第2章系统的数学模型

1、223232(1)324(2)263(3)5564yxd ydydxyxdtdtdtd yd ydyyxdtdtdt2222(4)33(5)yxxyxd ydyyxdtdt O -x y(t) x(t) +x O -y1 +y1 +y2 -y2 y(t) x(t) 3.消去中间变量，列出各变量间的关系式。消去中间变量，列出各变量间的关系式。最后得到只包含最后得到只包含输入量和输出量输入量和输出量的方程的方程式。式。 4.化成标准形式，即化成标准形式，即输出量放在方程式的输出量放在方程式的左端，而输入量放在方程式的右端左端，而输入量放在方程式的右端，且各，且各阶导数项按降幂排列阶导数项按降幂排列

2、 * 建立数学模型的基础：建立数学模型的基础： 机械运动：机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理 电电 学：学： 欧姆定理、基尔霍夫定律欧姆定理、基尔霍夫定律 热热 学：学： 传热定理、热平衡定律传热定理、热平衡定律m x(t) y(t) f 图图 2 2- -2 2 机械机械平移系平移系统统 k y0 123( )( )( )( )x tx tx tx t（2-1）式中式中21223( )( )( )( )( )( )d y tx tmdtx tky tdy tx tfdt因而式（因而式（2-1）可写成：）可写成：22( )( )( )( )d y tdy tmfky tx

3、 tdtdt（2-2）图图2-3 组合机床动力滑台及其力学模型组合机床动力滑台及其力学模型根据牛顿第二定律可得根据牛顿第二定律可得22( )( )( )( )ooiody td y tf tfky tMdtdt22( )( )( )( )oooid y tdy tMfky tf tdtdt 1f m 2f ox ix 图 a 2k 1k ox ix 图 c f 2k 1k ox ix 图 b f 解：（解：（1）对图）对图a所示系统，由所示系统，由牛顿定律有牛顿定律有12122ddd()dddooixxxmfffttt 即即1222ddddddddioooxxxxffmttttx 1f m 2

4、f ox ix 图 a 1ddddioxxxx kftt 消除中间变量消除中间变量x有有12121dd()ddoioxxf kkkk xfktt （2）对图）对图b所示系统，引所示系统，引入一中间变量入一中间变量x并由牛顿定并由牛顿定律有：律有：2ddddooxxfk xtt 2k 1k ox ix 图 b f x (3)对图对图c所示系统，由牛顿所示系统，由牛顿定律有定律有12dd()ddioiooxxfk xxk xtt 即即121dd()ddoioixxfkk xfk xtt 2k 1k ox ix 图 c f )(t )(tm f k J 图图2-4 具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统

5、具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统 123( )( )( )( )m tm tm tm t 212( )( )dtm tJdt 2( )( )dtm tfdt 3( )( )m tkt 22( )( )( )( )dtdtJfktm tdtdt M L Tm J1 1 z1 T1 T3 T2 T4 TL z3 z2 z4 J2 2 J3 3 f1 f2 f3 图图 2-5 齿轮传动系统齿轮传动系统 1111122222343333mLTJfTTJfTTJfT（2-5）（2-6）（2-7）212121123341433213424 = =zzTTzzzzzzTTzzz z ， 111131222

6、2333324mLTJfzzJfJfTzz2231112312242233111123122424mLzzzTJJJzz zzzzzzfffTzz zz z 22311123224eqzzzJJJJzz z （2-8）22311123224eqzzzffffzz z 3124LeqLzzTTz z 11meqeqLeqTJfT M Leq Tm TLeq LeLeq 1 feq 图图 2-6 等效等效轮轮系系 Jeq （2-9）22oui R123iii23221dii dtLi RCdt1131iui Ri dtC将方程联立求解，消去中间变量将方程联立求解，消去中间变量后，即可得到以后，即可

7、得到以为输入量，以为输入量，以为为输出量的电路微分方程式，即：输出量的电路微分方程式，即： 21121222( )( )( )( )oooid u tdu tR LCR R CLRRu tR u tdtdt所有元件和系统都不同程度地具有非线性所有元件和系统都不同程度地具有非线性特性，例如：元件的死区、传动的间隙和特性，例如：元件的死区、传动的间隙和摩擦，在大输入信号作用下元件输出量的摩擦，在大输入信号作用下元件输出量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等等。饱和以及元件存在的非线性函数关系等等。 由于非线性有各种不同的类型，所以也没由于非线性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法。有解析

8、求解的通用方法。 具有本质非线性特性的系统，只能用非具有本质非线性特性的系统，只能用非线性理论去处理。线性理论去处理。 1. 忽略非线性因素。忽略非线性因素。如果非线性因素对系统的影响很小，就如果非线性因素对系统的影响很小，就可以忽略。如死区、磁滞以及某些干摩可以忽略。如死区、磁滞以及某些干摩擦等，一般情况下就可以忽略。擦等，一般情况下就可以忽略。2. 切线法，或称微小偏差法。切线法，或称微小偏差法。 非线性函数的线性化方法非线性函数的线性化方法yk x 00220002( )1()()()2!x xx xyf xdfd ff xxxxxdxdx ( )yf x 00000()()()xxdf

9、yf xxxyk xxdx 00()yf x 0 x xdfkdx 00()yyk x x ykx 12(,)yf xx 110110110220220220222221101102202202211221()()()()2!.xxxxxxxxxxxxfffxxxxxxxxxx xx 110110220220102011022012(,)()()xxxxxxxxffyf xxxxxxxx 当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是（2-21）式可以写成）式可以写成 :011102220()()yykxxkxx 01020(,)yf xx 11022011x

10、xxxfkx 11022022xxxxfkx 1122ykxkx ykx 1122yk xk x (226)rcQQdhdtS (227)cQh 1rdhhQdtSS 0rohQ 00h00dhhh hdh1h h2h 将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和来表示来表示 00,rrrQQQhhhh 000112rrd hhhQQdtSSh 0002rrd hShhQQdth 01(229)2rd hShQdth 将以上各式代入方程式（将以上各式代入方程式（2-28）得：）得： （ 设设f(t)是实变量是实变量t的单值函数，在的单值函数，在t0的任一

11、有限区的任一有限区间上是连续的或至少是分段连续的。并且当间上是连续的或至少是分段连续的。并且当t趋于趋于无穷大时，无穷大时，f(t)是指数级数的。即存在一个正实数是指数级数的。即存在一个正实数 ，在，在t趋于无穷大时，它使函数趋于无穷大时，它使函数e- f(t) 趋近趋近于零。则于零。则f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换F(s)定义为：定义为： 0( )( )( )stF sL f tf t edt 0( )( )(231)stLf tf t edt 000( )( )( ) ( )ststLf tf t edtf t edtLf t ( )( )f tu t 0(0)( )1(0)tu t

12、t )(tf t O 1 （a） 单位阶跃函数单位阶跃函数图图-10函数曲线函数曲线 0001( )111()ststsF sedteseess 0(0)( )(0)tu tR t ( )RF ss 00( )0tf ttt 0( )stF stedt udvuvvdu 令令 ut stdvedt dudt 1stves )(tf t O （b）单位斜坡函数）单位斜坡函数 图图2-10函数曲线函数曲线 002011( )1110stststF steedtssesss 00( )0ttt ( )1t dt )(tf t O )(t （c）单位脉冲函数）单位脉冲函数图图2-10函数曲线函数曲线

13、( ) ( )(0)t f t dtf 00000( )( )( )( )01ststststtF st edtt edtt edte ( )stf te ()00()0( )11atsts a ts a tF se e dtedtes as a ( )sinstF stedt 1sin()2j tj tteej ()()001( )22j tj tstsjtsjteeF sedteedtjj ()()0111122sjtsjteejsjsjjsjsj 22221()122()()2sjsjjjsjsjjss 22s 1s21sate 1sa atte 21sa 表表2-1常用函数的拉氏变换表

14、常用函数的拉氏变换表1!nns 1atbteeba 1sasb22ss (1 2 3)ntn ， (1 2 3)natt en ， 1!nnsa 1btatbeaeba ssasb 111atbtbeaeabab 1s sasb22sin11ntnnet 2222nnnss 22sa 21(1)atatea 21ssa sinatet cosatet 22sasa 2221sin111arctanntnet 2222nnns ss 22211sin111arctanntnet 222nnsss 为常数为常数 ，则则112211221122( )( )( )( )( )( )L k f tk f

15、 tk L f tk L f tk F sk F s ( )( )(0 )df tLsF sfdt 22(1)2( )( )(0 )(0 )d f tLs F ssffdt12(1)(2)(1)( )( )(0 )(0 ).(0 )(0 )nnnnnnnd f tLs F ssfsfsffdt( )( )nnndf tLs F sdt 32325624d yd ydydxyxdtdtdtdt 325( )6( )( )2 ( )4( )( )s Y ss Y ssY sY ssX sX s ( 1)11( )( )(0 )Lf t dtF sfss ( 1)(0 )f( )f t dt 2(

16、1)( 2)22111( )()( )(0 )(0 )Lf t dtF sffsss ( 1)( 2)()1( )()1111( )(0 )(0 ).(0 )nnnnnLf t dtF sfffssss 式中式中 为式中为式中f(t)的各重积分在的各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，时的值，如果这些初值为零，则有则有 1( )( )nnLf t dtF ss （2-38） （2-37） 0(0 )lim( )lim( )tsff ts F s 终值定理终值定理 0( )lim( )lim( )tsff ts F s lim( )tf t25( )(2)F ss ss 20055( )l

17、im( )lim( )lim22tssff ts F sss 0()()( )stasL f taf ta edteF s 式中式中f(t-a)为函数为函数f(t)延迟时延迟时间间a之后的函数，如图之后的函数，如图2-8所所示，当示，当ta时时f(t)=0。设设 ，对任一常数，对任一常数a（实数或复数），有（实数或复数），有 0( )( )()atatstL ef tef tedtF sa sinatet 22sin()atL etsa 22cos()atsaL etsa 1!()atnnnL etsa 1()sL f atFaa （2-43） 两个时间函数两个时间函数f1(t)，f2(t)积

18、分的拉氏变换可由下式积分的拉氏变换可由下式得到得到 12120()( )( )( )Lf tfdF sF s （2-44） 11( )( )F sL f t 22( )( )F sL ft 11( )( )( )2jstjf tLF sF s e dsj （2-45） 1( )( )f tLF s 如某一原函数如某一原函数的象函数为的象函数为，可以把，可以把分解分解成一些分量之和，即成一些分量之和，即 121( )( )( )( )( )nnF sF sF sFsF s 式中的式中的F1(s)、 F2(s)、 、 Fn-1(s)、 Fn(s)又很容又很容易由表易由表 2-1得到所对应的原函数得

19、到所对应的原函数f1(t) 、f2(t) 、 fn-1(t) 、 fn(t) ，即，即11111121121( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnf tLF sLF sLF sLFsLF sf tf tftf t 121210121210( )( )( )mmmmmmnnnnnnb sbsbsb sbB sF sA sa sasasa sa （2-46） 123( )()()()()nA sspspspsp （2-47） 1212( )( )( )nnAAAB sF sA sspspsp 由于极点由于极点可为实数或复可为实数或复数，所以系数数，所以系数 -1也也

20、可为实数或复数。这些系数有的书又称留数。求留可为实数或复数。这些系数有的书又称留数。求留数的方法可分为下面三种情况研究。数的方法可分为下面三种情况研究。 ( )()()()( )()()kk12kkk12spknkkkknspAAB sspspspA sspspAAspspAspsp ( )()( )kkkspB sAspA s 53( )(1)(2)(3)sF ssss 31253( )(1)(2)(3)123AAAsF sssssss 115( 1)3( )(1)1(21)(31)sAF s s 225( 2)3( )(2)7(12)(32)sAF s s 335( 3)3( )(3)6(

21、13)(23)sAF s s 1123176( )( )12376tttf tLF sLssseee 176( )123F ssss 312123( )( )( )()()nnAAsB sF sA sspspspsp 113121212312( )()()()()().( )()()spnspnAB sspspsspspA sspAspspsp 111212( )()()()( )spspB ssspspA s 因为因为p1是一个复数值，方程两边也都是复数值。使是一个复数值，方程两边也都是复数值。使方程（方程（2-51）两边的实数部分相等）两边的实数部分相等，得到一个方程。，得到一个方程。同样

22、，同样，使方程两边的虚数部分相等使方程两边的虚数部分相等，得到另一个，得到另一个方程，根据这两个方程就可以确定方程，根据这两个方程就可以确定和和。21( )(1)sF ss ss 12221( )(1)(1)ssAF ss sssss 21(0.50.866)(0.50.866)sssjsj s0.5 j0.866s0.5 j0.8661()12s ss 120.50.866( 0.50.866)0.50.866jjj 120.50.50.5 120.8660.8660.866 121 121 11 20 2011(1)ssAss ss 22222110.50.5( )1(0.5)0.866(

23、0.5)0.866ssF sssssss 10.50.5( )( )1cos0.8660.578sin0.866ttf tLF setet (0)t 112( )() ()().()rrrnA sspspspsp 1111112112( )( )( )()()rrrrnrrrrnAAB sF sA sspspBABBspspspsp 111( )()( )rrspdB sAspdsA s 111( )()!( )jrrjjspdB sAspjdsA s 111111( )()(1)!( )rrrspdB sAsprdsA s 11( )()( )rrspB sAspA s11()nsp 111

24、11()(1)!nP tntLespn ( )()( )kkkspB sBspA s 1,2,.,krrn（）下面得到的就是下面得到的就是F(s)的拉普拉斯反变换：的拉普拉斯反变换： 11211212112( )( ).(1)!(2)!0nrrp trrrrp tptptrrnf tLF sAAttA tAerrBeBeB et （）21( )(2)(3)F ss ss 21122( )(3)32AABBF sssss 22311( )(3)( 3)( 32)3sAF s s 213314( )(3)(2)9ssddAF s sdsdss s 因而上式拉氏反变换为因而上式拉氏反变换为 2332

25、3311411( )(1986)1829318ttttttf teeteeete 22211( )(2)( 2)( 23)2sBF s s 12011( )2 318sBF ss 21191( )182(2)4(3)3(3)F sssss 将将A1、A2、B1、B2 代入前面方程得代入前面方程得u 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为s 的代数方程；的代数方程；u 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；u 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。22( )( )56 ( )6d y tdy ty

26、tdtdt 0( )2, (0)2tdy tydt 126( )(0)(0)5( )(0)6 ( )s Y ssyysY syY ss0( )2, (0)2tdy tydt 22126154( )(2)(3)23ssY ss sssss 23( )154tty tee 传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中所遇到的元件、部件或系统用所遇到的元件、部件或系统用典型环节典型环节表示出来。表示出来。引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象引用了传递函数的概念之

27、后，可以更直观、更形象地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，并使运算可以大为简化并使运算可以大为简化 。线性定常系统的传递函数定义为：线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件当全部初始条件为零时为零时（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为时，输出量及其各阶导数也均为0），），输出量输出量y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)与输入量与输入量x(t)的拉氏的拉氏变换变换X(s)之比叫做系统的传递函数之比叫做系统的传递函数G(s)。 ( )( )

28、( )Y sG sX s 设线性定常系统输入为设线性定常系统输入为x(t) ，输出为，输出为y(t) ，描述系，描述系统的微分方程的一般形式为统的微分方程的一般形式为 : nn 1n 2nn 1n 210nn 1n 2d ydydydyaaaaa ydtdtdtdtmm 1m 2mm 1m 210mm 1m 2d xdxdxdxbbbbb xdtdtdtdt式中，式中，nm; an,bm均为系统结构参数所决定的定常均为系统结构参数所决定的定常数数 。（。（n，m=0、1、2、3） 11101110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma s Y sa s Y sasY

29、 saY sb s X sbsX sbsX sb X s 根据传递函数的定义，系统的传递函数根据传递函数的定义，系统的传递函数G(s)为为 111.01110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsb sbY sG sX sa sasa sa 特征方程特征方程X(s)=0 系统的系统的特征方程特征方程，特征根特征根。 特征方程决定着系统的动态特性。特征方程决定着系统的动态特性。 X(s) 中中s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。111.01110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsb sbY sG sX sa sasa sa 零点和极点零点和极点111.0

30、1110.( ).mmmmnnnnb sbsb sbG sa sasa sa 1212.( ).mmnnbszszszG saspspsp 12.0mmbszszsz 的根的根 1 2iszim，称为传递函数的零点；称为传递函数的零点； 12.0nnaspspsp 的根的根 1,2,ispin ，称为传递函数的极点；称为传递函数的极点；！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！零、极点分布图零、极点分布图传递函数的传递函数的零、极点零、极点分布图分布图：将传递函数的零、极将传

31、递函数的零、极点表示在复平面上的点表示在复平面上的图形。图形。零点用零点用“O”表示表示极点用极点用“”表示表示12s 23s 3,41sj u 传递函数传递函数分母多项式分母多项式中中s的最高幂数代表了的最高幂数代表了系统的阶数，如系统的阶数，如s的最高幂数为的最高幂数为n则该系统为则该系统为n阶系统。阶系统。 结论结论u 传递函数通过传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系统输入量与输出量之间的关系系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入入输出特性来描述系统的内部特性。若输输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数入给定，

32、则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。决定。u 传递函数是传递函数是复数复数s域中域中的系统的系统数学模型数学模型。其参。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。输入形式无关。注意注意u 适用于线性定常系统适用于线性定常系统u 只适合于单输入单输出系统的描述只适合于单输入单输出系统的描述u 无法描述系统内部中间变量的变化情况无法描述系统内部中间变量的变化情况u 传递函数原则上不能反映系统在非零初传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律始条件下的全部运动规律u 传递函数中的各项系数和相应微分方程传递函数中的各项系数和

33、相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数构参数323252267d yd ydydxyxdtdtdtdt43243226324d yd yd ydyyxdtdtdtdt 32( )67( )( )522Y ssG sX ssss 432( )4( )( )2632Y sG sX sssss 111.01110.( ).mmmmnnnnb sbsb sbG sa sasa sa 1212.( ).mmnnbszszszG saspspsp 设系统有设系统有b个实零点；个实零点；d 个实极点；个实极点；c 对复零点；对复零点；e对复极点对复极点

34、;v个零极点。个零极点。b+2c = m v+d+2e = n 22112211121( )121bcilllildevjkkkjkKsssG ssT sT sT s 22111111bcdemjkiljknilbKTTa ！串联！串联比例环节比例环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节惯性环节惯性环节二阶振荡环节二阶振荡环节理想微分环节理想微分环节延迟环节延迟环节se su 环节是根据微分方程划分的，不是具体环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件；的物理装置或元件；u 一个环节往往由几个元件之间的运动特一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成；性共

35、同组成；u 同一元件在不同系统中作用不同，输入同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。用。小结：小结：( )( )y tkx t ( )( )/( )G sY sX sk 式中式中k比例系数比例系数 这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号转角的关系；电子放大器中输出信号与输

36、入信号的关系等的关系等 。( )( )y tkx t dt （2-61） 传递函数为传递函数为 ( )( )/( )/G sY sX sk s （2-62） 例例2-18 如图如图2-12所示的油缸，其输入为流量所示的油缸，其输入为流量q，输，输出为油缸活塞的位移出为油缸活塞的位移x，试写出其传递函数。，试写出其传递函数。 /dx dtq A qxdtA 1( )( )/( )G sX sQ sAs （2-64） 例例2-19 如图如图2-13的无源网络，输入量为回路电流的无源网络，输入量为回路电流i,而输出量为而输出量为uc，试写出其传递函数。，试写出其传递函数。 1cuidtC ( )1(

37、 )( )cUsG sI scs( )1( )( )1Y sG sX sTS ( )( )( )TsY sY sX s ( )( )( )dy tTy tx tdt ui(t)uo(t)RCi1iuiRidtC 01uidtC 0duiCdt 0( )1( )( )1iUsG sU sTs TRC dxyTdt （2-77） 一阶微分环节一阶微分环节 理想微分环节理想微分环节dxyxTdt（2-78） 222d xdxyTTxdtdt （2-79）对应于上面微分方程式的传递函数分别为对应于上面微分方程式的传递函数分别为 理想微分环节理想微分环节 ( )( )( )Y sG sTsX s （2-

38、80） 一阶微分环节一阶微分环节 ( )( )1( )Y sG sTsX s（2-81） 22( )( )21( )Y sG sT sTsX s （2-82）22210T sTs 例例2-22如图所示的电气环节，输入电压如图所示的电气环节，输入电压ui(t),输出输出电压为电压为uo(t)，试写出其传递函数。，试写出其传递函数。 图图2-16电气微分环节电气微分环节 1( )( )iou tidtu tc ( )ou tiR 经拉氏变换后，整理，可经拉氏变换后，整理，可得传递函数为得传递函数为 ( )( )( )1ioUsTsG sUsTs TRC 如果如果RC很小，式（很小，式（2-83）可

39、以近似写成）可以近似写成G(s)=Ts。可。可以把图以把图2-16所示的所示的RC电路看成理想微分环节。电路看成理想微分环节。其微分方程式为其微分方程式为2222d ydyTTyKxdtdt （2-84） 传递函数为传递函数为 22( )( )( )21Y sKG sX sT sTs （2-85） 在图在图2-2所示的机械系统可以看作这种环节。所示的机械系统可以看作这种环节。 对于平移机械系统，微分方程式为：对于平移机械系统，微分方程式为：22d ydymfkyFdtdt 2( )1( )( )Y sG sX smsfsk 输出与输入关系具有延迟关系的环节，输出与输入关系具有延迟关系的环节，称

40、为延迟环节。称为延迟环节。微分方程为微分方程为 ()yx t ( )( )( )sY sG seX s KTs1Ts 2221 (01)T sTs ，1s1(1)Ts 221(01)(21)T sTs ，se )(sY )(sX )(sG ( )( ) ( )Y sX s G s )(sY )(sX )(sG 图图 2-17 方方框图单元框图单元 方块图的运算功能为方块图的运算功能为： ( )( )( )Y sG s X s（ （2-88） ） 2.相加点相加点如图如图2-18 所示，相加点代表两个或两个以上所示，相加点代表两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件，或称比较的输入信号进行相

41、加或相减的元件，或称比较器。箭头上的器。箭头上的“+”或或“-”表示信号相加还是相表示信号相加还是相减，相加减的量应具有相同的量纲。减，相加减的量应具有相同的量纲。 图图2-18相加点相加点 + Y(s) E(s)= X(s) Y(s) X(s) Y(s) Y(s) Y(s) Y(s) 1121( )( )( )( ).( )( )( )( )( )Y sY sY sG sG s GsX sX sY s 由串联环节所构成的系统，当前后方框之由串联环节所构成的系统，当前后方框之间无负载效应时，它的总传递函数等于个间无负载效应时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。环节传递函数的乘积。当系统由

42、当系统由n个环节串联而成时，总传递函个环节串联而成时，总传递函数为：数为：1( )( )niiG sG s （2-89）式中式中Gi(s)第第i个串联环节的传递函数个串联环节的传递函数(i=1，2，n )1212( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y sY sY sG sG sGsX sX sX s 并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节传递函数之和（或差）。并联环节传递函数之和（或差）。推广到推广到n个环节并联，其总的传递函数等于个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即各并联环节传递函数的代数和，即 1( )(

43、)niiG sG s （2-90） 式中式中Gi(s)第第i个并联环节的传递函数个并联环节的传递函数(i=1，2，n )( )( )( ) ( )Y sX sB s G s ( )( )( )B sY s H s ( )( )( )1( )( )Y sG sX sG s H s 1( )( )niiG sG s （2-94）反馈回路传递函数：反馈回路传递函数：H(s)称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即 1( )( )mijH sH s （2-95） 开环传递函数：开

44、环传递函数：反馈信号反馈信号B(s)与偏差信号与偏差信号E(s)之比称为闭环系统之比称为闭环系统的开环传递函数，可表示为的开环传递函数，可表示为 11( )( )( )( )( )( )nmiiijB sG s H sG sH sE s（2-96） 注意注意 ：开环传递函数开环传递函数和和开环系统传递函数开环系统传递函数是不是不一样的。将（一样的。将（2-94）、（）、（2-95）与（）与（2-96）代入）代入（2-93）式中，则系统的闭环传递函数为）式中，则系统的闭环传递函数为 ：111( )( )( )1( )( )niinmiiijG sY sX sG sH s （2-97） 当当H(s

45、)=1时，我们将系统称为时，我们将系统称为单位反馈系统单位反馈系统或或全全反馈系统反馈系统。 G1(s) H(s) X(s) Y(s) + - 图图 2-23 同同同同时时时时存存存存在在在在输输输输入入入入量量量量与与与与干干干干扰扰扰扰量量量量时时时时的的的的系系系系统统统统 G2(s) + + N(s) 在输入量在输入量X(s)的作用下可把干扰量的作用下可把干扰量N(s)看作为零，看作为零，系统的输出为系统的输出为YR(s)，则，则 1212( )( )( )( )( )( )1( )( )( )XXG s GsYsGs X sX sG s Gs H s 在干扰量在干扰量N(s)作用下，

46、可把输入量作用下，可把输入量X(s)看作为零，看作为零，系统的输出为系统的输出为YN(s) ，则，则 212( )( )( )( )( )1( )( )( )NNGsYsGs N sN sG s Gs H s （2-99） 在（在（2-98）式中，）式中，称称GX(s)为输出量对输入量的传为输出量对输入量的传递函数递函数，即，即 GN(s)212( )( )( )( )1( )( )( )NNYsG sGsN sG sG s H s 2112( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )RNY sYsYsGsG sX sN sG sGs H s 1212( )( )( )( )

47、( )1( )( )( )XXYsG sG sGsX sG sG s H s 1. 列出描述系统各个环节的运动方程式，明确信列出描述系统各个环节的运动方程式，明确信号的因果关系（输入号的因果关系（输入/输出）；输出）；2. 假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来；式表示出来；3. 按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。例例2-23绘

48、制图绘制图2-24所示的二阶所示的二阶RC回路的框图。回路的框图。 ur uC R1 i1 u1 C1 C2 R2 i2 A B 图图2-24 二二阶阶RC回路回路 解：首先列出系统原始方程解：首先列出系统原始方程 111( )( )( )ru tu ti tR 11211( )( )( )u ti ti tdtC 122( )( )( )cu tu ti tR 221( )( )cu ti t dtC 111( )( )( )rUsUsI sR 1211( )( )( )I sIsU sC s 122( )( )( )cUsUsIsR 22( )cIsUC s 根据方程中间变量间的关系画出与

49、式（根据方程中间变量间的关系画出与式（2-107）至式）至式（2-110）相对应的方块图，将上面四张单元方块图中）相对应的方块图，将上面四张单元方块图中相同的变量联接起来，即得二阶相同的变量联接起来，即得二阶RC回路的方块图回路的方块图 。 21R Uc(s) + - U1(s) I2(s) 111( )( )( )rUsUsI sR 122( )( )( )cUsUsIsR 11R Ur(s) + - U1(s) I1(s) 1211( )( )( )I sIsU sC s 22( )cIsUC s 11C s + - U1(s) I1(s) I2(s) 21C s UC(s) I2(s)

50、11R Ur(s) + - U1(s) I1(s) 11C s U1(s) 21R 21C s UC(s) + I2(s) - + - UC(s) I2(s) 练习题：绘制图示机械系统的框图。设作用力练习题：绘制图示机械系统的框图。设作用力fi(t)、位移位移xo(t)分别为系统的输入量、输出量。分别为系统的输入量、输出量。2112( )( )( )( )iCKd x tmf tftftdt 11( )( )( )KOftKx txt ( )( )( )OCdxtdx tftCdtdt 22122( )( )( )( )OKCKd xtmftftftdt 22( )( )KOftK xt 解：

51、根据图示受力关系，系统的微分方程为：解：根据图示受力关系，系统的微分方程为：拉氏变换得拉氏变换得1211( )( )( )( )iCKX sF sFsFsm s 11( )( )( )KOFsKX sXs( )( )( )COFsCs X sXs12221( )( )( )( )OKCKXsFsFsFsm s22( )( )KOFsK Xs 基本连接的变换基本连接的变换 A AG1 AG1G2 G1 G2 A AG2 AG1G2 G2 G1 A AG1 AG1G2 G1 G2 A AG1G2 G1G2 A AG1+AG2 G1+G2 A AG1 AG1+AG2 +C + + G1 G2 AG2

52、 点与点之间的变换点与点之间的变换 A A-B A-B+C B C + + + - A A+C A-B+C C B + + + - A A-B+C B + + - C A A-B A-B+C B + + - + C 点与点之间的变换点与点之间的变换 A + - B A-B AG2 +C A-B AG2 A + - B A-B AG2 +C A-B AG2 B + - A + + B A+B AG2 +C A + B A+B AG2 +C A AB A + + - 点与框之间的变换点与框之间的变换 A AG AG-B AG2 +C + - G B A A-B/G AG-B AG2 +C + -

53、B G 1/G A A-B AG2 +C + - B G AG-BG A AG AG2 + - B G G BG AGAG-BG A AGG AG AG G A AGG AG AG A AGG AG A A AGG AG AG 1/G A 2. 相加点可以互换；相加点可以互换； 3. 分支点可以前移或后移，但移动之后，需在分支点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中乘或除以所跨接的传递函数；此回路中乘或除以所跨接的传递函数； 4. 相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中除或乘以所跨接的传递函数；回路中除或乘以所跨接的传递函数； a) G1 X(

54、s) + - Y(s) + - + - G2 G3 G4 A B 解：解：1. 图图2-26(a)的分支点的分支点A后移到分支点后移到分支点B处，因而得处，因而得到图到图2-26(b)所示的方框图。它包括三个回路，分别所示的方框图。它包括三个回路，分别以以、标明。标明。 G1 X(s) + - Y(s) + - + - G2 G3 G4 1/G4 b)2. 第第回路的传递函数为：回路的传递函数为： 34334( )1G GF sG G 以以F3(s)代替第代替第回路，从而得到图回路，从而得到图 2-26 (c) G1 X(s) + - Y(s) + - G2 34341G GG G 1/G4

55、c)3. 第第回路的传递函数为：回路的传递函数为： 23434234223434233441( )1111G G GG GG G GF sG G GG GG GG GG 以以F2(s)代替第代替第回路，从而得到图回路，从而得到图2-26(d) X(s) Y(s) + - 123423341G G G GG GG G d)4. 最后，得到系统的传递函数为最后，得到系统的传递函数为 12343423123412342334123423341( )( )111GGGGGGGGGGGGY sGGGGX sGGGGGGGGGGGG 可以将其表示在图可以将其表示在图 2-26（e）的框图中。）的框图中。 X(s) Y(s) 1234233412341G G G GG GG GG G G G 图图 2-26（e）二、信号代数运算法则二、信号代数运算法则1KKKPP （2-111） 式中：式中： PK 第第K条前向通路的通路传递函数；条前向通路的通路传递函数； 信号流程图的特征式，可由下式计算。信号流程图的特征式，可由下式计算。 1.abcdefabcdefLL LL L L （2-112） aaL :为所有不同回路的传递函数之和；为所有不同回路的传递函数之和； bcbcL L :