高一数学必修1-函数的概念及基本性质

1、§1·函数的概念（一）函数的有关概念设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数，记作， xA其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合（B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数. (1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应 这里 A, B 为非空的数集.（2）A：定义域，原象的集合；：值域，象的集合,其中 Í B ；：对应法则 ， ÎA ， ÎB（3）函数符号：

2、 是 的函数，简记 （二）已学函数的定义域和值域1一次函数:定义域R, 值域R;2反比例函:定义域, 值域;3二次函数:定义域R值域：当时，；当时，（三）函数的值：关于函数值 例：=+3x+1 则 f(2)=+3×2+1=11注意：1°在中表示对应法则，不同的函数其含义不一样 2°不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象” 3°与是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则、定义域A、值域 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念和记号：在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,bR

3、,且a<b.我们规定：满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；满足不等式ax<b 或a<xb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a，b) ,(a，b.这里的实数a和b叫做相应区间的端点.这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，x>a，xb，x<b的实数x的集合分别表示为a，+，（a，+）,(- ,b,(- ,b).【例题解析】例1 判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？(1)x

4、2y1 (2)xy21 (3) (4)y=例2 求下列函数的定义域：（1） (2)例3 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).例4 已知 ，求，讨论：函数y=x、y=()、y=、y=、y=有何关系？例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ 练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ = ； = 1. = x； = . = x 2； = . = | x | ；= .例6 已知函数=4x+3，g(x)=x,求ff(x)，fg(x)，gf(x)，gg(x).复合函数：设 f(x)=2x-3，g(x)=x2+2，则称 fg(x) =2(x2+2)-3=2x2+1（或gf

5、(x) =(2x-3)2+2=4x2-12x+11）为复合函数例7求下列函数的值域（用区间表示）：（1）yx3x4； （2）；（3）y； （4）.例8 动手试试1. 若，求.2. 一次函数满足，求.练习 已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a0）满足条件f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解析式.函数的概念习题：1如下图可作为函数的图像的是( )（A） （B） （C） （D） 2.对于函数，以下说法正确的有 （ ）是的函数；对于不同的的值也不同；表示当时函数的值，是一个常量；一定可以用一个具体的式子表示出来。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3在下

6、列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）Af（x）x1，g（x）Bf（x）x1，g（x）Cf（x）x1，xR，g（x）x1，xZDf（x）x，g（x）4拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）1.06×（0.5·m1）（元）决定，其中m0，m是大于或等于m的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（）A3.71元B3.97元C4.24元D4.77元5.设，若，则 。6. 求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式（1）；（2）；（3）7设的定义域是-3，求函数的定义域8已知f(x)是一次函数, 且ff(x)=4x-1, 求f(x)的解析式9已知

7、函数f（x）（1）求f（x）+的值（2）f（1）f（2）f（）f（3）f（）f（4）f（） §2·函数的单调性【知识要点】1增函数与减函数1x2x)(1xf)(2xf)(xf图3yx1x2x)(1xf)(2xf)(xf图1 yx对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则说在这个区间上是增函数（如图1）；若当时，都有,则说在这个区间上是减函数（如图2）.1x2x)(1xf)(2xf)(xfyx图2 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当在时

8、是减函数.2单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.【例题解析】例1.利用图像判断函数的单调性1.指出下列函数的单调区间及在该区间上函数的单调性xy0-55xy-55-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 2.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：（1）+2|x+1|； （2）例2.单调函数的定义1.根据单调函数的定义，判断函数在上的单调性。2.利用定义判断函数在上的单调性.3.求证的(0,1)上是减函数，在是增函数

9、.4讨论二次函数的单调性，并用单调性的定义对其中一种加以证明例3.二次函数1.已知二次函数yf(x)(xR)的图像是一条开口向下且对称轴为x3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4) (2)f(2)与f()2.讨论函数在(-2,2)内的单调性.3.二次函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围例4.分式函数已知，指出的单调区间。函数的单调性练习1在区间上为增函数的是（ ）ABC D2函数f（x）x22（a1）x2在（，4）上是增函数，则a的范围是（）Aa5 Ba3 Ca3 Da53函数在区间是增函数，则的递增区间是（ ）AB CD4函数在和都是增函数，若，且

10、那么（ ）A B C D无法确定 5函数在实数集上是增函数，则（ ）A B CD 6已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（ ）AB CD7画出函数的图像，并写出其单调减区间.8.利用函数单调性的定义，判断函数在（,-2）上的单调性.§3·单调性与最大（小）值探究任务：函数最大（小）值的概念思考：先完成下表，函数最高点最低点,【知识要点】：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minim

11、um Value）的定义 典型例题例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？例2求在区间3，6上的最大值和最小值.变式：求的最大值和最小值.试试：1函数的最小值为 ，最大值为 . 如果是呢？2.已知函数在区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A、 1，+） B、0，2 C、（-，2 D、1，2 动手试试练1. 用多种方法求函数最小值.变式：求的值域.练2. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经

12、理得到一些定价和住房率的数据如右：房价（元）住房率（%）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求在区间上的值域，则先求得对称轴，再分、等四种情况,由图象观察得解.当堂检测1. 函数的最大值是（ ）. A. 1 B. 0 C. 1 D. 22. 函数的最小值是（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 33. 函数的最小值是（ ）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 4. 已知函数的图象关于y轴对称，且在区间上，当时，有最小值3，则在区间上，当 时，有最 值

13、为 .5. 函数的最大值为 ，最小值为 .单调性与最大（小）值课后作业1. 作出函数的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值 （1）； （2） ；（3）.2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为，面积为，试将表示成的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？ 3求下列函数的值域（1） （2） （3）（4）4若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）A B C D数学中的运动哲学函数的故事之一对闭眼打转问题的探讨公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的研究。他收集了大量事例后分析说：这一切都是由于人

14、自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离。而正是这一段很小的步差X，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！现在我们来研究一下x与y之间的函数关系：假定某个两脚踏线间相隔为d。很明显，当人在打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆。设该人平均步长为1。那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即：化简得对一般的人，d0.1米，10.7米，代入得（单位米）这就是所求的迷路人打圈子的半径公式。今设迷路人两脚差为0.1毫米，仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子

15、！上述公式中变量x，y之间的关系，在数学上称为反比例函数关系。所弯曲的曲线，数学上称为等边双曲线，在工业、国防、科技等领域都很有用场。下面我们看一个有趣的游戏：在世界著名的水都威厄斯，有个马尔克广场。广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂。教堂的前面是一片开阔地。这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面！奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？我们就先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M点抵达教堂CD的最小的弧半径是多少。

16、如下图，注意到矩形ABCD边BC=175（米），AMMB= 41（米）。那么上述问题，无疑相当于几何中BC2=R2-（R-MB）2=MB（2R-MB）1752=41×（2R-41）R=394这就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于 394米。那么就让我们再计算一下，要达到上述要求，游人的两脚的步差需要什么限制。根据公式：这表明游人的两只脚的步差必须小于0.35毫米，否则是不可能成功的！然而，在闭上眼睛的前提下，使两脚的步差这么小一般人是办不到的，这便是在游戏中为什么没有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理。§4·函数的奇偶性【知识要点】一.函数的奇

17、偶性定义偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，那么f(x)就叫做偶函数奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，那么f(x)就叫做奇函数 注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）所以判断函数的奇偶性时，首先要看其定义域是否关于原点对称.如函数，则此函数即不是奇函数，也不是偶函数.二具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称【例题解析】例1 判别下列

18、函数的奇偶性：（1）； （2）； （3）f(x)x, x-2,3. (4).小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算，并与进行比较.试试：判别下列函数的奇偶性： （1）f(x)x； （2）f(x)|x1|+|x1|； (3)例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.例3.（1）已知是上的偶函数，且当时，则的解析式为 . （2）已知是上的奇函数，且当时，则的解析式为 .例4. 若，且，求.例5已知f(x)是奇函数，且在(0,+)上是减函数，判断f(x)的(-,0)上的单调性，并给出证明.变式：已知f(x)是偶函数，且在a,b上是减函数，试判断f(x)在-b,-a上的单调性，并给出证明

19、. 知识拓展由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反. 知识拓展：奇函数的一个性质证明：奇函数在处有定义，则，即图象一定经过原点.【随堂检测】1. 对于定义域是R的任意奇函数有（ ）.A BCD2. 已知是定义上的奇函数，且在上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）A. B.C. D.3. 下列说法错误的是（ ）. A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数4下列说法偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0

20、(xR)其中正确的数是 5. 函数的奇偶性是 .6. 已知f(x)是奇函数，且在3,7是增函数且最大值为4，那么f(x)在-7,-3上是 函数，且最 值为 .函数的奇偶性课后练习1函数的奇偶性是 （ ）A奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数2.已知奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间-7,-3上是( )A.增函数且最小值是-5 B. 增函数且最大值是-5 C.减函数且最小值是-5 D. 减函数且最大值是-5 3.若函数为奇函数，则必有A B .C. D. 4已知f（x）是奇函数，当x0，f（x）=x（1-x），则当x0时，f（x）等于（ ）A

21、x（x+1） B. x（x-1）Cx（1-x） D . -x（1+x）5.已知是偶函数，且其定义域为，则_，_6.判断下列函数的奇偶性： ； ； （） 7.已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示9.若函数在上是奇函数,试确定的解析式.§5·函数的基本性质习题课问题1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数？问题2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数的定义？【例1】已知函数.（1）判断的奇偶性，并证明；（2）讨论的单调性，并证明.【例2】利用函数的性质，作函数的图像. 知识拓展对勾函数：形如这样的函数，称作对勾函数，由图像得名。性

22、质：（1）奇函数（2）增区间：和，；（3）减区间：和 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。【例3】 作出函数yx2|x|3的图象，指出单调区间及单调性.小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作.变式：y|x2x3| 的图象如何作？反思：如何由的图象，得到、的图象？ 知识拓展形如与的含绝对值的函数，可以化分段函数分段作图，还可由对称变换得到图象. 的图象可由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧. 的图象，先作的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方.【例4】1.已知是定义上的奇函数，且在上是减函数. 下列关系式中正确的是 A. B. C. D.2.已知是定义上的奇函数，且在上是减函数. 下列关系式中正确的是 A. B. C. D.3若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是（ ）A> B< C D4.设函数是定