiyjzk又( )()() ()Ox

6、yzMFrFxiyjzkFiF jFk则xxxijkxyzFFFyFzFkyFxFjxFzFizFyFxyzxyZ)()()(xyZOyFxFFM)( )OMFrFPFFz2.力对轴的矩( )()zoxyxyM FM FFh说明：（1）代数量代数量，符号判符号判断：右手螺旋法则断：右手螺旋法则Fxyhzo力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零的矩为零. .( )()zoxyxyM FM FF h（2）何时0)(FMZPFFzFxyhzo（3) 解析表达式解析表达式)()(xyOZFMFM)()(yOxOFMFMxyyFx

7、F yzxzFyFFM)(zxyxFzFFM)(幻灯片 8( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF xyZOyFxFFM)(xFyFxyF 3 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 ( )( )ozyxxMFyFzFMF ( )( )oxyyMFzFxFMF 即力对点的矩矢在过该点的某轴上即力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩的投影，等于力对该轴的矩.)()(FMyFxFFMzxyZO例题.力F作用在边长为a的立方体上如图所示.求力F对三个坐标轴的矩.Fxyz例例已知已知:P=2000N, C点在Oxy平面内求：力求：力P

8、对三个坐标轴的矩 60cos45cos60sin45cos45cos45sinPPPPPPPPyxxyz解解：kPjPiPP224246kjir006. 005. 0kjiPPPkji2 .387 .708 .84224246006. 005. 0).(8 .84)(mNPMx).(7 .70)(mNPMy).(2 .38)(mNPMxyzxzFyFFM)(zxyxFzFFM)()(FMZxyyFxF ( )OMFrF2、或者用解析表达式PFFz2.力对轴的矩( )()zoxyxyM FM FFh说明：代数量代数量，符号判断：符号判断：右手螺旋法则右手螺旋法则Fxyhzo33 空间力偶空间力偶

9、1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示, ,力偶矩矢力偶矩矢空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1） 力偶矩大小力偶矩大小：力与力偶臂的乘积；力与力偶臂的乘积；（3） 作用面作用面：力偶作用面。力偶作用面。 （2） 力偶矩方向力偶矩方向：右手螺旋；右手螺旋；力偶矩矢力偶矩矢BAMrF 转向：右手螺旋；转向：右手螺旋；( ,)()()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABM F FrrFM 2 2、力偶的性质、力偶的性质BAMrF力偶矩矢FF因（2）力偶对任意点的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改变而力偶对任意点的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改变而改变。改变。(1）力偶中两力在任意

10、坐标轴上投影的代数和为零力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . .FrBA（3）只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意移只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变体的作用效果不变. .=空间力偶等效定理：作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果力偶矩矢相等，则他们彼此等效。(4)(4)只要保持力偶矩矢不变，力偶可从其所在平面移至只要保持力偶矩矢不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不

11、变. .=(5) (5) 力偶只能由力偶来平衡力偶只能由力偶来平衡. .3 3空间力偶系的合成与平衡条件空间力偶系的合成与平衡条件=空间力偶可以合成为一个合力偶，合力偶空间力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .inMMMMM.21合力偶矩矢的大小和方向合力偶矩矢的大小和方向,xixyiyzizMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程称为空间力偶系的平衡方程.000 xyzMMM简写为简写为0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零合力偶矩矢等于零，即 MMixcosMMiycosMMizcos有

12、有0ixM0iyM0izM各力偶矩矢在三各力偶矩矢在三个坐标轴上投影个坐标轴上投影的代数和为零的代数和为零iMM222()()()xixiyizMMMMM34 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主主矢和主矩矩1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化其中，各 ，各iiFF( )ioiMM F空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系. .1F2FnF力的平移定理)(FMMB可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移平行移到任一点到任一点B，但必须同时附加一个力偶，但必须同时附加一个力偶，这个附加

13、力偶的矩等于原来的力这个附加力偶的矩等于原来的力F对新对新作用点作用点B的矩的矩.称为空间力系的主矩称为空间力系的主矩( )( )( )oxyzMMF iMF jMF k称为称为空间空间力系的主矢力系的主矢空间力偶系的合力偶空间力偶系的合力偶由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力)(FMMMOOiRiixiyixFFFiF jFkkFiz(1） 简化为一个力简化为一个力ORMdF最后结果为一合力最后结果为一合力. .合力作用线距简化中心为合力作用线距简化中心为2 2 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析ORMdF

14、0,0,ROROFMFM(b)0,0ROFM (a) 最后结果为一个合最后结果为一个合力力合力作用点过简化中心合力作用点过简化中心.RFOM()( )OROROMdFMFMF合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和量和. .合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和. .（2）简化为一个力偶简化为一个力偶当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。0,0ROFM （3）力螺旋力螺旋力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心(a)0,0,RORFMFOM右螺旋右螺旋左螺旋左螺

15、旋(b) 成角 且 既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时0,0,ROROFMF M,ROF M力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为sinORMdF（4 4）平衡）平衡当 时，空间力系为平衡力系空间力系为平衡力系0,0ROFM 力系向任一点O简化的结果 主矢 主 矩 力系简化的 最后结果 说 明 OM0 平衡 平衡力系 0RF OM0 合力偶 主矩与简化中心的 位置无关 OM0 合力 合力作用线通过 简化中心 0OM RFOM 合力 合力作用线离简化中心 O的距离ROFMd 0RMF / 力力螺螺旋旋 力螺旋的中心轴通 过简化中心 0RF 0OM RF与0M 成角 力螺旋 力螺旋的中

16、心轴离简化中心 O的距离ROFMdsin 2.2.空间约束的类型举例空间约束的类型举例（3）空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程000zxyFMM说明：（1）6个方程，求解个方程，求解6个未知量；个未知量；000 xyzFFF000 xyzMMM（2）也有四矩式、五矩式、六矩式，也有四矩式、五矩式、六矩式，条件比较复杂；条件比较复杂；1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件空间任意力系平衡的充要条件：0,0ROFM 35 35 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程例题例题1 :1 :重为重为G G的均质正方形板置于水平面内的均质正方形板置于水平

17、面内, ,求球铰链求球铰链O O和蝶铰和蝶铰链链A A处的约束力及绳的拉力处的约束力及绳的拉力. .AzyxoD600BCbAzyxoD600BCFt 解:以板为研究对象，画受力图以板为研究对象，画受力图GFAz FAx FoxFOy FOZ b0zM0bFAx0AxF0yM0260cos0bGbFtGFt0 xF02260sin0tAxoxFFFGFox460yF02260sin0toyFFGFoy460 xM0260cos0bGbFbFtAz0AzF0ZF060cos0GFFFtAzOzGFz210例题例题2. 边长为边长为a 的正方形薄板由六根杆支持如图所的正方形薄板由六根杆支持如图所示

18、示.不计板的重量不计板的重量,并把杆看作二力杆并把杆看作二力杆. 求当板上有一求当板上有一力偶力偶M作用时各杆的内力作用时各杆的内力.aADBCDABC123456MaADBCDABC123456M解: 取薄板为研究对象画受力图取薄板为研究对象画受力图.F1F2 F3F4F5F6xzyMDD = 0aADBCDABC123456MF1F2 F3F4F5F62202Ma F22 MFa Mz = 05202Ma F52 MFa Yi = 03cossin0FF3 = 0 x mCD(Fi) = 012202F aa F1MFa mAD(Fi) = 056202a Fa F6MFa mAC(Fi)

19、 = 0b F4 = 0F4 = 0aADBCDABC123456MF1F2 F3F4F5F6x例例3：重为重为W 的均质正方形的均质正方形板水平支承在铅垂墙壁上，板水平支承在铅垂墙壁上，求绳求绳1 1、2 2的拉力的拉力, , BC杆的内杆的内力和球铰链力和球铰链A A的约束力。的约束力。解：解：取板为研究对象取板为研究对象, , 画受力图画受力图1FAW xyzW xyzCF2FAxFAxFAyFAzF 0CyM 0 xMCzFM010FMyAxDzFM0W 1F2FCFAxFAyFAzFxyzDEAyCzFM002aWaFAz2WFAz02sin2aWaFsin22WF bbbPABCD

20、EFGH例题例题4：图示正方形板：图示正方形板ABCD，重量不计，由六根细直杆支持重量不计，由六根细直杆支持于水平位置，已知：于水平位置，已知：P求：各求：各杆受力。杆受力。FAEFDHFCGFDGFAFFCF解：板解：板ABCD为研究对象，为研究对象，受力如图受力如图bbbPABCDEFGHFAEFDHFCGFDGFAFFCF解：板解：板ABCD为研究对象，为研究对象，受力如图受力如图 MFB = 0FDG cos450 b + P b = 022PFDGP2 MEA = 0FCF cos450 b + FDG cos450 b = 0DGCFFFP2bbbPABCDEFGHFAEFDHFC

21、GFDGFAFFCF MHD = 0FCF cos450 b - FAF cos450 b = 0CFAFFFP2 MAD = 0- FCG b - FCF cos450 b = 0CFCGFF22P MDC = 0- FAE b - FAF cos450 b = 0AFAEFF22P MBA = 0- FDH b - FDG cos450 b - FCG b - FCF cos450 b = 0CFCGDGDHFFFF2222PBACOxyz例题例题5：均质杆：均质杆AB,BC分别重分别重P1，P2，A，C处为球铰，处为球铰，B端由球端由球铰链连接，搁在光滑的铅直墙铰链连接，搁在光滑的铅直墙

22、上，上，090BAC045BAO求：求：A,C处的约束力以及处的约束力以及墙上墙上B点所受的压力。点所受的压力。AxFAyFczFAzFCxFCyFBFP1P2AxFBAOxyzBzFAzFBxFByFNFAyFP1 0ZM00*AxAxFOAF解：取解：取AB分析分析BACOxyz再取整体分析，受力如图再取整体分析，受力如图AxF0CAMNFAyFczFAzFCxFCyFNFP1P2 0 xF 0yMBACOxyzAxF 0zMAyFczFAzFCxFCyFNFP1P2 0yF 0zF1 1、平行力系的中心、平行力系的中心36 重重 心心iiiRnnCFrFFrFrFrFr2211iiiCi

23、iiCiiiCFzFzFyFyFxFx ,:投影式平行力系合力作用点的位置平行力系合力作用点的位置称为平行力系的中心称为平行力系的中心RF2 2 重心重心有iiCPxxP有iiCP yyPiiCPzzPvzvzvyvyvxvxiiCiiCiiC ,对均质物体对均质物体iiCAxxAiiCAyyAi iCAzzA重心为几何中心（形心重心为几何中心（形心）重力可看作平行力系重力可看作平行力系对均质等厚度的薄板对均质等厚度的薄板对均质等截面的细杆对均质等截面的细杆lzlzlylylxlxiiCiiCiiC ,3 3 确定重心的方法确定重心的方法（2 2） 实验法（外形复杂或质量分布不均匀的物体）实验

24、法（外形复杂或质量分布不均匀的物体）（1 1） 利用对称性利用对称性均质物体重心必在对称面，对称轴，对称中心上均质物体重心必在对称面，对称轴，对称中心上（a a） 悬挂法悬挂法（b b） 称重法称重法1CP xF l1CFxlP则有2CFxlP22211CFFzrlHPH 根据几何关系得根据几何关系得H例题：例题：求图示平面图形的形心求图示平面图形的形心.（3 3） 组合法组合法（a)a)分割法；（分割法；（b b）负面积法）负面积法5m5m15m15m20m解解:(1)分割法分割法 坐标如图，把平面图坐标如图，把平面图形分为形分为 和和两部分两部分.A1=75m2,C1(2.5,7.5)A2

25、=75m2,C2(12.5,2.5)mAxAxAxc5 .775755 .12755 .2752211mAyAyAyc575755.2755.7752211x5m5m15m15m20myoC1C2(2)负面积法负面积法取坐标如图.使平面图形组合成矩形A.5m5m15m20mxyo以及负面积的矩形B.A1=1520m2， C1(10,7.5)A2=1510m2， C2(12.5,10)mAxAxAxc5 . 7101515205 .1210151015202211112220 15 7.5 15 10 10520 15 15 10cA yA yymAC2AC1B例题例题.在半径为在半径为R的圆面积内挖去一半径为的圆面积内挖去一半径为r的圆的圆孔孔,求剩余面积的形心求剩余面积的形心.RR/22rOAxy解:RR/22rOAxy21RA01Cx22rARxC212212211AAxAxAxCCC22221rRRr)(2222rRRr由对称性可知：由对称性可知：0cy边长为边长为2a的均质正方形簿板，截去四分之的均质正方