第十章 结构动力学

1、12美国美国塔科马海峡大桥塔科马海峡大桥：1940年7月1日：1940年11月7日34 静力荷载：静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构将处于常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称为静力计算。平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称为静力计算。 注意：注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性质来看，要看其对结构产生的影响。性质来看，要看其对结构产生的影响。一、结构动力计

2、算的特点和任务一、结构动力计算的特点和任务1. 动力荷载与静力荷载的区别：动力荷载与静力荷载的区别： 随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称为动力计算。称为动力计算。 动力荷载：动力荷载：是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载这类荷载对结构产生的对结构产生的惯性力不能忽略惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产，因动力荷载将使结构产生相当大的生相当大的加速度加速度，由

3、它所引起的内力和变形都是时间的函数。，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。10-1 概述概述5结构动力计算的特点：结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速移和内力都是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速度，必须考虑惯性力的作用。度，必须考虑惯性力的作用。结构静力计算的特点：结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布规律，与时间无关。及其分布规律，与时间无关。2. 结构动力计算的特点结构动力计算的特点3. 结构

4、动力计算可分为两大类：结构动力计算可分为两大类：自由振动：自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。中不再受外部干扰力作用。强迫振动：强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫振动。称为强迫振动。6 4. 结构动力计算的任务：结构动力计算的任务：(2) 分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的结构的位移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值位移、内力

5、等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。以作为设计的依据。(1) 分析计算自由振动，得到的结构的动力特性分析计算自由振动，得到的结构的动力特性( (自振频率、振型和自振频率、振型和阻尼参数阻尼参数) )；78910 周期荷载周期荷载 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是简谐荷载简谐荷载( (按弦或余弦函数规律变化按弦或余弦函数规律变化) )。二、动力荷载的分类二、动力荷载的分类 toF (t)F 简谐荷载简谐荷载rml/Ft2l/21. 周期荷载周期荷载非简谐性周期荷载非简谐性周期荷载 例：打桩时落锤撞击所产生的荷例：

6、打桩时落锤撞击所产生的荷载。载。 o周期撞击荷载F(t)t11在很短的时间内，荷载值急剧减小在很短的时间内，荷载值急剧减小( (或增加或增加) )，如爆炸时所产生的荷载。，如爆炸时所产生的荷载。oF(t)F oF F(t)rttttr2. 冲击荷载冲击荷载 3. 突加常量荷载突加常量荷载突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重物时所产生的荷载。物时所产生的荷载。oF(t)F t上述荷载是时间的确定函数，称之为上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。确定性动力荷载。 12 随机荷载（非确定性荷载）随机荷载

7、（非确定性荷载）荷载的变化极不规则，在任荷载的变化极不规则，在任时刻的时刻的数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。toF(t)随机荷载（非确定性荷载）随机荷载（非确定性荷载）4. 随机荷载随机荷载1314结构振动的自由度结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立 参数的数目参数的数目单自由度结构单自由度结构10-2 结构振动的自由度结构振动的自由度mmm梁mII2Im厂房排架水平振厂房排架水平振时的计算简图时的计算简图单自由度体系单自由度体系当梁本身的质量远小于物块的质量时，可

8、以不计梁本身的质量，同时不考虑当梁本身的质量远小于物块的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。就可确定。152个自由度个自由度y12个自由度个自由度自由度与质量数不一定相等自由度与质量数不一定相等确定绝对刚性杆件上三确定绝对刚性杆件上三个质点的位置只需杆件个质点的位置只需杆件转角转角 (t)便可，故为单自便可，故为单自由度结构。由度结构。虽然只有一个集中质点，虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移但其位置需由水平位移x和和竖向位移竖向位移y两个独立参数才两个独立参数才

9、能确定，因此振动自由度能确定，因此振动自由度等于等于2，为多自由度体系。，为多自由度体系。 aEI= m3am2m1aaaaEI= 16水平振动时的计算体系水平振动时的计算体系多自由度体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块构架式基础顶板简化成刚性块(t)v(t)u(t)m1m2m32个自由度个自由度17 分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加不变的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法刚性链杆法来来确定结构的振动自由度。确定结构的振动自由度

10、。刚性链杆法：刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点有质点的位置，则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。的位置，则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。具有两个集中质量，加入三根链杆具有两个集中质量，加入三根链杆即能使各质量固定不动其振动自由即能使各质量固定不动其振动自由度为度为3。 注意：注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。否静定或超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如

11、果考虑质点的转动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的如果考虑质点的转动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。振动自由度数目。4个个自由度自由度几个自由度几个自由度？18 实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者有限多自由度的问题进行计算有限多自由度的问题进行计算集中质量法：集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量

12、( (实际上是质实际上是质点点) )，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。 简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨论集中质量法。论集中质量法。 水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成以以x(t)为位移参数的单自由度结构。为位移参数的单自由度结构。xm19凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是无限自由度体系无限自由度体系。 例：用集中质量法将连续分

13、例：用集中质量法将连续分布质量的简支梁简化为有限自布质量的简支梁简化为有限自由度体系。由度体系。将梁二等分，集中成三个集将梁二等分，集中成三个集中质量，单自由度体系。中质量，单自由度体系。lmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)dd2l/23ml/3ml/6ml/63l/3l/3( )/2ml/4ml/4mllmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)ddml/42l/23ml/3ml/6ml/63l/3l/3( )ml/4ml/2 将梁将梁三等分三等分，质量集中成四个，质量集中成四个集中质量的集中质量的两个自

14、由度两个自由度体系体系。lmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)ddml/42l/2ml/3ml/ml/6l/l/( )ml/4ml/23633320四、动力计算的方法四、动力计算的方法)()(tymtP m0)()(tymtP .运动方程运动方程m设其中设其中)()(tItym P(t)I(t).平衡方程平衡方程I(t)惯性力惯性力，与加速度成正比，方向相反，与加速度成正比，方向相反)()(tymtP 改写成改写成)(tym 21 自由振动自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。：体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置静平衡位置m获得获得

15、m获得获得 y自由振动产生原因自由振动产生原因：体系在初始时刻（：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动研究单自由度体系的自由振动重要性重要性在于：在于：1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2、它是分析、它是分析，包含了许多基本概念。，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的自由振动反映了体系的。要解决的问题包括：要解决的问题包括：建立建立运动方程运动方程、计算、计算自振频率自振频率、周期周期和和阻尼阻尼.22 一、运动微分方程的建立一、运动微分方程的建立应用条件：应用条件：）1、 刚度

16、法刚度法：研究作用于被隔离的质量上的：研究作用于被隔离的质量上的力，建立力，建立平衡方程平衡方程。m.yj.yd质量质量m在任一时刻的位移在任一时刻的位移 y(t)=yj+ydk力学模型力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力重力 W弹性力弹性力 )()()(djyyktkytS恒与位移反向恒与位移反向惯性力惯性力)()()(djyymtymtI Wyykyymdjdj)()( (a)其中其中 kyj=W 及及0jy上式可以简化为上式可以简化为0ddmyky或或0.( )mykyb由由静平衡位置静平衡位置计量。计量。应用了应用了刚度系数刚度系数，称，称刚度法刚度法。232、 柔度法柔度法：研

17、究结构上质点的位移，建立：研究结构上质点的位移，建立。.m静平衡位置静平衡位置I(t).(.)()()(ctymtIty 0)( ytym 1k 可得与可得与 (b) 相同的方程相同的方程二、自由振动微分方程的解二、自由振动微分方程的解).(.0bkyym 改写为改写为0ymky 02yy 其中其中2km 它是它是二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程，其一般解为：，其一般解为：).(.cossin)(21dtCtCty积分常数积分常数C1，C2由由初始条件确定初始条件确定24m静平衡位置静平衡位置I(t)12( )sincos.( )y tCtCtd设设 t=0 时时vyyy)0()0(v

18、CyC12.（d）式可以写成）式可以写成( )cossin.( )vy tytte 由式可知，位移是由由式可知，位移是由初位移初位移y 引起的余弦运动引起的余弦运动和由和由初速度初速度v 引起的正弦运引起的正弦运动动的合成，为了便于研究合成运动的合成，为了便于研究合成运动,令令cos,sinAvAy(e)式改写成式改写成( )sin().( )y tAtf它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和和 可由下式确定可由下式确定).(.122gvytgvyA25).(.sincos)(etvtyty).(.).sin()(ftAtyy0ty-yTTTvvyt0yt

19、0 A-Acosyt sinvt sinAt 26三、结构的自振周期和频率三、结构的自振周期和频率由式由式)sin()(tAty及图可见位移方程是一个及图可见位移方程是一个Tyt0 A-A周期周期,2T工程频率工程频率),(21HzTf园频率园频率Tf22计算频率和周期的几种形式计算频率和周期的几种形式km gkmTst22频率频率和周和周期的期的讨论讨论1.只与结构的质量与刚度有关，只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；与外界干扰无关；2.与与m的平方根成正比，与的平方根成正比，与k 的平方根成反比的平方根成反比，据此，据此可改变周期；可改变周期；3.是结构动力特性的是结构动力特性的重要

20、数量标志。重要数量标志。1m gW stg27例例1. 计算图示结构的频率和周期。计算图示结构的频率和周期。mEI l /2 l /21EIl483348mlEIEImlT4823例例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IHE,I1HHm1E,A1VVVm1IIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例例3.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。 312hEI312hEI由截面平衡由截面平衡324hEIk 324mhEImk3224mhTEI281例例4、求图示结构的自振圆频率。、求图示结构的自振圆频率。解法解法1：

21、求：求 k=1/hMBA=kh = MBCklhmIEIBAClhEIlEI33lmhEImk2323lhEIk 1h解法解法2：求：求 EIlhhlhEI33221221131mlhEIm29例例5、求图示结构的自振频率。、求图示结构的自振频率。lEImk1k11k11k33lEI解：解：求求 33EIKkl 33EIlkKmm 对于对于。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，（如横梁刚度为（如横梁刚度为刚架刚架)计算计算。312lEI33lEI30四、简谐自由振动的特性四、简谐自由振动的特性由式由式)sin()(tAty可得，可得，加速度为：加速度

22、为：)sin()(2tAty )sin()()(2tmAtymtI 在无阻尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力位移、加速度和惯性力都按正弦规律都按正弦规律变化，且变化，且作作的同步运动的同步运动，即它们在，即它们在同一时刻均达极值同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。而且惯性力的方向与位移的方向一致。它们的它们的幅值幅值产生于产生于1)sin(t时，其值分别为：时，其值分别为：yA2 yA 2ImA 既然在运动的任一瞬时质体都处于既然在运动的任一瞬时质体都处于动平衡状态动平衡状态，在幅值出现时间也一样，在幅值出现时间也一样，于是可于是可此时方程中将不含时间此时方

23、程中将不含时间 ，结果把，结果把微分微分方程转化为代数方程方程转化为代数方程了，使计算得以简化。了，使计算得以简化。惯性力为：惯性力为：31ABCD l /2 l /2lmm 1mm312kBCk1m2m.A1.A2lk1I2I 解：解：单自由度体系，单自由度体系， 以以 表示位移参数的表示位移参数的幅值角度幅值角度, 各质点上所受的力为：各质点上所受的力为：221112lImAm 222222133212ImAmlml 建立建立0BM123022 lIIlk ll 0232122122llkllmllmkm2mk32五、阻尼对振动的影响五、阻尼对振动的影响 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，内力，还产生非弹性的内力， 非弹性力起着减小振幅的作用，使非弹性力起着减小振幅的作用，使，因此，为了