不定积分公式

1、Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质1、原函数与不定积分定义1:若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。 连续函数一定有原函数； 若F(x)为f(x)的原函数，贝UF(x)C也为f(x)的原函数；事实上，F(x)C'F'(x)f(x) f(x)的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由Fi(x)Fi(x)'Fi'(x)F2(x)f(x)f(x)0，得Fi(x)F2(x)C故F(x)C表示了f(x)的所有原函数，其中F(x)为f(x)的一个原函数。定义2:f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记为f(x)dx，积分号，f(x)被积

2、函数，x积分变量。显然f(x)dxF(x)C例1、求下列函数的不定积分kdxkxCxdxInxC12、基本积分表(共24个基本积分公式)3、不定积分的性质 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx kf(x)dxkf(x)dx(k0)例2、求下列不定积分dx21(2)11-2xdxxCCx(2)1xdxx12dxx12)1(12)1C2、x5.1xdx5arcsinx3arctanx2xdxdxlne1lncscxcscxcotxdxcsc2xdxcscxcotxdxcotxcscxCdx_2sin2xcoscot2xdxsin2x22sinxcos2cosx,dxxcsc2xdxsec2

3、xdxcotxtanxC2cscx1dx§2、第一类换元法（凑微分法）cotxx21arctanx不定积分的换元法1、faxbdx1faxabdaxb,即dx1-daxba1、求不定积分sin5xdxsin5xd5x5x1usinudu=512x7dx2x7d(12x)1cos(5x)5丄1712x71C162x8Cdx2x1xarctanaa(20)dxxarcsina(23)2、1dxdxn,即xn1dxdxn例2、求不定积分x.1x2dxx2x2*1x23、x2ex'dx13-x3Iedx31e3x3C11.2cosdxcosd1sin1Cxxxxxcosx,dx、x2

4、cosxd、x2sinxC1dxXXdlnx,edxde,sinxdxsecxtanxdxdsecx,2dx1x2-=dx2dwGxdcosx,cosxdxdsinx,sec2xdxdtanx,darctanx,1-dxTF7darcsinx,axdx22xd、a22x,例3、求不定积分sinxdcosxtanxdxdxcosxcosxcosx,dsinxcotxdxdxsinxsinxsecxsecxtanxsecxdxdxsecxtanxcscxcscxcotx一cscxdxdxcscxcotxdxdlnxlnlnxCxlnxlnxdxdtanx1cosx1tanxtanx1IncosxC

5、InsecxCIntanx1CxInsinxCIncosxCdsecxtanx,Insecxtanxsecxtanxdcscxcotx,Incscxcotxcscxcotx(16)(17)C(18)C(19)d1ex1exIn1exCdxx1ex1exex1xexlnieCdex2xdxex2arctanexCxe1dx1x2x2d1x2例4、求不定积分x42x2xx42x2x-dx5dx21x21dx2x1In23arctanxC2x26dx52xdx2x22x2x5dxx1212Inx2cos2x.dx212xsin2xdx-arctan221cos2xd2x2sin5xcos3xdxsi

6、n8x2cosxdxsin2xdxcotx,dxInsinxdxdsinx1ccos8x16dInsin1x21Ccos2xC4sin2x41sinxsinInsinx1sinx2dxcosxsinxInsinxdcosxsec2xdx2cosxdxcosxsinxdx2sinx4cscxInsinxtanxInInsinxCcosxcscx一4cotdx111dx1d(xa)d(xa)Vi/22UAxa2axaxa2axaxa丄InxaC(21)(22)2axax2x2x21x3x32dx2dx12dx1x21x1x2、第二类换元法1、三角代换例1、.a2x2dx解：令xasint(或aco

7、st)，贝U/22-axacost,dxacostdt原式=acostacostdt原式=acostacostdtdt1cos2td2t222a.xCarcsin2ax.a2x2Cxarcsina1xa22x2Cdx.xarcsina解:令xasint原式=竺沁acostdttC.xarcsina例3、dx.a2x2解：令xatant(或acott)，则asect,dxasectdt原式=竺辿sectdtasectInsecttantInx2a2例4、Inxx2a2CdxXIx2解：令xatant(或acott)，则x242sect,dx2sectdt(24)asectdt丄lx原式=sect

8、dtasectInsecttant_x2a2In-例5、dx_一x2a2解:令xasect(或acsct)，则x2a2atant,dxasecttantdt原式=asecttantdtatantxsectdtInsecttantCIna-x2a2Inxx2a2(25)例6、dxx解：令xastect，则.x293tant.dx3secttantdt3tant原式=3secttantdt32tantdt3sec2t133sect.x293亠/233arccos-Cx293arccos-3xx22axxasint小结：f(x)中含有22.xa可考虑用代换xatant22xaxasectCtantt

9、C2、无理代换例7、3dx1Vx1解：令3x1t,则xt31,dx3t2dt原式=3t2dt1tdt3t33x12233x13ln1Vx1dx解：令6xt,则xt6,dx6t5dt6£-7dtt2dt6tarctantC6VxarctanVx例9、1xdx解:令t,则XFt2-,dx1xx2tdt22t21例10、dx22t212二dtt21In1xx21x1ex解:令1ext,贝収Int21,dx2tdtt214、倒代换dx例11、jxx原式2tdtIn1ex1.1ex1则xx6t6dt1In4124分部积分公式:例1、xcosxdx6,dx4t66d4t14t611In24UVU

10、Vdx§3、dtt2丄In244t6丄In246x6x分部积分法UV,UVUVUVUVdxUVdx，故UdVUVVdU（前后相乘）（前后交换）xdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC例2、xexdxxxxdexexxedxxeexC例3、InxdxxlnxxdInxxlnx1.xdxxxlnxxC或解：令Inxt,xte原式tdettetetdttetetCxlnxxCxarcsinxxdarcsinxxarcsinxx1x2dxxarcsinx1 d1x22 Tx2xarcsinx例4、arcsinxdx或解：令arcsinxt,xsint原式tdsinttsint原

11、式tdsinttsintsintdttsintcostCxarcsinx,1x2C例5、exsinxdx例5、exsinxdxxxsinxdeesinxxxxecosxdxesinxcosxdexxesinxecosxxxesinxecosxxxedcosxesinxcosxexsinxdx故exsinxdx1ex2sinxcosxC例6、x2dxcosxxdtanxxtanxtanxdxxtanxInsecxC例7、lnx1x2dx1xx一2xlnx2xx1x2dxxlnx.1x”1x2,xdx,1x2xlnx12x1x2C§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数R(x)有理函

12、数R(x)P(x)Q(x)nn1anxan1xa,xa0bmXmbm1Xm1biXbo可用待定系数法化为部分分式，然后积分或解:例2、例3、例4、x32x5x6<35x6xB1,2B3x3例1、将AA3ABx22xx35x6dx解：二x化为部分分式，并计算dxdxdxx5x65ln(x2x32)6ln(x3)2x511,dx6x25x2xx25x65x11dxx5x1|n21|n2dxx25x11dx5xMln2x(x1)2x(x1沁hxx(x1)lnx1(x1)2dx2x4xdx1dx14x-dx12xdxx2arctan12x-dx12x11-2x1xdxarctanV212、2Inx2cx2xarctanJV2x2xx21、2x、三角函数有理式的积分对三角函数有理式积分IRsinx,cosxdx,令utan-,贝Vx22arctanu,sinx-122u1u,2,cosx牙，dxu1udu，u2u11u212u-2uFdu，三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。dx5cosx解：令uxrttan,贝Vx2arctanu2cosx2u-2,udxdu原式12亠adu1u1u3521u2du丄ln22