几何概型教学文档

1、紧扣“等可能”，突破几何概型教学的难点前一阵在中学数学教学参考上看到这样一个例子：1 1 等腰 RtRt ABCABC 中，在斜边 ABAB 上任取一点 M M 求 AMAM 小于 ACAC 的概率2.2.等腰 RtRt ABCABC 中，过直角顶点 C C 在/ ACBACB 内部任作一条射线 CMCM 与线段 ABAB 交于点 M M 求 AMAM 小于 ACAC 的概率3前者的概率是，后者的概率是 4 4这两个看上去很相近的问题，答案为什么会不同呢？这个问题引起学生的很多的困惑.其实，要解决它，还得回到几何概型的定义.几何概型的定义是：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定

2、的几何区域Q内随机地取一点， 该区域中每一点被取到的机会都一样； 而一个随机事件 A A 的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 D D 中的点，这里的区域可以是线段， 平面图形， 立体图形等用这样的方法处理随机试验，称为几何概型.列宙测度的测5从几何概型的定义我们可以看出：解决几何概型问题的基本步骤是：（i i）找出等可能基本事件；（2 2）对应几何图形（所有等可能基本事件所在的区域Q和随机事件中等可能基本事件所在的区域 A A）；（ 3 3）由区域确定测度.第一个事件所对应的等可能基本事件应该是在线段ABAB 上随机取一点，这一点落在这个线段上是等可能的.第二个事件所对应的等可能

3、基本事件应该是在直角区域内任取一条射线，显然若射线等可能出现在直角区域内，则点M M 就不可能等可能出现在线段 ABAB 上.如何确定等可能基本事件？抓住“任意”、“随机”等词，确定等可能的基本事件空间.贝特朗悖论:几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不 用运用微积分的知识然而， 18991899 年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头 直指几何概率概念本身：在一个圆内随机地画一条弦，它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？从不同方面考虑，可得不同结果：(1) 由于对称性， 可预先指定弦的方向 作垂直于此方向的直径， 只有交直径于 1/41

4、/4 点 与 3/43/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长所有交点是等可能的 , , 则所求概率为 1/21/2 (2)由于对称性，可预先固定弦的一端.仅当弦与过此端点的切线的交角在6060120120 之间，其长才合乎要求所有方向是等可能的，则所求概率为1/31/3 (3) 弦被其中点位置唯一确定.只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其 长才合乎要求.中点位置都是等可能的，则所求概率为 1/41/4 .这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中 则假定弦的中点在直径上均匀分布； 在第二种解法中假定端点在圆周上

5、均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布. 这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.三个结果都正确！这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因.这一悖论揭示了几何概率在1919 世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限.这也推动了 2020 世纪概率论公理化工作的早日到来.关于这个悖论有很多种讨论，在此不一一赘述.老师们只需明白的是确定“等可能基 本事件”的重要性，在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判 断好基本事件的等可能性.如何对应几何图形？有的问题，几何特征较为明显，能迅速找到相应的几何图形，计算其测度.但有的问 题中，找到相应的几何图形较为困难.如：例.一家快递公司的投递员承诺在上午9 9： 0 0 0 0 1010： 0000 之间将一份文件送到某单位.11即接受人员在离开单位之前能拿到文件的概率为12(I)如果这家单位的接收人员在上午9 9: 4545 离开单位，写出他在离开单位前能拿到文件的概率;解：(I)所求事件的概率为 ；.看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为.:.-I这是一个长方形区域，面积为设事件討表示“接受人员在离开单位之前能拿到文件”，则事件1 1 所构成的区域为严31111旨找XX =面积为i 2 j j -.这是一个几何概型，所以(n)如果这