圆锥曲线中取值范围最值问题

1、1 /15圆锥曲线中的最值取值范围问题2 2F1, F2分别是双曲线 笃 占=l=l( a0a0, b0b0)的左、右焦点，P P 为双曲线上的一点,a b.F1PF2=90, ,且：FIPF2的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为3，双曲线与该椭圆离心率之积为年。(I(I)求椭圆的方程;、(H)设直线l与椭圆交于 A A , B B 两点，坐标原点 O O 到直线 I I 的距离为，求 AOBAOB2面积的最大值.90.90.解：设|PR |=m,|PF2卜n，不妨 P 在第一象限，则由已知得m - n = 2a,m2+ n2= (2c)2戶5a2-6ac

2、+c2= 0,二 e2-6e +5 = 0,n +2c = 2m.(H)当 AB _x 轴时,| AB|= 3.90.90.已知解得e = 5或 e = 1(舍去)。设椭圆离心率为则5乎可设椭圆的方程为2 2-”,半焦距为c.a 3二b2+2c2 .卜2b ca=悩 3,解之得* b = 1,x22二a.椭的方程为 -32=1.当 AB 与X轴不垂直时，设直线 AB的方程为y = kx m,A(Xi,yi),B(X2,y2),由已知帶叮得宀泗 1),把 y二kx - m代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx 3m2- 3 =0,x1x22-6km3(m -1)3k21, 1 23k212

3、 / 15当k = 0 时,| AB |=一3.综上所述：|AB|max=2,此时AOB面积取最大值S =1I AB |max2285.85.已知曲线 C C 的方程为x =2y，F F 为焦点。（1 1） 过曲线上 C C 一点P（Xo, yo）（Xo=0）的切线I与 y y 轴交于 A A，试探究|AF|AF|与|PF|PF|之间 的关系；（2 2）若在（1 1 ）的条件下 P P 点的横坐标x0=2，点 N N 在 y y 轴上，且|PN|PN|等于点 P P 到直线2y T = 0的距离，圆 M M 能覆盖三角形 APNAPN，当圆 M M 的面积最小时，求圆 M M 的方程。85.8

4、5.| AB|2= (1 k2)(X2X1)2=(1 k2)36k m2(3k21)212(m21片3k2112(1 k2)(3k21 -m2)(3k21)23(k21)(9k21)(3k21)212k29k26k2二 39k212212(k = 0) _34.2 3 662当且仅当9k2-时等号成立，此时| AB |= 2.33 / 15( (i)(li)(l) )由士对他厂* /才*tF F伽仍)4t)4t切线方程汁-n-n =j*=j* = =唧.将“0 0找人得KtKtfY f-顶t t -jfi(y-jfi(y o),o),点尸嗨标(o(o扌)，|朋1 1上斗*片.只叶1 1峠 f

5、斗L L 1313阳*SJta由易知呛机o,o, -m-m的罄怖为(”訂與0 0壬卜例M为三角形阿的 外接囲财*師面枳駐小，设此品的方程为:+加+导和=%“用用-4-4/ / 0)0)却点7V7V的坐标为(仪+)时，则4-2E4F4-2E4F = = 0 0待D D -5,-5, i=i=Y，F*-1-14 4 M M +2P+2F*FaO+2P+2F*FaO此时所感的圏的方*/-5x+y?-0*/-5x+y?-0+-+- + + F=OF=O42当幷的劉初臥4JH04JH0-丄兰时所卑的伺前方14+414+4 +2Z+2Z； + + 2i2i： + + r r = = 0 0程为?+/+*-

6、7-7-07-7-0. # #烷上關的方H H为諾 +/-5#-5# + + y7-ly7-l =0,x=0,x5 5+y+y? ?+ + - -討-7-7 =0=0 .M M分2 2dXV174.74.已知椭圆Ci:22=1(a b 0)的长轴长为4，离心率为，FF2分别为其a b2左右焦点一动圆过点F2，且与直线x = -1相切.( (I) ) ( (i)求椭圆Ci的方程；(ii)求动圆圆心轨迹C的方程；( (H) )在曲线C上有四个不同的点M,N,P,Q,满足MF2与NF?共线，PF?与QF?共线，且PF2MF2=0，求四边形PMQN面积的最小值.2a =4!a = 222274.74.

7、解：(I)(i)由已知可得c1=，nb=ac=3,|e = =LC= 1Ia 22 2则所求椭圆方程C1:V1 .43为x = -1，则动圆圆心轨迹方程为C : y2= 4x.(n)由题设知直线MN , PQ的斜率均存在且不为零设直线MN的斜率为k(k =0),M (x1,y1),N(x2, y2)，则直线MN的方程为:V = k(x -1)联立C : y2= 4x消去y可得k2x2- (2k24)x k2= 0(i)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为(1,0)，准线方程由抛物线定义可知4 / 15| MN |=| MF2| | NF2x11 x2同理可得|PQ|=4 4k21

8、14221又SpMQN| MN | | PQ |（4 -y）（4 4k2）=8（2 k2订）一3222 kk（当且仅当k=1时取到等号）所以四边形PMQN面积的最小值为32.269.69.如图，已知直线 I I：y二kx-2与抛物线 C C:x =-2py(p 0)交于 A A, B B 两点，O为坐 标原点，OA +O = (/,12)。罗*(I)求直线 I I 和抛物线 C C 的方程；（n）抛物线上一动点 P P 从 A A 到 B B 运动时，求 ABPABP 面积最大值.y=kx 2,269.69.解：（I）由2得,x +2pkx 4p=0,x =-2py设A x,%, B X2,y

9、2,则为X2-2pk,y1y k捲X2- 4 - -2pk2- 4,因为OA OB =为X2,y1y2二-2pk,-2pk2-4=-4,-12 ,所以_2pkf4,I-2pk2-4 = -12.所以直线I的方程为y = 2x -2,抛物线 C 的方程为x2二-2y.(n)方法 1：设P(x0,y0),依题意，抛物线过 P 的切线与l平行时，APB面积最大,12y -x，所以-人=2=冷 -2,壮二-x。二-2,所以P(-2,-2).=*_2,得，x24x-4=0,x - -2y,| AB |二1 k2；（为x2）2-4为x2二1 22；（-4）2-4（一4）4怖伍ABP 的面积最大值为匚=8-

10、22y = 2x -2,2（n）方法 2:由2得，x24x-4=0,lx2=-2y,| AB|=1k2、.（为x2）2-4人x2二122；（一4）2-42k24k2解得p=1,k = 2.2（-2）-（-2）-2此时P到直线I的距离d -_Q22+(T)2_ 44,5.55由.335 / i5（一4）= 4 109 分.336 / i52 2由-得Xi一x22_ y；=0,kEF%一y2= _iXiX2Xi-X23yiy2设P(t,-ft2),(-2-2：2 t 0)上一点， F 为抛物线的焦点， 准线I与 x 轴交于点 K, 已知丨 AK|=x2| AF 三角形 AFK 的面积等于 8.(1

11、 )求 p 的值；(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线丨1,丨2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为 G H.求| GH|的最小值.50.解：(I)设A x0, y0,因为抛物线的焦点FiP,0 ,准线|的方程为：x = -,KiP,0 ,作 AM _ I 于 M,12 J2 V 2 .丿则AM 显=AF ,2又 AK =T2|AF 得IAK =V2|AM|，即占 AKM 为等腰直角三角形，二 KM = AM p +P,二 y0=怡 +P,即 Alx0,x+ Pl而点A在抛物线上，22 I 2 丿2(2)由y =8x，得F(2,0)，显然直线l1, *的斜率都存在且都不为 0.由题

12、设可得 A、B 的坐标是方程组-2k2，2 k8所以22円-1)2-12k22 2(4 k)1 _1，=8, p=4.故所求抛物线的方程为2y= 8X.6分TKF制冷卩卩=号当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为y = kx 1,9 / 151设h的方程为y=k(x-2)，则I?的方程为y (x-2).k10 / 1548.48.椭圆的中心为原点O ,焦点在y轴上，离心率e6，过P(0,1)的直线l与椭圆交于3B两点，且AP =2PB，求AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.2 2爲 笃=1(a . b . 0),直线l的方程为y = kx 1,a b2 246.已知椭圆G：%二=1(a

13、 b 0)的右焦点为 F,上顶点为 A, P 为 C1上任一点，a b是圆C2：x2 (y -3)2=1的一条直径，若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为3- 2的直线 好与圆C2相切。(1) 已知椭圆C1的离心率；(2) 若PM PN的最大值为 49,求椭圆 C1的方程.46.解：(1)由题意可知直线l的方程为bx cy-(3- -2)c = 0，因为直线与圆223c- 3c亠-2c22C2: x (y-3) =1相切，所以d22=1,既a=2c ,从而b + c2e；248.48.解：设椭圆的方程为A(xi, yi)B(x2, y2)则椭圆方程可化为3b22笃-1即3x2y2=3b2,b联

14、立丿三2223x y得(3 + k2)x2+2kx+13b2=0(*) =kx +12k- -有x1x22,而由已知AP=2PB有x1= -2X2，代入得3 +k22kx2_ 3 k2所以SAQB=1 |OP| |X1-X2hl|x2fJ-3iki当且仅当二3时取等号由x22k2得2九三3 k223|k=.3|k = -.3将x代入(*)式得b2=5所以加B面积的最大值为仝22取得最大值时椭圆的方程为-52-15MNl恰X二111 / 152 2(2)设p(x,y),则二 爲=1(c 0)2c c_ . _ . _. _ . _ _ _t2 _u2又 PM PN (PC2C2M ) (PC2C

15、2N) = PC2-C2N =x2(3 - y)2一 1 = -(y 3)22c 17(c 乞y c)22f当0 2：3时，（卩皿卩2口&乂 = 一（七3） 17 2 =49,解得c = 5. 2-3但c = 52-3 - 3,故舍去。2 2综上所述，椭圆的方程为 y13216x2y2頁頁25.25.已知椭圆G :右与=1（a b 0）的离心率为3，直线I: :y = x 2与以原点为圆ab3心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切 . .（I I）求椭圆 G G 的方程；（IIII ）设椭圆G的左焦点为R，右焦点F2，直线l1过点F,且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段P

16、F2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（IIIIII ）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足QRRS=0,求QS的取值范围. .122,.2a2=3b232 = b,; b = 2,b2= 2/ a2= 3，椭2 2圆 C1的方程是y132（） MP=MF2,二动点 M 到定直线l1：X=-1的距离等于它到定点 F1（1, 0）的距 离，动点 M 的轨迹是 C 为丨1准线，F2为焦点的抛物线 点 M 的轨迹 C2的方程为y2二4x22（川） Q （ 0 ,0 ），设R（也，yJ,S（里，y2）442 2 2丫1丫2一 丫1当c _3寸,(PM PN)max=：1

17、7 2c2=49, 解得 c = 4,此时椭圆方程为2 2x y32162,2a - b2c25.25.解：（I）l : x - y -2 二 0 与圆 x2y2=b2相切,112 / 15QR=（）,RS=（丄 一，y2-yj44 213 / 152 2 2y1( y . y1)-yi(y2 yi)yg yi) =016QR -RS = 0-0, 化简得y2= -少)y22256y2yi2yi32 _ 2、25632 = 64当且仅当 |QS|=rCOyi = , yi =16,y4时等号成立yi(y2)2yl =1(y；8)2一 64,又 y；一 64.44当y2=64,y2hg|QS|m

18、in=&5,故 |QS|的取值范围是8一5,：)2222x y8.8. 8.8.已知点P P(4 4,4 4),圆C C:(xm)2+y2=5(mb:0)有ab个公共点A A( 3 3，1 1)，F FF F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PFPFi与圆 C C 相切.(I)求 m m的值与椭圆 E E的方程；(H)设 Q Q为椭圆E E 上的一个动点，求AP AQ的取值范围.【解】(I)点 A 代入圆 C 方程，得(3 -m)21 =5.Tm 3，二 m= 1.圆 C: (x -1)2 y2=5.设直线 PF1的斜率为 k，则 PF1: y =k(x -4) 4，即 kx -y -4k

19、 4=0 .直线 PF1与圆 C 相切，上芈复色=2|x| |3y|,186xyW18.14 / 15则(x 3y)x2(3y)26x18 6xy 的取值范围是0,36. x 3y 的取值范围是6, 215 / 15a2(1 -b2)a2b22a2a2b2-0a2b2_2a2b2= 06. AP AQ=x3y_6 的取值范围是12, 0.2 212. 12.已知直线1:x1与曲线C :笃-y2=1 (a 0,b 0)交于不同的两点A, B,a bO为坐标原点.(I)若|OA|=|OB|，求证：曲线C是一个圆；厂 /-(n)若OA一OB，当且诗，译时，求曲线C的离心率e的取值范围.【解】(I)证

20、明：设直线I与曲线C的交点为A(x1, y1), B(x2, y2)|OA|=|OB|222 2口222X1y1=X2y2即：x1- y1x2- y22 2 2X1-X2y22-Y1*代B在C上2 222X1y1=1,X2y：1a2b22ab222两式相减得：x122-X2a2(丫22-丫12).2-1即：a - bb2b2曲线C是一个圆(n)设直线l与曲线C的交点为A(x1, y1), B(x2, y2), ：a b 0曲线C是焦点在x轴上的椭圆 OA _ OB= 1即：y1y2= -x-x2将y = x 1代入b2x2a2y2- a2b2二0整理得:2 2 2 2 2 2 2(b a )x 2a x a -a b =02a2a2b2x-ix22 2a (1 -b )a2b2-代B在丨上5 2二(X11)(X21) = X1X2X1X212x1x2x1x2016 / 1515.15.已知动点 A A、B B 分别在 x